ESTADISTICAS Y PROBABILIDAD

1. LLa Probabilidad y la Estadística son dos campos
distintos aunque relacionados entre sí.
Utilizando la Probabilidades obtiene la
frecuencia de un suceso determinado mediante
la realización de un experimento aleatorio, del
que se conocen todos los resultados posibles,
bajo condiciones suficientemente estables. La
teoría de la probabilidad se usa extensamente en
áreas tales como: Física, Matemática, Economía,
Ingeniería y Filosofía, para obtener conclusiones
sobre la probabilidad de sucesos potenciales y la
mecánica subyacente sistemas complejos. La
Estadística una ciencia formal que estudia la
recolección, análisis e interpretación de datos de
una muestra representativa, ya sea para ayudar
en la toma de decisiones o para explicar
condiciones regulares o irregulares de algún
fenómeno o estudio aplicado. Sin embargo, la
Estadística es más que eso, es decir, es el
vehículo que permite llevar a cabo el proceso
relacionado con la investigación científica. La
Probabilidad y Estadística puede utilizarse para
optimizar el uso del material y la fuerza de
trabajo. Al investigar el desarrollo de nuevos
productos, éstas permiten comprender los
fenómenos sujetos a distintas variaciones y
predecirlos, así como también controlarlos de
manera eficiente.
Diseño y Dirección:
Ing. Sheyla Caraballo
Fotos e ilustraciones:
Ing. Roberto Richter
Coordinación de la editorial:
Ing. Francys Cairo
Redacción:
Todos los Colaboradores
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Créditos
Estadísticay Probabilidad
Distribucionesde Probabilidad
DistribuciónNormal
DistribuciónExponencial
Distribuciónuniforme
Frases y reflexiones
Entretenimiento
Publicidad
Referencias

2. ¿QUÉ ES LA PROBABILIDAD Y LA
ESTADÍSTICA?
La Probabilidad y la Estadística se encargan
del estudio del azar desde el punto de vista de
las matemáticas:
La Probabilidad propone modelos para los
fenómenos aleatorios, es decir, los que se
pueden predecir con certeza, y estudia sus
consecuencias lógicas.
La Estadística ofrece métodos y técnicas que
permiten entender los datos a partir de
modelos.
De esta manera, el Cálculo de las
Probabilidades es una teoría matemática y la
Estadística es una ciencia aplicada donde hay
que dar un contenido concreto a la noción de
probabilidad.
PROBABILIDAD
En este sentido, el cálculo científico de
probabilidades puede ayudarnos a comprender
lo que en ocasiones la intuición nos indica de
manera errónea. Un ejemplo típico es la
denominada "paradoja de los cumpleaños".
Supongamos que estamos en un grupo de 23
personas. Los cálculos nos dicen que la
probabilidad de que dos personas celebren el
mismo día su cumpleaños es del 50%, algo que a
simple vista parece increíble No es de extrañar
por tanto que la Teoría de Probabilidad se utilice
en campos tan diversos como la demografía, la
medicina, las comunicaciones, la informática, la
economía y las finanzas.
Inferencial).
ESTADÍSTICA
Cuando hablamos de estadística, se suele
pensar en un conjunto de datos
numéricos presentada de forma ordenada y
sistemática. Esta idea es debida a la influencia
de nuestro entorno, ya que hoy día es casi
imposible que cualquier medio de
comunicación, periódico, radio, televisión, etc.,
no nos aborde diariamente con cualquier tipo de
información estadística.
Sólo cuando nos adentramos en un mundo más
específico como es el campo de la investigación
de las Ciencias Sociales: Medicina, Biología,
Psicología, empezamos a percibir que la
Estadística no sólo es algo más, sino que se
convierte en la única herramienta que, hoy por
hoy, permite dar luz y obtener resultados, y por
tanto beneficios, en cualquier tipo de estudio,
cuyos movimientos y relaciones, por su
variabilidad intrínseca, no puedan ser abordadas
desde la perspectiva de las leyes deterministas.
La Estadística se ocupa de los métodos y
procedimientos para recoger, clasificar, resumir,
hallar regularidades y analizar los
datos (Estadística Descriptiva), siempre y
cuando la variabilidad e incertidumbre sea una
causa intrínseca de los mismos; así como de
realizar inferencias a partir de ellos, con la
finalidad de ayudar a la toma de decisiones y en
su caso formular predicciones (Estadística
Inferencial).

3. En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de una variable aleatoria es
una función que asigna a cada suceso definido sobre la variable aleatoria la probabilidad de que dicho
suceso ocurra. La distribución de probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada
uno de los sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.
La distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de distribución, cuyo valor
en cada x real es la probabilidad de que la variable aleatoria sea menor o igual que x.
En esta edición de la revista, vamos a abordar el estudio específicamente de tres (03) tipos de
distribuciones de variables aleatorias continuas, las cuales son:
CONTINUASCONTINUAS
NORMAL
EXPONENCIAL
UNIFORME
DE POISSON
HIPERGEOMETICA
BINOMIAL
ACUMULADA
NORMAL
DISCRETASDISCRETAS
DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD
¿QUÉ ES UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD?
- La distribución Normal
- La distribución exponencial
- La distribución uniforme

4. ¿QUÉ ES UNA DISTRIBUCIÓN DE
PROBABILIDAD?
La distribución normal es un caso de
probabilidad de variable aleatoria
continua, que fue reconocida por primera
vez por el francés Abraham de Moivre
(1667-1754). Posteriormente, Carl
Friedrich Gauss (1777-1855) desarrolló
estudios más profundos y formuló la
ecuación de la curva; también se le
conoce como la "Campana de Gauss".
La distribución de una variable normal
está completamente determinada por
dos parámetros, su media (µ) y su
desviación estándar (σ) y es considerada
la distribución de probabilidad más
importante y usualmente utilizada en
áreas tales como: psicología, biología,
economía y finanzas, astronomía, salud,
ciencias sociales y administrativas,
ingeniería y seguridad industrial.
CARACTERÍSTICAS DE UNA
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
NORMAL Y LA CURVA NORMAL
QUE LA REPRESENTA:
La curva normal tiene forma de
campana y un solo pico en el centro
de la distribución. De esta manera, la
media aritmética, la mediana y la
moda de la distribución son iguales y
se localizan en el pico.
La mitad del área bajo la curva viene
determinada por la línea
perpendicular que parte desde el pico
de la curva hasta el área central del
eje de las equis X.
La distribución de probabilidad normal
es simétrica alrededor de su media.
La curva normal desciende
suavemente en ambas direcciones a
partir del valor central. Es asintótica,
lo que quiere decir que la curva se
acerca cada vez más al eje X pero
jamás llega a tocarlo. Es decir, las
“colas” de la curva se extienden de
manera indefinida en ambas
direcciones.
Friedrich Gauss (1777-1855)

5. IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCIÓN
NORMAL
Su importancia radica en que
permite modelar numerosos fenómenos
naturales, sociales y psicológicos permitiendo
calcular las probabilidades de cualquier
hecho en particular. Esta distribución también
es importante por su relación con la
estimación por mínimos cuadrados, uno de
los métodos de estimación más simples y
antiguos.
Algunos ejemplos de variables asociadas a
fenómenos naturales que siguen el modelo
de la normal son:
Caracteres morfológicos de individuos
como la estatura.
Caracteres fisiológicos como el efecto de
un fármaco.
Caracteres sociológicos como
el consumo de cierto producto por un
mismo grupo de individuos.
Caracteres psicológicos como el cociente
intelectual.
Nivel de ruido en telecomunicaciones;
Errores cometidos al medir ciertas
magnitudes, entre otros.
Para indicar que una variable aleatoria
(v.a.) sigue una distribución normal de
media (µ) y desviación estándar (σ)
usaremos la expresión: X ∼ N(µ,σ).
REPRESENTACION GRAFICA
La distribución normal, viene dada en forma
de campana, también llamada la curva de
Gauss.
El área del recinto determinado por la función
y el eje de abscisas es igual a la unidad. Al
ser simétrica respecto al eje que pasa por x =
µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y
otra igual a 0.5 a la derecha. La probabilidad
equivale al área encerrada bajo la curva.
La probabilidad de la variable X dependerá
del área del recinto sombreado en la figura. Y
para calcularla utilizaremos la tabla N (0,1).
La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el
valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

6. Es importante saber que no existe una sola
distribución de probabilidad normal, sino una
“familia” de ellas y cada una de las
distribuciones puede tener una media (µ) o una
desviación estándar distinta (σ). Por tanto, el
número de distribuciones normales es ilimitado
y sería imposible proporcionar una tabla de
probabilidades para cada combinación de µ y σ.
Es por ello, que se utiliza un solo “miembro” de
la familia de distribuciones normales, aquella
cuya media es 0 y desviación estándar 1 que es
la que se conoce como distribución estándar
normal, de forma que todas las distribuciones
normales pueden convertirse a la estándar,
restando la media de cada observación y
dividiendo por la desviación estándar.
COMO USAR LA TABLA DE
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Para poder utilizar la tabla tenemos que
transformar la variable X que sigue una
distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga
una distribución N(0, 1).
Para ello primero, convertiremos la distribución
real en una distribución normal estándar
utilizando un valor llamado Z, o estadístico Z
que será la distancia entre un valor
seleccionado, designado X y la media µ,
dividida por la desviación estándar σ.
Formalmente, si X ~ N(µ,σ) , entonces la
variable aleatoria Z = (X − µ) / σ , se distribuye
según una normal de media 0 y desviación
estándar 1, i.e.: Z ~ N(0,1) , que es la
distribución llamada normal estándar o
tipificada.
De esta manera, un valor Z mide la distancia
entre un valor especificado de X y la media
aritmética, en las unidades de la desviación
estándar.
Al determinar el valor Z utilizando la expresión
anterior, es posible encontrar el área de
probabilidad bajo cualquier curva normal
haciendo referencia a la distribución normal
estándar en las tablas correspondientes. Así
pues, para averiguar el área anterior
utilizaremos la tabla que encontraremos al
final de este apartado. Dicha tabla nos
proporciona la probabilidad de que la v.a.
normal estándar Z tome un valor situado a la
izquierda de un número k, i.e.: P(Z≤k). En
otras palabras, esta tabla nos da el valor del
área encerrada por f(x) entre -∞ y k
La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k),
siendo z la variable tipificada. Estas
probabilidades nos dan la función de
distribución Φ(k) = P(z ≤ k)
Se ubica el valor de Z en la tabla de distribución
normal N(0,1) teniendo en cuenta que las:
Unidades y décimas se ubica en la columna
de la izquierda.
Centésimas en la 1era fila superior.

7. CASO PRACTICO - DISTRIBUCION NORMAL
En la empresa FRS, C.A dedicada a la
fabricación, soldadura y mantenimiento
industrial, a través del Comité de Seguridad y
Salud Laboral, solicitan al departamento de
Higiene y Seguridad Industrial, se realice una
inspección y evaluación ergonómica de
puestos de trabajo, debido al alto índice de
ausentismo laboral.
El registro de morbilidad presentado por la
unidad de servicios médicos de la empresa
FRS, C.A arroja que en el 1er trimestre del
año 2016, el 52% de los mecánicos
operacionales han presentado diferentes
patologías asociadas a trastornos músculos
esqueléticos, tales como: Cervicalgia,
lumbalgias, dorsalgias, entre otras.
Como criterio de evaluación ergonómica por
puestos de trabajo se requiere que el grupo
de trabajadores estén aparentemente sanos,
es decir que tengan un IMC<29 kg/m2, que
de presentar alguna enfermedades tales
como hipertensión y/o diabetes esten
debidamente controlados, entre otros
cirterios, ya que las evaluaciones
ergonómicas contienen pruebas de alta
exigencia fisica y mental que permitiran
evaluar las condiciones fisiologicas
biomecanicas y psicosociales de los
trabajadores y de esta manera generar las
recomendaciones para evitar generar y/o
exacerbar alguna patologias ya existente.
Para ello, como primer paso se recurre a la
herramienta estadística de distribución
normal como variable aleatoria continua para
resolver el caso siguiente:
Los mecánicos operacionales de la
cuadrilla # 3, según morbilidad del servicio
médico de salud de la empresa FRS, C.A,
presentan sobrepeso y obesidad, por lo que
sus condiciones de salud y calidad de vida
se ven afectados por el esfuerzo que
ameritan sus actividades diarias de trabajo,
presentando mucha fatiga, bajo rendimiento
y ausentismo laboral. Presentan una
variable normalmente distribuida con
media de 85 Kg y una desviación estándar
de 5 kg. Por lo que se requiere conocer la
proporción de trabajadores que tengan un
peso menor a 98 Kg.

8. RESOLUCIÓN DEL EJERCICIO.
Datos:
Media (µ) = 85
Desviación estándar (σ) = 5
Aplicando la fórmula:
Z = X - µ = 98-85 = 2,6
5 5
INTERPRETACIÓN.
Se observa que el 99,53% de los
mecánicos operacionales tienen un peso
menor a 98 Kg, por lo que se considera
que presentan condiciones físicas para
someterse a dicha evaluación ya que no
implica riesgo para su salud.
Tabla de Distribución Normal tipificada N(0,1)
Ubicamos el dato Z= 2,6 en la tabla de
distribución normal N(0,1), recordando que el
valor surge de la intecepción del valor de las
Y (columna de la izquierda) con respecto al
valor de las X (Fila superior), es decir:
Las unidades y décimas (2,6) se ubica en la
columna de la izquierda y las centésimas (0),
(en este caso porque el valor fue exacto), se
ubica en la 1era fila superior de la tabla.
Resultado: 0.9953
CASO PRACTICO - DISTRIBUCION NORMAL

9. Ing. Roberto Richter
La distribución de probabilidad de la variable aleatoria que representa
el número de resultados que suceden durante un intervalo de tiempo
dado, o una región específica, recibe el nombre de distribución de
Poisson, con parámetro λ Mientras que la distribución de probabilidad
de la variable aleatoria que representa el tiempo, hasta que se produce
α a veces un determinado suceso, se llama distribución Gamma (ésta es
una manera de describir a la distribución gamma), con parámetro α y β
La relación esencial entre las distribuciones anteriormente
mencionadas, sucede cuando el parámetro de la distribución gamma, α
es un entero positivo cuando esto sucede,
la distribución gamma es también llamada distribución de Erlangy el
número de eventos aleatorios independientes que suceden en un
intervalo específico es una variable de
Poisson, con una frecuencia constante de ocurrencia igual α y β
La distribución exponencial describe el tiempo hasta la primera
ocurrencia de un evento de Poisson. Así, las aplicaciones más
importantes de esta distribución son aquellas situaciones en donde se
aplica el proceso de Poisson. En la distribución de Poisson

10. Aunque la distribución normal se puede utilizar para resolver
muchos problemas en la ingeniería y las ciencias, hay numerosas
situaciones que requieren diferentes tipos de funciones de
densidad. Tal es el caso de las distribuciones gamma y exponencial.
Estas distribuciones juegan un rol fundamental en los problemas de
confiabilidad. Los tiempos entre llegadas en instalaciones de
servicio, y tiempos de fallas de partes componentes y sistemas
eléctricos, frecuentemente son bien modelados mediante la
distribución exponencial.
•La distribución gamma deriva su nombre de la conocida función
gamma, que se estudia en muchas áreas de la matemática.
•La función gamma se define como :
Distribución Gamma
Ing. Roberto Richter

11. La distribución gamma especial para la que α=1 se llama distribución
exponencial.
•La v.a.c. X tiene distribución exponencial, con parámetro α >0, si su
función de densidad está dada por:
efecto La distribución acumulada de esta distribución es muy útil
para el cálculo de las probabilidades, en:
La media y la varianza de la distribución gamma son:
μ=αß y σ2=αß2.
Aplicaciones de la Exponencial y la Gamma
Sea X el número de componentes que funcionan después de
ocho años. Entonces
Ing. Roberto Richter

12. Ing. Francys Cairo
Es una distribución muy sencilla que asigna probabilidades iguales a
un conjunto finito de puntos del espacio.
Modeliza fenómenos en los que tenemos un conjunto de n sucesos
posibles, cada uno de los cuales con la misma probabilidad de ocurrir.
Si aleatorizamos de forma que cada uno de éstos sucesos se
corresponda con un número natural del 1 al n obtendremos una
distribución uniforme. Tendremos un único parámetro; n Diremos,
por tanto que puede hacerse derivar en consecuencia de un proceso
experimental de selección aleatoria, en el que la característica que
consideramos en la selección sólo puede tomar un conjunto de n
valores discretos y donde cualquiera de estos valores puede
obtenerse con igual probabilidad.
Por su elementaridad no es una distribución de excesivo interés
práctico. Su función de cuantía definida para los valores de x= {
1, 2, 3……. n} vendrá dada por
P(x) = l /n para x ={ 1, 2, 3……n}

13. Su función de distribución vendrá dada por
Puede comprobarse que su media será
su varianza será :
Ing. Francys Cairo

14. -En la distribución de probabilidad uniforme discreta, la variable
aleatoria toma cada uno de
-us valores con idéntica probabilidad.
-El parámetro de la distribución de probabilidad uniforme discreta,
viene dado por la inversa de los valores que puede tomar la variable
aleatoria.
-La variable aleatoria que describe el número de caras obtenidas al
lanzar dos monedas legales sigue una probabilidad de distribución
uniforme.
-La media de una variable aleatoria discreta uniforme, f(x;k), siempre
coincide con uno de los valores de la misma observados en el
experimento.
- La varianza de una variable aleatoria discreta uniforme, f(x;k), no
depende del número de valores que pueda tomar la variable
Ing. Francys Cairo
Características de una Distribución Uniforme Discreta

15. FRASES Y REFLEXIONES SOBRE ESTADISTICAS Y
PROBABILIDAD
Las cosas complejas y estadísticamente improbables, son por naturaleza más difíciles de
explicar que las cosas simples y estadísticamente probables. Richard Dawkins
Estadísticamente todo se explica, personalmente todo se complica. Daniel Pennac
La estadista es una ciencia según la cual todas las mentiras se tornan cuadros Pitigrilli
La estadística es la primera de las ciencias inexactas. Edmond Gouncourt
Mi originalidad consiste en traer a la vida, de un modo humano, seres improbables y
hacerlos vivir de acuerdo como las leyes de la probabilidad pero poniendo -tan lejos
como sea posible- la lógica de lo visible al servicio de lo invisible. Odilon Redon
El futuro es impredecible, todo se basa en probabilidades. Richard Phillips Feynman
La vida es siempre un millón de probabilidades. Esto hace la garantía y la justificación del
arte. Franz Tamayo
Para que sean útiles, nuestras creencias deben someterse a la lógica de la probabilidad.
Daniel Kahneman

16. Crucigrama
1
Es una disciplina que se encarga de minimizar los riesgos ocupacionales a fin de proteger la vida y la salud
de los trabajadores
SEGURIDAD
2
Capacidad de un ítem de desempeñar una función requerida, en condiciones establecidas durante un
período de tiempo determinado
CONFIABILIDAD
3 Es una ciencia que estudia la recolección análisis e interpretación de datos de una muestra representativa ESTADISTICA
4 Es una característica que al ser medida en diferentes individuos es susceptible de adoptar diferentes valores VARIABLE
5
Es una distribución de probabilidad de la variable aleatoria que representa el tiempo hasta que se produce
un determinado suceso
GAMMA
6
Es es una variable que solo puede tomar algunos valores dentro de un mínimo conjunto numerable, es
decir, no acepta cualquier valor, únicamente aquellos que pertenecen al conjunto
DISCRETA
7
Es aquella que puede tomar un número infinito de valores entre dos valores cualesquiera de una
característica
CONTÍNUA
8
Persona o conjunto de personas que se encargan de dirigir, gestionar o administrar una sociedad, empresa
u otra entidad.
GERENCIA
9 Cálculo matemático de las posibilidades que existen de que una cosa se cumpla o suceda al azar. PROBABILIDAD
10 Es una medida de la magnitud de los daños frente a una situación peligrosa RIESGO
C U S E G U R I D A D B D
M O C T B P D O R P E E I
V A N O D R C T A S T S S
A N N F N P I S J L A T C
R O O T I F M E I N E A R
I R P J E A I I S I A D E
A M E I G N B A E G L I T
B A T E U S I I B I O S A
L L G A M M A I L I U T C
E C T P U U I T O I T I I
B G E R E N C I A I D C O
U X C O N T I N U A U A N
R P R O B A B I L I D A D
ENTRETENIMIENTO
Resolución del crucigrama

17. Sopa de letra
Mediana
Medidas
Menor
Moda
Valores
Promedio
Extremos
Tendencia
Par
Central
Mayor
Cualitativa
Bimodal
Distribuciones
Impar
Estadistica
Mayor
Media
ENTRETENIMIENTO
C
C
L
G
R
S G I
D
C

18. PUBLICIDAD
Empresas de asesoría en Seguridad y Salud en el
Trabajo Evaluación y control de riesgos
ocupacionales
Empresas de asesoría en Gestión de mantenimiento, confiabilidad, calidad y estadísticas

19. Libros
Doménech JM. Barcelona: (1997).Métodos Estadísticos en
Ciencias de la Salud.
John B. Kennedy y Adam M Neville. (1982). México.
Estadística para ciencias e ingeniería
Martín Pliego FJ, Ruiz-Maya L. (1997). México. Estadística I:
Probabilidad. Editorial AC
Meyer PL. Probabilidad y Aplicaciones Estadísticas (1986).
México: Addison-Wesley iberoamericana.
Morrison (1956). New York. Foundations of the Theory of
Probability. Peña D. (1993). Madrid. Modelos y métodos. 1.
Fundamentos Alianza Universidad Textos
Katz DL. (1997). USA Epidemiology, Biostatistics and
Preventive Medicine Review: W.B. Saunders Compaña;.
REFERENCIAS
Documentos en línea:
Alizo, M. Y Otros (2.010). Gestión económica vinculada con la
innovación y adquisición de tecnología en los emprendimientos
emergentes de negocio tipo PYME. [Artículo en línea].
Documento en línea Disponible:
http://www.redalyc.org/pdf/290/29016318007.pdf [Consulta 2015:
Febrero 13]
Distribución de probabilidades Epidat 3. [Artículo en línea].
Disponible:
http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/mod/folder/view.p
hp?id=55273
Hospital Ramón y Cajal. Material docente de la unidad de
bioestadística clínica.
Disponible en: http://www.hrc.es/bioest/M_docente.html