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37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria
Plantear una ecuación es traducir un problema del
lenguaje escrito u oral al lenguaje matemático
(Ecuaciones).
Lenguaje
Escrito
Lenguaje
Interpretación
e
Lenguaje
(Ecuación)
matemático
Procedimiento básico para plantear una
ecuación
1°: Leer detenidamente el enunciado del
problema, las veces que sean necesarios hasta
comprender el problema.
2°: Extraer los datos.
3°: Ubicar la (s) incógnita (s) y representarla
mediante (s) variables (s).
4°: Relacionar los datos construyendo una
igualdad lógica.
5°: Resolver la (s) ecuación (es) planteadas en el
paso anterior.
6°: Volver a leer la pregunta para responderla.
Traducción y representación
Forma escrita(verbal) Forma
Simbólica
A es tres veces más que B
El triple de un número,
disminuido en 6
A 8 se le resta un número
Se resta un número a 18
Se resta de un número 18
El número de naranjas excede
al número de plátanos
Cuatro menos tres veces un
número equivale al doble de,
el mismo número disminuido
en 8
Importante:
* Aumentado, agregado : Suma (+)
* De, del, de , los : Producto (x)
* Es, como, será, tendrá,
nos da : Igualdad(=)
* Es, a, como, entre : cociente (:)
* Cantidad de veces : Producto (x)
* Mayor, excede a : Un número
tiene más
que otro
* Menor, excedido : Un número
tiene menos
que otro
PRÁCTICA DE CLASE
01.Hallar un número, que disminuido en 5/8 de
él nos da 240.
a) 600 b) 640 c) 720
d) 170 e) 820
02.El dinero que tiene Paco, aumentado en sus
7/12 es igual a 760. ¿Cuánto tenía Paco?
a) 480 b) 420 c) 400
d) 600 e) 720
03.¿Cuál es e número, cuyos 3/4 exceden en 420
a su sexta parte?
a) 720 b) 180 c) 600
d) 840 e) 960
04.¿Qué número es aquel, cuyo exceso sobre
232 equivale a la diferencia entre 2/5 y 1/8
del número?
a) 300 b)700 c) 400
d) 320 e) N.a.
05.La diferencia de dos números mas 80
unidades es igual al cuádruple del número
menor, menos 60 unidades. Hallar los dos
números, si el mayor es el triple del menor.
a) 120 y 80 b) 70 y 210 c) 180 y 240
d) 180 y 120 e) 240 y 340
06.La suma de dos números es 74 y su cociente
es 9, dando de residuo 4. ¿Cuál es número
menor?
a) 3 b) 7 c) 10
d) 12 e) 9
07.La suma de dos números es 611, su cociente
es 32 y el residuo de su división el mayor
posible. Hallar el producto de dichos
números.
a) 4724 b) 10674 c) 12494
d) 72444 e) N.a.
08.Ana tiene 2 veces lo que tiene María, si Ana
le da S/.18 a María, entonces tendrán la
misma cantidad. ¿Cuánto tienen entre las
dos?
a) 108 b) 54 c) 72
d) 80 e) 96
09.Hallar el menor de tres números enteros
consecutivos; si sabemos que los 4/5 del
mayor exceden a los 3/4 del intermedio en
una cantidad igual a la sexta parte del menor
disminuida en 1/5.
a) 10 b) 8 c) 9
d) 12 e) 15
10.Tu tienes la mitad de lo que tenías y tendrás
el triple de lo que tienes. Si tuvieras lo que
tienes, tenías y tendrás, tendrías lo que yo
tengo, que es 180 soles más de lo que tu
tendrás. ¿Cuánto tenías?
a) 100 b) 110 c) 80
d) 120 e) 140
11.En una aula los alumnos están agrupados en
un número de bancas de 6 alumnos cada una,
si se les coloca en bancas de 4 alumnos se
necesitaran 3 bancas más. ¿Cuántos alumnos
hay?
a) 24 b) 36 c) 42
d) 90 e) 120
12.Un tren al final de su trayecto llega con 40
adultos y 30 niños, con una recaudación de
S/.200. Cada adulto y cada niño pagan pasajes
únicos de S/.2 y S/.1 respectivamente. ¿Con
cuántos pasajeros salió de su paradero inicial
si en cada paradero por cada 3 adultos que
subían, también subían 2 niños y bajaban 2
adultos junto con 5 niños?
a) 80 b) 60 c) 90
d) 82 e) 120
13.Lo que cobra y gasta un profesor suma
S/.600, lo que gasta y lo que cobra está en
relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que
disminuir el gasto para que dicha relación sea
de 3 a 5?
a) 12 b) 36 c) 28
d) 30 e) 24
14.En un pueblo correspondía a cada habitante
60 l de agua por día.
Hoy ha aumentado la población en 40
habitantes y corresponde a cada uno 3 l
menos. El menor número de habitantes del
pueblo es:
a) 800 b) 600 c) 720
d) 960 e) 1000
S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
III
PLANTEAMIENTO DEPLANTEAMIENTO DE
37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria
15.Se desea repartir naranjas equitativamente
entre cierto número equitativamente entre
cierto número de días sobrando 3 naranjas;
pero si les da 2 naranjas más a cada uno
faltarían 7 naranjas. ¿Cuántos niños eran?
a) 15 b) 5 c) 10
d) 18 e) 70
16.Dos socios han contribuido a formar un
capital. El 1° recibió 20% de intereses por el
capital que invirtió durante 18 meses. Si la
ganancia total fue de S/.1320. ¿Qué monto
invirtió el 2° si la suma de los capitales
invertidos fue de S/.7600?
a) S/.4000 b) S/.400 c) S/.7200
d) S/.4200 e) S/.3600
17.Dos comerciantes que han adquirido 8 y 5
docenas de pantalones tienen que pagar por
dicha compra; como no poseen dinero, el
primero paga con 6 pantalones y le dan
S/.300 de vuelto, el segundo paga con 4
camisas y recibe S/.320 de vuelto.
Sabiendo que los pantalones en pago no se les
ha cobrado impuestos determinar el costo de
cada pantalón.
a) S/.600 b) S/.500 c) S/.480
d) S/.720 e) S/.420
18.Si por 2 soles me dieron 6 naranjas más de
los que dan, la docena costaría S/.0,90 menos.
Hallar el número de naranjas que me dan.
a) 10 b)8 c) 16
d) 40 e) 12
19.Una persona puede comprar 24 manzanas y
20 naranjas o 36 manzanas y 15 naranjas. Si
compara sólo naranjas. ¿Cuál es el máximo
número que podría comprar?
a) 20 b)15 c) 18
d) 30 e) 22
20.Se debía repartir S/.1800 entre cierto número
de personas, 4 de ellas renunciaron a su parte,
con la cual a cada uno de los asistentes le tocó
S/.15 más. ¿Cuántas personas eran
inicialmente?
a) 24 b)22 c) 40
d) 32 e) 44
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01
01.La suma de tres números consecutivos es
igual a 111. ¿Cuál es el mayor?
a) 36 b) 39 c) 38
d) 37 e) 35
02.Las dos quintas partes de un número, más 5
es igual a la mitad de dicho número ¿Cuál es
le número?
a) 30 b) 40 c) 60
d) 50 e) 80
03.En un gallinero hay 5 pavos más que gallinas
y 3 patos más que pavos. Si en total hay 49
aves. ¿Cuántas gallinas hay?
a) 20 b) 17 c) 12
d) 13 e) 15
04.La edad de Pedro es el doble de la edad de
María. SI en cinco años más la suma de sus
edades será 43 años. ¿Qué edad tiene
actualmente Pedro?
a) 11 años b) 22 años c) 24 años
d) 26 años e) 28 años
05.El doble de un número, aumentado en 12 es
igual a su triple, disminuido en 5. ¿Cuál es el
número?
a) 19 b) 22 c) 18
d) 17 e) 20
06.Tres números impares consecutivos suman
81. ¿Cuál es el menor?
a) 21 b) 25 c) 27
d) 28 e) 24
07.¿Qué número debe restarse de “p + 2” para
obtener 5?
a) p + 2 b) p + 3 c) p – 3
d) p – 4 e) p + 7
08.Un número multiplicado por 5; sumado con el
mismo número multiplicado por 6 da 55.
¿Cuál es le número?
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
09.La edad de Pedro excede a la de su hermano
Luis en 10 años. Si la suma de dichas edades
es de 50 años. Hallar la edad de Luis.
a) 30 años b) 20 años c) 10 años
d) 50 años e) 40 años
10.Obtener un número que sumado al numerador
y al denominador de la fracción 11/ 13;
produzca la fracción 18/ 9.
a) 24 b) 25 c) 35
d) 26 e) 28
11.El cuádruple de la edad de Manuel
aumentado en 3 años es igual al triple de su
edad, aumentado en 28 años. ¿Cuál será la
edad de Manuel dentro de 6 años?
a) 24 años b) 18 años c) 28 años
d) 22 años e) 26 años
12.Un número sumado con su quinta es 12. La
ecuación que representa esta situación es:
a) x + 12 = x / 5 b) x + x/ 5 = 12
c) 12 + x/ 5 = xd) x – x /5 = 12
e) x – 12 = x/ 5
13.“La suma de dos números pares consecutivos
es 106”. Esta se presenta mediante la
ecuación.
a) 2n + (2n + 1) = 6
b) 4n + 1 = 106
c) 4n + 2 = 106
d) n + n + 1 = 106
e) 2n + 1 = 106
14.Si un niño tiene de la edad que tenía hace 6
años. ¿Cuántos años tiene en la actualidad?
a) 3 años b) 6 años c) 9 años
d) 12 años e) 18 años
15.Un poste está enterrado 2/ 5 de su longitud, 2/
7 del resto está bajo agua y sobresalen 3 m.
¿Cuál es la longitud del poste?
a) 6 m. b) 7 m. c) 9 m.
d) 9, 5 m. e) 10 m.
16.El doble de un número más el triple de su
sucesor, más el doble del suceso de éste es
147. Hallar el número.
a) 19 b) 20 c) 22
d) 30 e) 40
17.La diferencia entre los cuadrados de dos
números consecutivos es 103. ¿Cuál es el
mayor?
a) 50 b) 51 c) 52
d) 53 e) 55
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37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria
18.En el triángulo ABC los lados AB = 3BC y
BC = 1/2 CA. Si su perímetro es 84 m.
¿Cuánto mide el lado mayor?
a) 14 m. b) 18 m. c) 42 m.
d) 28 m. e) 24 m.
19.Un padre tiene 20 años más que su hijo.
Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de
la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene el
padre?
a) 24 años b) 28 años c) 26 años
d) 32 años e) 40 años
20.Las dimensiones de un rectángulo están en la
razón de 3 a 5 y su perímetro es 80 m.
Calcular cuanto mide de largo.
a) 15 m. b) 20 m. c) 25 m.
d) 30 m. e) 35 m.
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02
01.La suma de dos múltiplos consecutivos de 6
es igual a 66. Hallar uno de los números?
a) 24 b) 42 c) 36
d) 56 e) N.a.
02.Iván ha resuelto (2x + 3) problemas de
ecuaciones. Alberto (4x – 5) problemas y
Jaime (3x + 4) problemas. Si en total se han
resuelto 47 problemas. ¿Cuántos resolvió
Iván?
a) 13 b) 15 c) 19
d) 21 e) 17
03.El numerador de una cierta fracción es 8
menos que el denominador. Si los dos
términos de dicha fracción se aumenta en 9 la
fracción resultante es 2/3. Hallar la fracción
original.
a) 5 / 13 b) 3 / 11 c) 7/ 15
d) 9 / 17 e) 11 / 19
04.El denominador de una fracción es 14 más
que el numerador, si al numerador y al
denominador se aumentan en 5, la nueva
fracción es 11 / 18. Determinar la fracción
original.
a) 11/ 25 b) 13/ 27 c) 15/ 29
d) 17/ 31 e) 19/ 33
05.La suma de tres números enteros
consecutivos es igual a la unidad aumentada
en el doble del mayor. Calcular el menor de
dichos números.
a) 4 b) 6 c) 2
d) 8 e) 3
06.Al preguntársele a María por su edad
responde: Si al quíntuple de mi edad; le
quitas 4 años, obtendrás lo que me falta para
tener 80 años . ¿Qué edad tuvo hace 5 años ?
a) 6 años b) 7 años c) 8 años
d) 9 años e) 10 años
07.En la figura mostrada; ABCD es un
rectángulo:
AB = (8 / 5) x – 5 , 5
CD = 0, 4 x + 1/ 2
A
B C
D
Calcular : CD
a) 4, 5 b) 2, 5 c) 6, 5
d) 4 e) 3, 5
08.Una persona gasta la mitad de su jornal diario
en alimentarse y la tercera parte en otros
gastos. Al cabo de 40 días ha ahorrado 600
soles. ¿Cuál es su jornal?
a) S/. 60 b) S/. 80 c) S/. 90
d) S/. 50 e) S/. 70
09.Lucila tiene “x” hermanos, Cecilia tiene “2x”
hermanos; Patricia tiene “3x – 6” hermanos y
Carolina tiene “2x + 1” hermanos. El único
dato que te dan es que una de ellas es hija
única. ¿Cuántos hermanos tiene Carolina?.
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
10.En la figura mostrada:
• DB = 5x + 3
• DO = 2x + 5
• AO = 3y – 1
• OC = y + 9
O
B
C
A
D
Hallar la longitud de la diagonal DB
a) 36 b) 38 c) 34
d) 40 e) 42
11.Si las edades de Nataly, Vanessa y Karina
están representados por tres números, pares
consecutivos, siendo la suma de dichas
edades 78 años. ¿Qué edad tiene la mayor?
a) 26 años b) 27 años c) 28 años
d) 29 años e) 25 años
12.Si el lado de un cuadrado se duplica, su
perímetro aumenta 40 m. Calcular la medida
de lado del cuadrado.
a) 8 m. b) 9 m. c) 10 m.
d) 12 m. e) 11 m.
13.A que hora del día se cumple de las horas
transcurridas y las horas que faltan son dos
números enteros impares consecutivos.
a) 10 a.m. b) 11 p.m. c) 11 a.m.
d) 9 a.m. e) 10 p.m.
14.Una señora tuvo a los 28 años dos hijos
mellizos, hoy las edades de los tres suman 73
años. ¿Qué edad tienen los mellizos?
a) 12 años b) 16 años c) 11 años
d) 15 años e) 18 años
15.En la figura mostrada:
• AB = α + 1
• AC = x
• BC = x + 2
• Calcula la longitud de la hipotenusa
A
B
C
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 8
16.Un señor distribuye su capital de la forma
siguiente: 1/ 3 para sus herederos, 3/5 del
resto para un hospital y 1/ 2 del nuevo resto
para los pobres, quedándole todavía 200
dólares. ¿Cuál era su capital?
a) 1200 dólaresb) 1400 dólares
c) 1500 dólaresd) 1800 dólares
e) 1600 dólares
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37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria
17.Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8
unidades, su perímetro se triplica. ¿Cuánto
mide el lado?
a) 6 u b) 8 u c) 4 u
d) 12 u e) 5 u
18.Las edades de un matrimonio suman 62 años.
Si se casaron hace 10 años y la edad de la
novia era 3/4 de la edad del novio. ¿Qué edad
tiene actualmente ella?
a) 34 años b) 30 años c) 28 años
d) 26 años e) 24 años
19.El numerador de una fracción excede en dos
unidades al denominador. Si al numerador se
le suma 3, la fracción queda equivalente a
4/3. Hallar la fracción.
a) 13 / 11 b) 19 / 17 c) 15 / 13
d) 17 / 15 e) 21 / 19
20.Antonio tiene el doble de dinero que Gladys y
el triple de María. Si Antonio regala 14 soles
a Gladys y 35 soles a María los tres quedarían
con igual cantidad. ¿Cuánto dinero tiene
Gladys?
a) S/. 126 b) S/. 63 c) S/. 42
d) S/. 48 e) S/. 76
TAREA DOMICILIARIA
01.Un hambriento caminante, encuentra a dos
pastores que se disponen a compartir con él
los pares que iban a comer. Uno de los
pastores tenía 5 panes y el otro 3. Todos
comieron por igual. Al partir, el caminante
les dejó 8 monedas para que se repartan.
¿Cuántas monedas les tocó a cada uno?
a) 5 y 3 respectivamente
b) 4 a c/u
c) 7 y 1 respectivamente
d) 6 y 4 respectivamente
e) N.a.
02.Una piscina tiene una capacidad total de 100
litros; un cierto día tenía agua sólo hasta sus
3/4 partes. Si ese día extraemos con una
cubeta la quinta parte de lo que había.
¿Cuántos litros de agua serían necesarios
ahora para llenar la piscina?
a) 75 l b) 60 l c) 40 l
d) 25 l e) 30 l
03.Al preguntársele a un postulante que parte
del examen ha resuelto, éste responde: “He
contestado los 4/5 de lo que contesté”, ¿Qué
parte del examen ha contestado?
a) 4/ 9 b) 1/ 4 c) 1/5
d) 3/ 5 e) 5/9
04.De un depósito se ha extraído dos veces 1/4
de su contenido, si al final tengo 3/8 del
depósito. ¿Qué fracción del depósito estaba
lleno al principio?
a) 1/ 3 b) 2/ 3 c) 1/ 4
d) 3/ 4 e) 2/ 5
05.En una aula de 30 alumnos , las 2/3 partes
tienen buzos deportivos. ¿Qué facción de los
que tienen buzos, no tienen buzos?
a) 1/ 5 b) 1/ 4 c) 1/ 3
d) 1/ 2 e) 3/ 2
El arte de plantear ecuaciones: El idioma del
álgebra es la ecuación. “Para resolver un
problema referente a números o relaciones
abstractas de cantidades, basta traducir dicho
problema, de cualquier idioma al idioma
“Algebraico “, escribió el gran Newton en su
manual de álgebra titulado ARITMÉTICA
UNIVERSAL. Isaac Newton mostró con
ejemplos cómo debía efectuarse la traducción .
He aquí uno de los más notables problemas.
“LA VIDA DE DIOFANTO”
La historia ha conservado pocos rasgos
biográficos de Diofanto, notable matemático de la
antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha
sido tomado de la dedicatoria que figura en su
sepulcro, inscripción compuesta en forma de
ejercicio matemático. Aquí reproducimos.
En la lengua vernácula En el idioma del
álgebra
¡Caminante! Aquí fueron
sepultados los restos de Diofanto.
Y los números pueden mostrar,
¡oh, milagro!, cuan larga fue su
vida,
x
Cuya sexta parte constituyó su
hermosa infancia.
6
x
Había transcurrido además una
duodécima parte de su vida,
cuando de vello cubrió su
barbilla. 12
x
y la séptima parte de su existencia
transcurrió en un mercado estéril
7
x
Paso un quinquenio más y le hizo
dichoso el nacimiento de su
precioso primogénito,
5
Que entregó su cuerpo, su
hermosa existencia, a la tierra,
que duró tan sólo la mitad de la
de su padre. 2
x
Y con profunda pena descendió a
la sepultura, habiendo
sobrevivido cuatro años al deceso
de su hijo.
4
Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando
le llegó la muerte.
Formuló la ecuación:_____________________
Resuelve la ecuación y la respuesta
es:_____________
Cada vez que se presente un problema donde
intervengan edades, vamos a tener la posibilidad
de resolverlo de dos maneras:
Primero: Si el problema lo permite, tan sólo
planteamos la ecuación dada, de lo contrario,
Segundo: Aplicaremos un cuadro donde se
plantearán las condiciones del problema.
Usted se dará cuenta de esto cuando haya
practicado lo suficiente.
Ejemplo 01: Actualmente una persona tiene 28
años, ¿Cuántos años tendrá dentro de 11 años?
RESOLUCION:
+11
Ahora Dentro de 11
años
28 39
Rpta. Tendrá 39 años.
Ejemplo 02: Dentro de “x + y” años Panfilo
tendrá “3x – y” años. ¿Cuántos años tuvo hace “y
– 2z” años.
RESOLUCIÓN:
Hace “y – 2z” Actual Dentro de “x+y”
-(y-2z) -(x+y)
(2x-3y+2z) (2x-2y) (3x-y)
Rpta. Tuvo “2x – 3y – 2z” años.
Ejemplo 03: Pompeyo le pregunta a Pinpoyo
por la edad de su loro, éste le responde: “Hace 4
meses que tendrá la cuarta parte de los meses que
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EDADESEDADES
37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria
tendrá dentro de 8 meses”. ¿Dentro de cuánto
tiempo tendrá el cuádruple de los meses que tenía
hace 3 meses?
RESOLUCIÓN:
* Hallaremos primero la edad actual del loro:
Hace 4 meses Actual Dentro de 8
meses
- 4 + 8
(x - 4) x (x + 8)
De: “-----------------------------------tenía la cuarta
parte de--------------------------”
4
)8x(
)4x(
+
=−
4x – 16 = x + 8 → 8x =
* Entonces, hace 3 meses tenía 8 - 3 = 5 meses.
Hace 3 meses Actual Dentro de x años
- 3 + x
5 8 4(5)=20
Del esquema: x + 8 = 20 → 12x =
Rpta. Dentro de 12 meses.
Ejemplo 04: Juan le dice a Manuel:
Actualmente tengo el triple de tu edad; pero
dentro de 12 años tendré sólo el doble. ¿Qué edad
tengo?
RESOLUCIÓN: Elaboramos un cuadro teniendo
en cuanta , el número de personas que
intervienen, la cantidad de expresiones que
indican tiempos y las condiciones (relaciones
entre las edades), éstas generarán las ecuaciones
que permitirán resolver el problema.
Presente Dentro de 12 años
Juan 3x ------------------
Manuel X ------------------
J =2M ←
condición
* Completamos las edades
Presente Dentro de 12 años
Juan 3x (3x + 12)
Manuel X (x + 12)
J =2M ←
condición
* De la condición (futuro):
J = 2M ; reemplazamos las edades
respectivas.
(3x + 12) = 2(x + 12) → 12x =
Rpta. Juan: Tengo 36 años.
Ejemplo 05: Jorge le dice a María: “Cuando yo
tenga la edad que tú tienes, tu edad será 2 veces la
edad que tengo y sabes que cuando tenía 10 años;
tú tenías la edad que tengo. ¿Cuánto suman las
edades actuales de Jorge y de María?
RESOLUCIÓN:
*Elaboramos un cuadro adecuado, teniendo en
cuenta que las edades que tenemos como datos no
son numéricos, son valores desconocidos y
tendremos que representarlas por variables
adecuadamente.
Pasado Presente Futuro
Jorge
Manuel
NOTA IMPORTANTE: El tiempo que transcurre
para una persona, transcurre también para las
demás personas.
* Entonces, planteamos las siguientes ecuaciones:
* Resolvemos estas ecuaciones:
Rpta: ______________________________
06.Manuel tiene el triple de la edad de Sara que
tiene 12 años ¿Cuántos años pasaran para que
la edad de Manuel sea el doble de la edad de
Sara?
RESOLUCIÓN
Actual Dentro x años
S 12 12 + x
M 36 36 + x
M = 25
De la condición: M = 2S
36 + x = 2 (12 + x)
36 + x = 24 + 2x
36 – 24 = -x + 2x
12 = x
Rpta.: Dentro de 12 años
07.Cuando nací, mi padre tenía 38 años. ¿Qué
edad tiene mi padre si actualmente nuestras
edades suman 80 ?
RESOLUCIÓN :
Hace x años Actual
Yo 0 x
P 38 x + 38
P + H = 80
De la condición : P + H = 80
x + 38 + x = 80
x + x = 80 – 38
2x = 42
x = 21
x + 38
21 + 38 = 59
Rpta.: Mi padre tiene 59 años.
08.Las edades de 3 hermanos hace 2 años
estaban en la misma relación que : 3, 4 y 5. Si
dentro de 2 años serán como: 5, 6 y 7 ¿Qué
edad tiene el mayor?
RESOLUCIÓN
Hace 2
años
Actual Dentro de 2
años
A 3x 3x + 2 3x + 4
B 4x 4x + 2 4x + 4
C 5x 5x + 2 5x + 4
7
C
6
B
5
A
==
De la condición:
6
B
5
A
=
6
4x4
5
4x3 +
=
+
18x + 24 = 20x + 20
4 = 2x
2 = x
Reemplazo: 5 x + 2
5 (2) + 2 = 12
Rpta.: 12 años tiene el mayor.
09.Cuando Luis nació. Su padre tenía “P”años
cuando su padre murió el contaba con “Q”
años. ¿Cuánto tiempo vivió su padre?
RESOLUCIÓN :
L O Q
P P x
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Aplicando la propiedad:
P – O = x – Q
P + Q = x
Rpta.: Su padre vivió “ P +Q ” años
10.Dentro de 4 años la suma de las edades de 2
hermanos será K años la edad del mayor era
el triple de la edad del menor. Hallar la edad
actual del mayor
RESOLUCIÓN:
Hace 4
años
Actual Dentro de 4
años
Mayor x – 4 x x + 4
Menor y – 4 y y + 4
Mayor =
3(menor)
Mayor +
menor = K
De las condiciones:
1) Mayor = 3 (menor)
x – 4 = 3 (y – 4)
x – 4 = 3y – 12
x = 3y – 8 ………………. ( 1 )
2) Mayor más menor = K
x + 4 + y + 4 = K
x = K – y – 8 …………. ( 2 )
De ( 1 ) = ( 2 )
3 y – 8 = k – y – 8
4
K
y =
Rpta.: El mayor tiene :
8
32K3 −
11. La suma de las edades de un padre y un hijo
da 48 años. Dentro de algunos años el padre
tendrá el doble de la edad del hijo; y la edad
del padre será entonces 8 veces la edad
que el hijo tiene ahora. ¿Cuántos años tiene el
padre?
Dentro de “x” años
P
H
P + H = 48 P = 2H
Entonces:
P 2 a – x 2 a = 8 (a – x )
H a – x a
P + H = 48
Del cuadro:
1) P +H = 48
( 2 a – x ) + ( a – x ) = 48
3 a – 2x = 48 ………………. ( 1 )
2) 2 a = 8 ( a – x )
8 x = 6 a
a
3
x4
= …………………….. ( 2 )
Reemplazando ( 2 ) en ( 1 )
48x2
3
x4
3 =−





x = 24 y a = 32
2 a – x
2 ( 32 ) – 24 = 40
Rpta.: el padre tiene 40 años.
12.José le dice a Walter: hace 21 años mi edad
era la mitad de la edad que tendrás dentro de
4 años . Cuando yo tenga el doble de ka edad
que tu tienes. ¿Qué edad tienes?
RESOLUCIÓN :
Hace 21
años
Dentro de 4
años
J x + 2 4x
W 2x 2x + 4
Luego:
Hace 21
años
Dentro de 4
años
J x + 2 ( x + 23 ) 4x = x + 27
W 2x 2x + 4
Del cuadro :
4 x = x + 27
x = 9
Por lo tanto:
Walter tiene: 2x = 2 (9) = 18 años
13.Supongamos que yo tenga 10 años más que tú
¿Qué edad tendrás tu ahora, si dentro de 5
años yo tuviera los 4/ 3 de la edad que tu
tuvieses?
RESOLUCIÓN
Yo tengo “x” años
Tu tienes “y” años
Del enunciado:
1) x + 5 = 4/ 3 ( y + 5)
3x + 3 = 4 (y + 5)
3x + 15 = 4y + 20
3x – 4y = 5 ……………. ( 1 )
2) x = y + 10 ……………. ( 2 )
3) Reemplazando (2) en (1):
3 (y + 10) – 4y = 5
- y = - 25
y = 25
Rpta.: 10 años.
14.En el año 1984 ha sido declarado en el Perú :
“Año del sequicentenario del Natalicio del
Altamirante Miguel Grau”. Si Grau murio el
8 de octubre de 1879 ¿A que edad murió
Grau?
RESOLUCIÓN :
Murió a los “x” años
Nació el año : 1984 – 150 = 1934
Luego : 1934 + x = 1879
X = 1879 – 1934
X = 45
Rpta.: Murió cuando tenía 45 años.
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PRÁCTICA DE CLASE
01.La suma de las edades de Aída y Fara es 48
años, al acercarse Orlando, Aída le dice
cuando Fara nació tenías 2 años. ¿ Cuál es la
edad de Orlando ?
a) 24 b) 21 c) 25
d) 22 e) N.a.
02.Un padre dice a su hijo: "Ahora tu edad es la
tercera parte de la mía pero, hace 10 años no
era más que un quinto".
¿ Qué edad tiene el hijo ?
a) 13 b) 20 c) 16
d) 24 e) N.a.
03.Cuando César nació, Julio tenía 30 años,
ambas edades suman hoy 28 años más que la
edad de Pablo, que tiene 50 años. ¿ Qué edad
tiene Guillermo que nació cuando César tenía
11 años?
a) 13 b) 16 c) 11
d) 18 e) N.a.
04.Un niño nació en Noviembre y el 9 de
Diciembre tenía una edad igual al número de
días transcurridos del 1° de Noviembre al día
de su nacimiento. Hallar la fecha de su
nacimiento.
a) 5 de Noviembre b) 19 de Noviembre
c) 17 de Noviembre d) 20 de Noviembre
e) N.a.
05.Un alumno de la Academia nació en el año
19ab y en 1980 tuvo (a+b) años. ¿ En qué
año tendrá (2a+b) años ?
a) 1982 b) 1988 c) 1984
d) 1986 e) N.a.
06.Un padre tiene 3 veces la edad de su hijo.
¿ Cuántas veces la edad del hijo debe
transcurrir, para que la edad del padre sea
sólo el doble de la de su hijo ?
a) 1 b) 3 c) 2
d) 2 1/3 e) N.a.
07.La relación de la edad de un padre con la de
su hijo es 9:5. ¿ Qué edad tiene el hijo, si el
padre es mayor por 28 años ?
a) 25 b) 18 c) 35
d) 27 e) N.a.
08.Al preguntársele su edad a un abuelo,
contestó: "No soy tan joven que pueda tener
menos de 70 años, ni tan viejo que se me
pueda llamar noventón". Cada uno de mis
hijos me han dado tantos nietos como
hermanos tienen, mi edad es justo el triple de
hijos y nietos que tengo". ¿ Cuál era su edad ?
a) 75 b) 84 c) 78
d) 81 e) N.a.
09.La edad de un niño será dentro de 4 años un
cuadrado perfecto. Hace 8 años su edad era la
raíz de ese cuadrado. ¿ Qué edad tendrá
dentro de 8 años ?
a) 28 b) 24 c) 26
d) 20 e) N.a.
10.Juan nació 6 años antes que Carlos. En 1984
la suma de sus edades era la cuarta parte de la
suma de sus edades en 1963. ¿ En qué año
nació Juan ?
a) 1931 b) 1940 c) 1934
d) 1946 e) N.a.
11.En 1918, la edad de un padre era 9 veces la
edad de su hijo; en 1923, la edad del padre
fue el quíntuple de la de su hijo. ¿ Cuál
fue la edad del padre en 1940 ?
a) 66 b) 72 c) 67
d) 70 e) N.a.
12.La edad de dos hermanas se pueden
representar por 2 números primos absolutos y
se sabe que la suma de dichas edades es 36 y
si al producto de dichos números primos se le
agrega una unidad, el número resultante tiene
15 divisores. ¿Qué edad tiene la mayor ?
a) 17 b) 13 c) 23
d) 19 e) N.a.
13.La suma de las edades de un padre y su hijo,
es 50 años. Dentro de 5 años estarán en la
proporción de 1:2. Hallar en qué proporción
están actualmente.
a) 1:2 b) 1:3 c) 3:7
d) 2:5 e) N.a.
14.En 1909 decía un padre a su hijo, mi edad es
el quíntuplo de la tuya, pero en 1930, sólo
será el duplo. ¿ Qué edad tenía el padre en
1930 ?
a) 48 b) 39 c) 56
d) 52 e) N.a.
15.Supongamos que yo tengo 10 años más que
tú. ¿ Qué edad tendrías tu ahora, si dentro de
5 años yo tuviera los 4/3 de la edad que tu
tuvieses ?
a) 18 b) 35 c) 20
d) 25 e) N.a.
16.Patricia le dice a Rosa : tengo 4 veces la edad
que tu tenías, cuando yo tenía el doble de la
edad que tú tienes. Cuando tengas los 3/4
partes de mi edad, nuestras edades sumarán
75 años. ¿ Qué edad tiene Patricia ?
a) 36 b) 28 c) 32
d) 30 e) Ninguna
17.Mariela le dice a Elisa: "Tengo el doble de la
edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad
que tú tienes. Cuando tengas las 13/10 partes
de mi edad nuestras edades sumarán 57 años.
¿ Qué edad tiene Mariela?.
a) 18 años b) 20 años c) 24 años
d) 28 años e) N.a.
18.Coco le dice a Kiko, la suma de nuestras
edades es 46 años y tu edad es el triple de la
edad que tenias cuando yo tenía el triple de la
edad que tuviste cuando yo nací. La edad
actual de Kiko en años es:
a) 26 b) 24 c) 22
d) 20 e) 18
19.Cierta vez se cumplió que la diferencia de las
edades de Antonio y Miguel, que sabía tocar
piano era igual a la suma de la cifras del año
en que estaban. Si el mayor, Antonio nació en
1934. ¿ Qué edad tenía Miguel cuando se
cumplió aquello?.
a) 8 b) 15 c) 19
d) 21 e) N.a.
20.La suma y el producto de las edades de 3
hermanitos es 14 y 36 años respectivamente.
calcular la edad del mayor de ellos.
a) 4 años b) 9 años c) 8 años
d) 12 años e) N.a.
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EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03
01.Un padre tiene 32 años y su hijo 8. ¿Cuántos
años hace que la edad del padre era siete
veces la del hijo?
a) 6 b) 4 c) 7
d) 3 e) 5
02.Cuando Mario nació, Walter tenía 30 años
ambas edades suman hoy 32 años más que la
edad de Tito, que tiene 46 años. ¿Qué edad
tiene Aldo que nació cuando Mario tenía 9
años?
a) 13 años b) 15 c) 17
d) 16 e) N.a.
03.Un padre dice a su hijo : “Ahora tu edad es la
quinta parte de la mía pero, hace 5 años no
era más que un séptimo”. ¿Qué edad tiene el
hijo?
a) 15 años b) 13 c) 20
d) 16 e) 10
04.Los 5/7 de la edad de una persona menos 4
años, dan la edad que tenía hace 12 años.
¿Cuál es esta?
a) 30 b) 28 c) 29
d) 23 e) 25
05.Determinar la edad que cumplió Miguel en
1922 sabiendo que es igual a la suma de las
cifras de su año de nacimiento.
a) 22 años b) 21 c) 24
d) 23 e) 25
06.En torno a una mesa hay 12 personas, José
suma los años de nacimiento de todos ellos y
Carlos suma las edades de las 12 personas; a
continuación se suma los 2 resultados
obteniéndose finalmente 23780. Si la suma se
hizo en Agosto del año 1982. ¿Cuántos ya
habían cumplido años?
a) 7 b) 10 c) 8
d) 9 e) N.a.
07.La edad de un padre con la de su hijo suman
76 años y hace 13 años la edad del padre era
el cuádruple de la edad del hijo. Hallar la
edad del hijo dentro de 5 años.
a) 28 años b) 24 c) 23
d) 19 e) N.a.
08.Katty tiene 32 años y su edad es el doble de la
edad que tenía Mily, cuando Katty tenía la
edad que ahora tiene Mily. ¿Cuántos años
tiene Mily?
a) 28 b) 24 c) 20
d) 16 e) N.a.
09.Pepe le dice a Eduardo: “Tengo el doble de la
edad que tú tenías cuando yo tenía la edad
que tú tienes, pero cuando tú tenga la edad
que yo tengo, la suma de nuestras edades será
de 63 años.” ¿Cuántos años tiene Pepe?
a) 28 b) 16 c) 24
d) 21 e) Ninguna
10.Una persona nació en el año ba19 y en
el año ab19 tiene (a + b) años. ¿En qué
año tuvo (a . b) años?
a) 1963 b) 1960 c) 1965
d) 1959 e) Ninguna
11.Julio nació 6 años que Víctor. En 1948 la
suma de sus edades era la cuarta parte de la
suma de sus edades en 1963. ¿En qué año
nació Julio?
a) 1934 b) 1940 c) 1931
d) 1937 e) Ninguna
12.Cierta vez se cumplió que la diferencia de las
edades de Antonio y Miguel, que sabía tocar
piano era igual a la suma de las cifras del año
en que estaban. Si el mayor, Antonio, nació
en 1934. ¿Qué edad tenía Miguel cuando se
cumplió aquello?
a) 6 b) 10 c) 9
d) 15 e) Ninguna.
13.Eduardo le dice a César: “Tengo tres
hermanas, determina sus edades sabiendo que
su producto es 40 y que su suma es igual a tu
edad”. César después de analizar las
probabilidades responde:
¡ Falta un dato ! y Eduardo contesta
¡ Ah si: mi hermana menor tiene ojos azules !
Determinar la suma de la edad de César y de
la hermana mayor de Eduardo.
a) 24 b) 22 c) 23
d) 21 e) Ninguna
14.La edad de un niño será dentro de 4 años un
cuadrado perfecto. Hace 8 años su edad era la
raíz de ese cuadrado. ¿Qué edad tendrá dentro
de 8 años?
a) 28 b) 24 c) 26
d) 20 e) Ninguna
15.En 1977 la edad de Julio era aunque con el
orden cambiado igual a la dos últimas cifras
del año de su nacimiento, lo mismo sucede
con su abuelo. Si la diferencia de sus edades
es 45, y la edad del abuelo en 1977 era, con el
orden cambiado de sus cifras igual a la edad
de Julio. ¿Cuántos años tendrá el abuelo en
1985?
a) 83 b) 71 c) 75
d) 69 e) Ninguna
16.Si Carmen tiene “a” años más que su hijo,
calcular la edad de Carmen, sabiendo que
dentro de “ab” años la suma de sus edades
será ( )2
ba +
a) ba2 2
+ b) ( ) 2/ba 22
+
c) ( ) 4/ba2 22
+ d)
22
ba +
e) N.a.
17.La suma de las edades de una pareja de
esposos, cuando nació su primer hijo, era la
mitad de la suma de sus edades actuales. Si
ahora el hijo tiene 20 años. ¿Qué edad tenía
cuando las edades de los 3 sumaban 70 años?
a) 5 b) 10 c) 15
d) 20 e) 18
18.Si 3 veces la edad de mi hermano es 2 veces
mi edad, y hace 3 años; 3 veces su edad era la
mía. ¿Cuántos años tengo?
a) 6 b) 9 c) 3
d) 12 e) 15
19.Charo es hija de Angela y Luciana es hija de
Charo. Cuando Luciana nació, la edad de
Charo, hoy durante la reunión del décimo
cumpleaños de Luciana, Angela dice tener 45
años y Charo dice tener 27 años. Si la suma
de las edades de Angela, Charo y Luciana es
de 90 años. ¿Cuántos años oculta cada una de
las señoras?
a) Angela = 5 y Charo = 5
b) Angela = 4 y Charo = 4
c) Angela = 5 y Charo = 3
d) Angela = 3 y Charo = 4
e) Angela = 4 y Charo = 3
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20.La edad de Javier es los 3/2 de la edad de
Luis. Si Javier hubiera nacido 10 años antes
y Luis 5 años después, entonces la razón de
ambas edades sería 16/5 de la razón que
habría si Javier hubiera nacido 5 años después
y Luis 10 años antes. ¿Qué edad tuvo uno de
ellos, cuando nació el otro?
a) 10 b) 20 c) 15
d) 16 e) 5
TAREA DOMICILIARIA
01.Angela le dice a Betty: Cuando yo nací, tú
tenías 6 años. Cuando César tenía el doble de
lo que tú tenias cuando yo nací, pero cuando
nació David, César tenía el doble de lo que yo
tenía cuando César nació, pero cuando David
tenga un año menos de lo que yo tenía cuando
David nació. ¿Qué edad tendrá César en ese
momento?
a) 11 b) 17 c) 9
d) 5 e) 6
02.Cuando a Pilar se le pregunta por la edad de
su hermano responde: “Cuando yo tenía 14
años, mi hermano, tenía la mitad de lo que
tenía mi padre: actualmente sucede igual con
mi edad y la edad actual de mi padre; en
cambio hace 16 años mi edad era la mitad de
la edad que tenía mi hermano”. ¿Cuántos
años tiene el hermano de Pilar?
a) 20 b) 19 c) 18
d) 16 e) 17
03.Hace 12 años la edad de 2 hermanos estaban
en relación de 4 es a 3, actualmente sus
edades suman 59 años. Dentro de cuántos
años sus edades estarán en relación de 8 es a
7?
a) 9 b) 8 c) 7
d) 20 e) 21
04.Karina le dice a Manuel: “Dentro de algunos
años, tu edad será mi edad, como 5 es a 4”. A
lo que Manuel le responde: hace la misma
cantidad de años que tu mencionas, nuestras
edades estaban en la relación de 8 es a 5. Si la
edad de Karina no pasa de 20 años. ¿Qué
edad tendrá ella dentro de 6 años?
a) 20 años b) 28 años c) 18 años
d) 24 años e) 30 años
05.Dentro de 8 años la edad de Pedro será la que
Juan tiene. Dentro de 15 años, Pedro tendrá
4/5 de la edad que entonces tendrá Juan.
¿Cuál era la suma de las edades de Juan y
Pedro cuando Juan tenía el doble de la edad
de Pedro?
a) 26 años b) 28 años c) 18 años
d) 24 años e) 30 años
06.Laura le dice a Pamela: Yo tengo el doble de
la edad que tenías cuando yo tenía la edad
que tú tienes, y cuando tú tengas el doble de
la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras
edades sería 8. Hallar la edad de Pamela.
a) 18 b) 21 c) 24
d) 28 e) 32
07.El le dice a ella: “Yo tengo el doble de la
edad que tenías cuando yo tenía la edad que
tú tienes, pero cuando tú tengas la edad que
yo tengo en ese momento nuestras edades
sumarán 90 años”. ¿Cuántos años tiene él?
a) 20 b) 40 c) 30
d) 55 e) 45
08.Pilar le dice a Gustavo: Tu edad es el doble
de aquella que tenías cuando yo tuve el doble
de la que tuviste cuando cumplí 4 años, si
suman nuestras edades actuales da 32 años.
¿Qué edad tengo?
a) 12 b) 14 c) 16
d) 18 e) 20
09.Mi edad actual es 4 años menos de lo que
exactamente representa el triple de la edad
que tenías cuando yo tenía el triple de lo que
tienes hoy. Pero cuando tengas mi edad; la
suma de nuestras edades será 37 años. ¿Qué
edad tengo?
a) 11 b) 8 c) 12
d) 14 e) Absurdo
10.Víctor le dice a Andrés : “Cuando tú tengas la
edad que yo tengo, tendrás lo que Julio tenía,
que es el triple de lo que tienes y yo tenía los
3/ 5 de lo que él tiene, que es 10 años menos
de los que tendré, cuando tengas lo que ya te
dije”. ¿Qué edad tuve yo cuando naciste?
a) 24 b) 12 c) 8
d) 16 e) 17
INTRODUCCIÓN
Este capítulo trata del estudio del movimiento de
los cuerpos, y de sus características fundamentales
como son el espacio, tiempo y velocidad.
ECUACIÓN FUNDAMENTAL
A B
t
V
e
Dado un cuerpo que se mueve desde un punto
“A” hasta “B”, como indica la figura.
Se cumple:
t
e
V = t.Ve =
Donde :
e: espacio
t: tiempo
v: velocidad
V
e
t =
Observación : Es importante verificar que todas
las variables tengan unidades compatibles.
Nota: para poder simplificar estas fórmulas,
usamos el triángulo siguiente:
e
v t
TIEMPO DE ENCUENTRO (Te)
Se refiere al tiempo que demoran dos móviles en
encontrarse, viajando en sentidos contrarios. Así
dados dos móviles que se mueven en sentidos
contrarios, como indica la figura.
S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
MÓVILEMÓVILE
37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria
A B
t
V
d
A
VB
Para calcular después de cuanto tiempo se
encuentran, se aplica la siguiente fórmula :
BA
e VV
d
t
+
= ........... I
donde:
d : distancia de separación
VA: velocidad del móvil que está en A
VA: velocidad del móvil que está en B
Aplicación :
Dos móviles están separados, 40Km. y van
uno al encuentro del otro, con velocidades de 3
Km/h y 2 Km/h. ¿Después de cuánto tiempo se
encontrarán?
Resolución.- Graficando:
A B
t
3 km/h
40
2 km/h
e
Luego aplicando la fórmula (I) tenemos:
23
40
te
+
= 8te =
Tiempo de Alcance (ta)
Se refiere al tiempo que demora un automóvil en
alcanzar a otro que se mueve en el mismo
sentido, como indica la figura:
A B
t
d
e
VA VB
Observación: VA>VB sino lo podría alcanzar
Para calcular después de que tiempo, uno alcanza
al otro, se aplica la siguiente fórmula:
BA
a VV
d
t
−
=
Donde :
d : distancia inicial de separación
VA: velocidad del móvil que partió de A
VB: velocidad del móvil que partió de B
Aplicación:
Dos móviles se encuentran separados 50 Km.
y se desplazan en un mismo sentido con
velocidades de 30 Km/h y 20 Km/h. ¿Después de
cuanto tiempo el más rápido alcanzará al otro?
Resolución:
Graficando:
50 km
30 km/h 20 km/h
Luego, aplicando la fórmula (II) tenemos :
2030
50
ta −
= 5ta
=
Velocidad Promedio (Vp)
Cuando un móvil cambia la velocidad con el
tiempo, se desea conocer una velocidad que
reemplace a todas las anteriores, y que desarrolle el
mismo espacio en el mismo tiempo, esta velocidad
es llamada “Velocidad Promedio” y se calcula
como la razón entre el espacio total y el tiempo
total empleados.
Así tenemos:
e
t1 t2 t3 t4
1 e
2
e
3 e
4
V1 V2
V3 V4
Luego la velocidad Promedio, se calcula con la
siguiente fórmula.
..........tttt
......eeee
T
e
V
4321
4321
T
T
p ++++
++++
== .
.... (III)
Donde:
e = espacio
T = tiempos
v = velocidad
Aplicación:
Un automóvil partió con una velocidad de 30
Km/h y luego de dos horas aumentó su
velocidad en 10 Km/h, recorriendo con esta,
tres horas más ¿Cuál es la velocidad promedio
del recorrido hecho?
3 h
e
30 km/h (30+10) km/h
2 h
1
e
2
Luego, aplicando la fórmula III, tenemos:
32
40.330.2
tt
ee
V
21
21
p +
+
=
+
+
=
h/Km36Vp =
CRITERIOS DE TRENES
Para cualquier problema de trenes se utiliza como
fórmula básica la ecuación fundamental del
movimiento (Ecuación I)
Aplicación:
A. Un tren viaja a 20 m/s, demora 4 segundos en
pasar delante de un observador ¿Cuál es la
longitud del tren?
Resolución.-
Graficando:
V
L
Donde :
L: longitud del tren
Aplicando la ecuación fundamental :
t.ve =
4.20L = m80L =
B. Un tren demora 8 segundos en pasar delante de
un observador y 10 segundos en pasar
totalmente por un túnel de 400 metros de
longitud ¿Cuál es la longitud del tren?
S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria
Resolución.-
Graficando cada caso:
I. CASO (II) Pasa delante de una persona.
V
L
" 8 s "
Aplicando: t.ve = 8.VL = ....... ( )α
II. CASO (II) Pasa por un túnel
V
L
" 10 s "
400 m
Aplicando: t.ve =
10.V400L == ..... ( )α
De ( )α en ( )β : 8.200L =
m1600L =
Criterios de Corrientes
Para problemas de corrientes, solo hay que
considerar que cuando se navega A FAVOR de la
corriente las velocidades del barco y la corriente,
se SUMAN y cuando se navega EN CONTRA de
la corriente, las velocidades se RESTAN.
Aplicación:
Cuando un barco navega a favor de la corriente
demora 2 horas en recorrer 12 Km. ¿Cuál es la
velocidad del barco?
Resolución : Graficamos cada caso:
I. CASO I: Navegamos a favor de la corriente
12 km
VB
VC
A B
2h
Donde:
Vb: velocidad del barco
Vc: velocidad de la corriente
Aplicando:
( ) 2.VV12
t.Ve
CB +=
=
6VV CB =+ ...... ( )α
II. CASO II : Navegando en contra de la
corriente.
12 km
VB
VC
6h
Donde:
VB: velocidad del barco
VC: velocidad de la corriente
Aplicando:
( ) 6.VV12
t.Ve
CB −=
=
2VV CB =+ ....
.. ( )β
Resolviendo las ecuaciones ( )α y ( )β
tenemos:
8B
CB
CB
V2
2VV
6VV
=
+




=−
=+
4VB =
Luego:
2VC =
PRACTICA DE CLASE
01.Un alumno parte de su casa y avanza 28 m.
al este y luego 30 m. al norte y por último 12
m. al este, encontrando un tienda. Determinar
la distancia que hay de la casa a la tienda.
a) 10 m. b) 50 m. c) 60 m.
d) 80 m. e) N.a.
02.Dos móviles parten de un punto común en
direcciones que forman 120º con velocidades
de 6 m/s y 10 m/s. Determinar la distancia
que están separados al cabo de 3 segundos.
a) 42 m. b) 50 m. c) 60 m.
d) 15 m. e) 18 m.
03.Un móvil marcha con una velocidad de 72
km/h durante 30 minutos. La distancia
recorrida en este lapso de tiempo es:
a) 3600 m b) 36 km c) 80 km.
d) 40 km. e) N.a.
04.Un auto se desplaza con una velocidad
constante de “V” m/s recorriendo un
determinado espacio en 4 segundos. Si
aumenta su velocidad en 4 m/s recorre el
mismo espacio en 3,5 segundos. Hallar “V”
en m/s.
a) 28 m/s b) 14 m/s c) 12 m/s
d) 10 m/s e) N.a.
05.Un móvil B parte a 15 km/h en una dirección
a Arequipa otro móvil A que se encontraba a
30 km/h de tras el, parte a una velocidad de
20 km/h.
Hallar la distancia que recorre cada uno hasta
encontrarse.
a) 100 ; 80 b) 120 ; 90 c) 110 ; 100
d) 120 ; 90 e) 120 ; 100
06.Un niño estaba caminando durante 14 horas.
Si hubiera caminado una hora menos, con una
velocidad mayor en 5 km/h, habría recorrido
5 km. menos. ¿Cuál es su velocidad?
a) 60 km/h b) 70 km/h c) 80 km/h
d) 50 km/ he) 65 km/h
07.Un ciclista calculo que si viajaba a 20 km/h;
llegaría a la meta a las 5:00 p.m. y si viajaba a
30 km/h llegaría a la meta a las 3:00 p.m.
¿Qué velocidad debe tener para llegar a las
4:00?
a) 25 km/h b) 24 km/h c) 28 km/h
d) 26 km/h e) N.a.
08.En el instante que se muestra los coches
parten en velocidades constantes. Si “A”
alcanza a “B” en 25 segundos y 50 segundos
después alcanza a “C” hallar la velocidad “u”
a) 70 m/s b) 60 m/s c) 75 m/s
d) 80 m/s e) N.a.
09.Los 2/3 de un camino se recorrieron en
bicicleta a 32 km/h y el resto a pie, a razón de
4 km/h tardando en total 7,5 h. ¿Cuál fue la
longitud total recorrida en km.?
S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria
a) 120 b) 240 c) 72
d) 96 e) 80
10.Una liebre y una tortuga parten
simultáneamente de un mismo punto, la
tortuga recorre en cada minuto 10 m. y la
liebre 100 m. si ambos se dirigen a un mismo
punto, además la liebre llega a la meta,
regresa hasta la tortuga, luego va hasta la
meta y así sucesivamente hasta que la tortuga
llega a la meta. Si la tortuga recorría 1 km.
¿Cuántos recorrío la liebre?
a) 10 km. b) 100 km. c) 1000 km.
d) 1 km. e) 120 km.
11.Pedro recorre el tramo AB de 20 km en 2
horas. ¿Cuál debe ser su velocidad de retorno
para llegar en la mitad del tiempo?
a) 10 km/h b) 15 km/h c) 12 km/h
d) 20 km/h c) N.a.
12.César recorre el tramo AB en 20 horas, si
quisiera hacerlo en 25 horas; tendrá que
disminuir su velocidad en 8 km/h. ¿Cuánto
mide el tramo AB?
a) 650 km b) 700 km c) 800 km
d) 850 km e) 900 km
13.Dos móviles A y B separados una distancia
“x” parten al encuentro ¿Con cuanto tiempo
de anticipación debe partir A para encontrarse
justo a la mitad del trayecto, si sus
velocidades son “r” y “2r” respectivamente?
a)
r
x
b)
r2
x
c)
r4
x
d)
r8
x
e) N.a.
14.Si la velocidad del sonido en el agua de mar
es 1250 m/s y en el aire 340 m/s. Determinar
a que distancia de tiempo entre el sonido
transmitido por el, agua y el aire es de 45,5
seg.
a) 2500 m b) 29520 m c) 8230 m
d) 18 725 m e) 21 250 m
15.Dos móviles parten de dos puntos de una
recta, con velocidades constantes y se dirigen
uno hacia el otro. El primero ha recorrido 30
m. mas que el segundo, cuando se cruzaron, y
el resto lo hace en 4 minutos. El segundo
demora 9 minutos después del cruce, para
llegar al punto inicial del primero. ¿Qué
distancia los separaba?
a) 10 m. b) 130 m. c) 150 m.
d) 170 m. e) N.a.
16.En una carrera donde participaron 3 caballos,
el ganador corrió a una velocidad de 33 m/s y
llego 12 s antes que el ultimo, a su vez este
llego 8 s después que el segundo caballo. Si
los tiempos empleados por los dos primeros
suman 24 s ¿Qué velocidad en m/s empleo el
ultimo caballo?
a) 12 b) 18 c) 15
d) 20 e) N.a.
17.Un viajero recorre los 2/3 de un camino en
automóvil a la velocidad de 40 km/h y el
resto en motocicleta a 80 km/h. Si en total
tardo 6 h 15 min. ¿Cuántas horras estuvo
viajando en automóvil?
a) 5 b) 4, 5 c) 6
d) 4, 2 e) N.a.
18.Un alumno razona diciendo. Si voy a 80 m/
min llegare al examen 1 hora después; pero si
lo hago a 120 m/min llegare una hora antes
¿A que velocidad debe ir para llegar a la hora
exacta?
a) 90 m/min b) 96 m/min
c) 100 m/min d) 110 m/min
e) 102 m/min
19.Dos móviles parten de un punto y se alejan en
direcciones perpendiculares, con velocidades
constantes de 40 y 30 m/s. ¿En que tiempo
estarán separados 24 km?
a) 10 min b) 9 min c) 8 min
d) 6 min e) 12 min
20.Dos corredores A y B parten
simultáneamente en viaje de una ciudad a
otra, distantes 60 km. La velocidad de A es
74 km/h menos que la de B, luego de llegar B
a la segunda ciudad y regresar
inmediatamente se encuentra con A a 12 km.
La velocidad de A era en km/h.
a) 4 b) 6 c) 8
d) 20 e) N.a.
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 04
01.Dos trenes marchan en sentido contrario y
sobre vías paralelas, con velocidades de 18 y
30 km/h. respectivamente; un pasajero en el
segundo tren calculó que el primero demoró
en pasar 9 segundos ¿Cuál es la longitud de
éste último tren?
a) 80 m b) 480 m c) 100 m
d) 180 m e) 120 m
02. Un motociclista ha recorrido los 4/9 del
camino que une la ciudad de Lima y Huacho;
si aún le falta recorrer 80 km. y ya lleva
corriendo 28800 segundos ¿Cuál es su
velocidad en m/min?
a) 3,133 b) 250 c) 300
d) 380 e) 480
03.Carlín recorre 240 km. en 2 horas a favor de
la corriente y en contra de la corriente 190
km. menos en 1 hora menos. ¿Cuál es la
velocidad de la corriente?
a) 80 km/h b) 35 km/h c) 85 km/h
d) 45km/h e) 85 km/h
04.Boby dispone de 51 segundos para ir a traer
un hueso. Si la ida la hace con una velocidad
de 12 m/s al regreso a 7 m/s menos que la ida.
¿Qué tiempo demora en el movimiento de
ida?
a) 38 s b) 12 s c) 25 s
d) 15 s e) 20 s
05.Dos personas deben hacer un mismo
recorrido de 28 km; la primera está a pie y
hace 5 km; la segunda a caballo y hace 12
km; si la primera parte a las 05: 00 horas. ¿A
qué hora deberá partir la segunda para llegar
al mismo tiempo a su destino?
a) 08h. 20 min. b) 07h. 14 min.
c) 08h. 10 min. d) 08h. 18 min.
e) 07h. 20 min.
06. Dos jinetes corren en un hipódromo de 90m.
de circunferencia y en el mismo sentido. El
primero, que tiene 18m. de adelanto corre con
una velocidad de 2,90 m/s y el ptro 2,54 m/s.
Calcular la suma de las distancias recorridas
hasta su encuentro.
a) 1188 b) 1088 c) 888
d) 9080 e) Imposible calcular
07. Claudico debe realizar un viaje de 820 km. en
7 horas. Si realiza parte del viaje en avión a
200 km/h. y el resto en auto a razón de 55
km/h. ¿Cuál es la distancia recorrida en
avión?.
a) 240 km. b) 500 km. c) 600 km.
d) 700 km. e) 800 km.
08. Un automóvil debe hacer un cierto trayecto
en 4 h. Una hora después de la partida, el
piloto acelera la velocidad a fin de llegar a
media hora antes y hace entonces 16 km. más
por hora. ¿Cuál fue la distancia recorrida?
a) 290 km. b) 300 km. c) 310 km.
d) 320 km. e) 350 km.
09. Un ciclista recorre 80 km. en 3 horas. Llegó a
la mitad del camino y se observó que su
velocidad media fue 2 km/h. inferior a la que
debió llevar. ¿Cuál fue la velocidad media en
S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria
km/h durante el tiempo que le resto, si llegó a
la hora fijada.
a) 22,5 b) 21,5 c) 21
d) 20,5 e) 22
10. Niseforo parte de A a B con una velocidad de
200 km/h., cuando aún le faltaba recorrer 4/5
de su camino duplica su velocidad lo que le
permite llegar a su destino con 2h. de
anticipación.
¿Qué longitud tiene su camino?
a) 2000 km. b) 1800 km. c) 1000 km.
d) 4000 km. e) N.A.
11.Un peatón recorre 23 km. en 7 horas; los 8
primeros con una velocidad superior en 1 km.
a la velocidad del resto del recorrido. Calcular
la velocidad con que recorrió el primer
trayecto.
a) 2 km/h. b) 3 km/h. c) 4 km/h.
d) 5 km/h. e) 6 km/h.
12. Pity se dirige a depositar una carta a una
velocidad de 12 km/h. regresa a 3 km/h. Si
usa 20 horas en total. ¿Qué distancia a
recorrido?
a) 46 km. b) 48 km. c) 36 km.
d) 24 km. e) N.a.
13. Viajando a 100 km/h. un piloto llegaría a su
destino a las 19 horas. Viajando a 150 km/h
llegaría a las 17 horas. ¿Con qué velocidad
debe viajar su desea llegar a las 18 horas?
a) 125 km/h. b) 120 km/h. c) 130 km/h.
d) 135 km/h. e) N.a.
14 Yancha, el primer día, fue al colegio a 6
km/h. y llegó 15 minutos retrasada. El
segundo día fue a 12 km/h. llegando 15
minutos adelantada. ¿A qué velocidad debe
viajar para que saliendo a la misma hora
llegue puntualmente?
a) 7 km/h. b) 8 km/h. c) 9 km/h.
d) 9 1/2 km/h. e) 8 1/2 km/h.
15. Dos automóviles parten desde un mismo
punto, en un circuito de 6000 m. en sentidos
contrarios. Si cuando el primero ha
completado una vuelta al cabo de 20 min., se
cruzan por tercera vez. ¿Cuál es la velocidad
del más rápido en m/min.
a) 450 b) 600 c) 480
d) 540 e) N.a.
TAREA DOMICILIARIA
01.Las velocidades de dos autos son como 6 a 5.
El primero recorre 720 km. en 6 horas.
¿Cuánto recorre el segundo en 7 horas?
a) 740 b) 680 c) 700
d) 760 e) 640
02.Un ciclista se dirige de A hacia B con una
velocidad de 20 Km/h. Después de haber
recorrido
3
1
8 km. es alcanzado por un auto
que recorre la distancia entre A y B con
velocidad constante y que salió de A ¼ de hora
después que él. Después de recorrer de nuevo
25 km. encuentra de nuevo al auto que vuelve
de B donde ha estado media hora ¿Cuál es la
distancia entre A y B?
a) 39,58 b) 39 c) 38,52
d) 38,98 e)39,85
03.Pedro y Juan hacen un recorrido de 100 km.
así: Pedro y Carlos parten en un automóvil a
una velocidad de 25 km/h, al mismo tiempo
que Juan sale, a pie, a 5 km/h. A cierta
distancia, Carlos se baja del carro y continua
caminando a 5 km/h. Pedro regresa, recoge a
Juan y continua la marcha llegando al lugar de
destino al mismo tiempo que Carlos. ¿Cuántas
horas duró el viaje?
a) 6 b) 7 c) 8
d)9 e)10
04.Un peatón parte de A a las 8 de la mañana anda
1 km. cada 9 minutos y descansa ¼ de hora
cada vez que anda 45 minutos. Un coche sale
también de A a las 10 de la mañana en la
misma dirección, recorre 9Km. por hora y se
detiene 20 minutos cada 20km. andados. ¿A
que hora encontrará al peatón?
a) 13h 32’ 18” b) 12h 32’ 18”
c) 13h 33’ 18” d) 13h 32’ 15”
e) 14h 30’ 17”
05.Del embarcadero “A” partieron al mismo
tiempo río abajo un bote y una balsa. El bote
después de pasar 96 km. río abajo, vuelve
hacia atrás y regresa a A al cabo de 14 horas.
Hallar la velocidad del bote en agua muerta y
la velocidad de la corriente, si se sabe que en
su camino de regreso el bote encontró a la
balsa a la distancia de 24 km. de A.
a) 12 y 4 km/h b) 14 y 2 km/h
c) 16 y 3 km/h d) 42 y 12 km/h
e) 17 y 7 km/h
06.Para los ensayos de motocicletas de diferentes
de diferentes tipos, los motociclistas parten al
mismo tiempo del punto “A” a “B” y de el
punto “”B” a “A”. La velocidad de los dos
motociclistas es constante y al llegar al punto
final vuelven inmediatamente hacia atrás. La
primera vez se encontraron a la distancia de
“p” kilómetros de “B” y la segunda a “q”
kilómetros “A”, “t” horas después del primer
encuentro, hallar la distancia en A y B.
a) 3p – q b) 3q – p c) 2p + 3q
d) 2p – pq e) 5p – 3q
07.Dos automóviles partieron al mismo tiempo de
un mismo punto en un mismo sentido. La
velocidad del primero es 50Km/h y la del
segundo de 40km/h. Después de media hora,
del mismo punto y en el mismo sentido parte
un tercer automóvil que alcanza al primero 1,5
horas más tarde que al segundo. Hallar la
velocidad del tercer automóvil.
a) 70Km/h b) 60Km/h c) 65Km/h
d) 68Km/h e) 75 Km/h
08.Dos ciclistas salen simultáneamente al
encuentro, el primero sale de “A” con una
velocidad de 7 km/h y el segundo sale de “B”
con una velocidad de 3 km/h. Al segundo lo
acompaña su perro, que corre una velocidad de
5 km/h, el perro sigue la ruta encuentra al otro
ciclista y vuelve al encuentro de su amo, y así
sucesivamente sigue corriendo hasta que los
dos ciclistas se encuentran. que distancia ha
recorrido el perro si de A a B hay 40
kilometros.
a) 20 km b) 25 km c) 30 km
d) 32 km e) 40 km
09.Un automóvil parte de Piura a las 17:00 y llega
a Lima al día siguiente a las 14:00. Otro sale de
Piura a las 15:00 y llega a Lima al día siguiente
a las 9:00. ¿A qué hora el segundo auto alcanzó
al primero?
a) 11:00 b) 02:00 c) 03:00
d) 04:00 e) 05:00
10.En 100 metros un corredor “A” vence a otro
“B” por 1/5 de segundo, pero si “A” le da 3
metros de ventaja a “B” este vence a “A” por
14/13 de segundo. ¿Cuánto tarda “B” en
recorrer 100 metros?
a) 40,56 s b) 41,56 s c) 42,56 s
d) 43,56 s e) 38,56 s
S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria
Tipo (I)
01.Un reloj que da la hora mediante campanadas,
se demora 1 segundo para dar las 2. ¿Cuántos
segundos se demorará en dar las 4, si las
campanadas están igualmente espaciadas?
a) 1 segundo b) 2 segundos
c) 3 segundos d) 4 segundos
e) 5 segundos
Resolución
Si se demora 1 segundo en dar las 2, implica
que se demora en dar 2 campanadas, quiere
decir que de la primera campanada a la
segunda ha transcurrido 1 segundo.
1° campanada 2° campanada
1 segundo
Nótese que el tiempo que se considera, no es
el que demoran en sonar las dos campanadas,
sino el tiempo transcurrido entre una y otra
campanada.
Luego para dar las 4 (es decir para dar 4
campanadas) de la 1ra a la 2da campanada
habrá 1 segundo; de la 2da a la 3ra otro
segundo y de la 3ra a la 4ta un segundo más,
vale decir, tardará tres segundos.
1°
1 seg
2° 3° 4°
1 seg 1 seg
Total: 3 segundos.
02.Un reloj de campanadas se demora 1 segundo
en dar las 3 horas. ¿Cuánto tardará en dar las
5 horas?
a) 1 segundo b) 1.5 segundo
c) 2 segundos d) 2.5 segundos
e) 3 segundos
Resolución
Dato:
1°
1/2 seg
2° 3°
1 seg
1/2 seg
∴Para dar las 5 horas:
1°
1/2 seg
2° 3°
1/2 seg
4° 5°
1/2 seg 1/2 seg
Total: 4 (1/2) = 2 seg.
Tipo (II)
03.Siendo las 8 a.m. empieza a adelantarse un
reloj, a razón de 5 minutos por cada hora.
¿Qué hora estará marcando este reloj, cuando
en realidad sean las 10 p.m. del mismo día?
a) 10:10 pm. b) 10:50 pm. c) 11:00 pm.
d) 11:10 pm. e) 11:20 pm.
Resolución
De las 8 a.m. hasta las 10 p.m. han
transcurrido 14 horas.
En 1 hora se adelanta 5 minutos.
En 14 horas se adelantará “x” minutos.
x = 14 x 5 = 70 min ó 1 hora 10 min.
Luego: a las 10 p.m. tendrá un adelantado de
1 hora 10 min, entonces marcará 11.10 p.m.
04.Un reloj que se atrasa 4 minutos cada 5 horas,
se pone a la hora al medio día. Se desea poner
nuevamente a la hora a las 8:00 a.m.
¿Cuántos minutos se debe adelantar para
ponerlo a la hora?
a) 15 min. b) 16 min. c) 18 min.
d) 20 min. e) 24 min.
Resolución
Del medio día, a las 8:00 a.m. del otro día han
transcurrido 20 horas.
En 5 horas se atrasa 4 minutos.
En 20 horas se atrasará “x” minutos.
x =
5
4x20
= 16 minutos
Luego, para ponerlo a la hora, hay que
adelantarlo en 16 minutos.
05. Cuando son exactamente las 4:00 p.m.; un
reloj marca las 3:40 p.m. Se sabe que el reloj
sufre un retraso constante de 2 minutos cada
3 horas. Determinar a que hora marcó la hora
correcta por última vez?
a) 8:00 a.m. b) 9:00 a.m. c) 9:30 a.m.
d) 9:40 a.m. e) 10:00 a.m.
Resolución
Como son las 4:00 p.m.; un reloj marca las
3:40 p.m., entonces tiene un retraso de 20
minutos.
En 3 horas se retrasa 2 minutos.
En “x” horas se habrá retrasado 20 minutos.
x =
2
3x20
= 39 horas
Luego, para retrasarse 20 minutos se ha
demorado 30 horas, por lo que se deduce que
hace 30 horas marcó la hora correcta por
última vez, es decir, a las 10:00 a.m.
06.Siendo las 12 del día, un reloj empezó a
adelantarse a razón de 10 minutos por hora.
¿Dentro de cuántas horas volverá a marcar la
hora correcta por primera vez?
a) Dentro de 12 horas
b) Dentro de 36 horas
c) Dentro de 2 días
d) Dentro de 1 día
e) Dentro de 3 días
Resolución
Para que un reloj que se adelanta vuelva a
marcar la hora correcta por primera vez, tiene
que adelantarse en 12 horas como mínimo.
Por ejemplo, supóngase que en estos
momentos son las 10:00 a.m.; tenemos un
reloj que marca la hora correcta y
adelantemos en 12 horas, notaremos que a
pesar de estar adelantado en 12 horas, estará
marcando la hora correcta, es decir, las 10:00.
Es por ello, que en este problema, tendríamos
que esperar que el reloj se adelante en 12 oras
= 12 x 60 = 720 minutos, para que vuelva a
marcar la hora correcta.
Luego:
En 1 hora se adelanta 10 minutos.
En “x” horas se adelantará 720 minutos.
x =
10
720
= 72 horas = 3 días.
Volverá a marcar la hora correcta por primera
vez dentro de 3 días.
Tipo (III)
Los problemas que analizaremos en este caso, son
los que se derivan de la relación existente entre la
hora que marca el reloj y el ángulo formado por
las manecillas del reloj en ese momento.
Algunas Consideraciones
1. Divisiones de un reloj
Un reloj de manecillas tiene 12 divisiones
mayores que indican las horas, cada una de
éstas está dividida en cinco divisiones
menores, las cuales hacen un total de 12 x 5 =
60 divisiones menores en toda la
circunferencia que indican los minutos.
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RELOJES
37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria
En adelante como divisiones nos referimos a
las divisiones menores.
Por otro lado, toda la circunferencia del reloj
tiene 360°.
De lo anterior tenemos las siguientes
equivalencias.
60 div < > 60 min < > 360°
1 div < > 1 min < > 6°
Lo anterior indica, que si el minutero de un
reloj recorre 1 división, transcurre 1 minuto
de tiempo y ha barrido un ángulo de 6°.
2. Relación de los corridos del horario y el
minutero
En una hora la aguja minutera da una vuelta
entera, es decir, recorre 60 divisiones,
mientras que el horario recorre solamente 5
divisiones (la doceava parte de lo que recorre
el minutero).
Cuando: Las 12 divisiones mayores tiene 5.
Minutero recorre ⇒ Horario recorre
60 divisiones
12 divisiones
m divisiones
5 divisiones
1 división
m/12 divisiones
Por ejemplo: cuando el minutero haya recorrido
36 divisiones (36 minutos), en ese tiempo, el
horario habrá recorrido
12
36
= 3 divisiones.
3. Hora de referencia
Dada una hora cualquiera, la hora de
referencia será la hora exacta anterior a dicha
hora.
Ejemplo:
A las 7 hrs 25 min, la hora de referencia será
las 7 en punto.
Entre las 4 y las 5, la hora de referencia será
las 4 en punto.
Problema General: Hallar el ángulo que
forman las manecillas de un reloj, a las “H”
con “m” minutos.
Resolución:
a) Cuando el horario adelanta al minutero
Partamos de la hora de referencia, que en este
caso será las “H” en punto. A partir de ese
momento el minutero ha recorrido “m”
divisiones, en tanto que el horario la recorrido
m/12 divisiones.
Hora de Referencia
H
12 5Hdiv
A las “H” con “m” min.
H
12 5Hdivm
div
1 div. < > 6° ⇒
2
m11
H30 −=α
b) Cuando el minutero adelanta el horario
Nuevamente partiendo de la hora de
referencia, el minutero ha recorrido “m”
divisiones, mientras que el horario m/12.
Hora de Referencia
H
12 5Hdiv
A las “H” con “m” min.
m div
12 5Hdiv
α
m
12
div
div
12
m
H5m














+−=α
1 div < > 6° ⇒ H30
2
m11
−≡α
Resumen:
La hora que señala el reloj y el ángulo que
forman sus manecillas están relacionados de
la siguiente manera:
Cuando horario adelanta al minutero
2
m11
H30 −=α
Cuando el minutero adelanta al horario
H30
2
m11
−=α
Donde:
H: Hora de referencia (0 ≤ H < 12)
M: # de minutos transcurridos a partir de la
hora de referencia.
α: Medida del ángulo que forman las
manecillas del reloj en grados
sexagesimales.
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Ejemplo 1: ¿Cuál es el menor ángulo que forman
las manecillas de un reloj a las 7:24 a.m.?
Resolución:
12
α
°=α
−=α
−=α







=α
=
=
78
2
)24(11
)7(30
2
m11
H30
?
24m
7H
Ejemplo 2:
¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj, a
las 9:10 p.m.?
°=α
−=α
−=α







=α
=
=
215
2
)10(11
)9(30
2
m11
H30
?
10m
9H
Nota:
Cuando se pregunta por el ángulo que forman las
manecillas del reloj, se entiende por el menor
ángulo. En este ejemplo, el ángulo mide 215° que
es mayor de 180°; luego, el ángulo pedido no es
éste si no su ángulo revolucionario, es decir 360°
- 215° = 145°.
Ejemplo 3:
¿Cuál es el ángulo formado por las manecillas de
un reloj a las 4 y 36 minutos?
Resolución:
°=α
−=α
−=α







=α
=
=
78
)4(30
2
)36(11
H30
2
m11
?
36m
4H
Ejemplo 4:
Determinar el ángulo que forman manecillas de
un reloj a las 12 con 18 minutos.
Resolución:
Cuando son las 12 y tantos, las horas de
referencia se toma como cero (H = 0).
Luego:
°=α
−=α
−=α







=α
=
=
99
)0(30
2
)18(11
H30
2
m11
?
18m
0H
Ejemplo 5:
¿A qué horas, entre las 4 y las 5, las manecillas
de un reloj, forman un ángulo de 65° por primera
vez?
Resolución:
12
65°
5
4
1
°=
−=
−=α







°=α
=
=
10m
2
m11
)4(3065
2
m11
H30
65
??m
4H
Nota:
Cuando se dice “por primera vez” significa que el
horario está adelantado con respecto del minutero
y cuando se dice “por segunda vez” ocurre la
viceversa.
Ejemplo 6:
¿A qué horas entre las 2 y las 3, las manecillas de
un reloj formarán un ángulo de 145° por segunda
vez?
Resolución:
El ángulo que forman las manecillas del reloj, se
mide en sentido horario a partir de horario si el
minutero adelanta al horario y a partir del
minutero si el horario adelanta al minutero.
Por lo anterior, en este ejemplo:
α = 360° - 145° = 215°
A las 2 con 50 minutos.
10
145°
3
2
215°
50m
)2(30
2
m11
215
H30
2
m11
215
??m
2H
=
−=
−=α






°=α
=
=
PRÁCTICA DE CLASE
01.Un reloj se adelanta 5 segundos cada 10
minutos. Hace 18 horas que se viene
adelantando. ¿ Qué hora marcará si son en
realidad 3 h 24 min. ?
a) 9h 30' b) 9h 31' c) 9h 32'
d) 9h 33' e) N.a.
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02.Un reloj se atrasa 4 min cada 5 horas. Hace
10 días que se viene atrasando. ¿ Qué hora
marcara, si en realidad son las 9 ?.
a) 5h 48' b) 6h 48' c) 6h 12'
d) 6h 32' e) N.a.
03.Un reloj se adelanta 3 min. cada 6 horas si a
las 8 p.m. está marcando la hora exacta.
¿ Qué tiempo transcurrirá para la que vuelva a
marcar la hora exacta ?
a) 100 días b) 90 días c) 60 días
d) 45 días e) N.a.
04.¿Cuál es el ángulo que forma las manecillas
de un reloj a las 8h 50 min ?
a) 30° b) 35° c) 45°
d) 60° e) N.a.
05.Hallar el menor ángulo que forman las agujas
de un reloj a las 9 h. 10 min. ?
a) 215° b) 175° c) 150°
d) 145° e) N.a.
06.¿A qué hora entre las 4 y las 5 están opuestas
las agujas del reloj?
a) 4h 51 2/11 min b) 4h 52 5/11 min
c) 4h 54 6/11 min d) 4h 55 3/11 min
e) N.a.
07.Antes que el minutero pase sobre el horario. ¿
A qué hora entre las 5 y las 6, las agujas de
un reloj forman un ángulo recto ?
a) 5h 11 5/11 min b) 5h 11 9/11 min
c) 5h 10 10/11 min d) 5h 11 2/11 min
e) N.a.
08.Mirando un reloj se observa que la mitad de
la parte transcurrida del día es igual a la
tercera parte de lo que falta transcurrir.
¿ Qué hora es en el momento que se miró el
reloj ?
a) 9h 30' b) 9h 36' c) 9h 48'
d) 9h 24' e) N.a.
09.En un determinado mes existen 5 miércoles, 5
jueves y 5 viernes. Se pide hallar que día es el
30 del siguiente mes.
a) Miércoles b) Jueves c) Lunes
d) Martes e) Domingo
10.Un trabajador puede realizar un trabajo en 5
horas. ¿ Qué parte de la obra hará desde las 9
h. 55 a.m. hasta las 10 h. 05 a.m. ?
a) 1/15 b) 1/4 c) 1/30 d) 1/8 e) N.a.
11.Francisco comienza un viaje cuando las
manecillas del reloj están superpuestas entre
los 8 y los 9 a.m. Llega a su destino entre las
2 y las 3 pm. cuando las manecillas del reloj
forman un ángulo de 180 grados. ¿ Qué
tiempo demoró el viaje?
a) 6 hrs. b) 6 hrs. 30' c) 5 hrs. 20'
d) 6 hrs. 20' e) N.a.
12.Dos relojes dan las horas y las medias horas.
Sus marchas son iguales, pero uno de ellos dá
la hora cambiada, a la 1 dá las 3, a las 2 dá las
4, etc. Si se ponen en marcha a las 11:59.
¿ Qué hora será cuando hayan dado el mismo
número de campanadas ?
a) 6 b) 4 c) 7
d) 5 e) N.a.
13.En un momento dado, 2 relojes marcan las 12
hrs.; uno de ellos se retrasa 7 seg. por hora y
el otro se adelanta 5 seg. por hora . ¿Qué
tiempo mínimo tendría que transcurrir para
que los 2 relojes vuelvan a marcar una misma
hora y que hora es esa?
a) 120 días a las 14 hrs.
b) 150 días a las 12 hrs.
c) 120 días a las 8 hrs.
d) 150 días a las 17 hrs.
e) N.a.
14.En un mes el primer día cayó Lunes y el
último Lunes. ¿ Qué día cayó el 16 de
Setiembre del mismo año ?
a) Viernes b) Martes c) Jueves
d) Lunes e) N.a.
15.¿ A qué día y hora del mes de Abril de 1976,
se verificó que la fracción transcurrido del
mes fue igual a la fracción transcurrida del
año ?
a) 8 Abril a las 3 a.m.
b) 9 Abril a las 3 a.m.
c) 13 Abril a las 6 p.m.
d) 15 Abril a las 10 p.m.
e) N.a.
16.Juan sale de su casa según su reloj a las 7.5
hrs. (a.m) y llega a la oficina a las 8.20 hrs.
(a.m), luego se entera que su reloj estaba
atrazado 12 mint. y el de la oficina tenía un
adelanto de 5 mint. exactamente. ¿ Cuántos
minutos demoró en llegar a su oficina?.
a) 53 min b) 59 min. c)1 hr, 1 min.
d) 1 hr. 83 min. e) N.a.
17.¿ Cuál es el menor ángulo que forman las
agujas de un reloj a las 10 hrs. 30 minutos?.
a) 135° b) 105° c) 120°
d) 140° e) N.a.
18.Es la 3 de la tarde. ¿ Cuántos minutos deben
transcurrir para que las agujas estén
superpuestas?
a) 1 4/11 min. b) 16 4/11 min.
c) 15 4/11 min. d) 16 min. e) N.a.
19.Es medio día, qué hora las agujas de un reloj
estarán opuestas.
a) 12 hrs. 30 min.
b) 12 hrs. 32 min.
c) 12 hrs. 32 8/11 min.
d) 4 hrs. 21 9/11 min.
e) N.a.
20.A las 8 horas 24 minutos. ¿ Cuántos divisores
(arco menor) abarcan las manecillas del reloj?
a) 12 b) 18 c) 14
d) 15 e) 16
EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 05
01. Un reloj da 6 campanadas en 5 seg. ¿En
cuántos segundos dará 12 campanadas?
a) 12 b) 10 c) 11
d) 9 e) 13
02. Se hacen funcionar dos relojes a las 00 horas.
Si uno de ellos se retrasa 10 minutos cada
hora con respecto al otro. ¿Cuánto tiempo
transcurrirá hasta que ambos relojes coincidan
a las 12?
a) 8 días b) 5 días c) 75 horas
d) 3 días e) 2 días
03. Una secretaria sale de su casa a las 9:45 a.m..
según su reloj y llega a su trabajo a las 10:45
a.m., según el reloj de la oficina. Se entera
entonces que su reloj estaba atrasado 12
minutos y el de la oficina un adelanto de 8
minutos. ¿Cuánto demoró en llegar a su
trabajo?
a) 30 min. b) 40 min. c) 60 min.
d) 54 min. e) 65 min.
04. ¿A qué hora, después de las 3 p.m., las agujas
de un reloj determinan un ángulo de 130o
?.
a) 3:45’ b) 3:35’ c) 3:30’
d) 3:40’ e) 3:50’
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05. Un reloj se atrasa un minuto en cada hora. Si
marca la hora correcta el 4 de enero a las
12m. ¿Qué día y a qué hora marcará
nuevamente la hora exacta?
a) 28 de enero; 12 m.
b) 02 de febrero; 7:30 p.m.
c) 31 de enero; 1 p.m.
d) 5 de febrero; 10 a.m.
e) 3 de febrero; 12 m.
06. ¿A qué hora entre las 7 y 8 las agujas de un
reloj determinan un ángulo de 60o
por
segunda vez?
a) 7:50
11
2
b) 7:49
11
1
c) 7:51
11
1
d) 7:49
11
2
e) 7:49
11
3
07. ¿A qué hora entre las 4 y las 5 el minutero y
el horario formarán un ángulo que sea la
quinta parte del ángulo externo?
a) 4h 12
11
10
min. b) 4h 10
11
10
min.
c) 4h 20min. 6
11
2
seg.
d) 4h 10min. 20seg. e) N.a.
08. Un reloj se adelanta 2 min. cada 8 minutos .
¿Qué hora será realmente cuando este reloj
marque las 2 h. 15 min. y desde hace 3 horas
que se adelanta?.
a) 1h 30’ b) 1h 25’ c) 2h 30’
d) 2 h 20’ e) 3 h 40’
09. ¿A qué hora después de las 4, el minutero
equidista del horario y de las 12 por segunda
vez?
a) 4: 40’ 40
''
23
2
b) 4: 41’ 45
''
23
1
c) 4: 41’ 44
''
23
8
d) 4: 42’
''
23
2
e) 4: 42’ 20
''
23
10
10. Cuando son las 8:00 a.m., un reloj marca
8:10 a.m., pero a las 9:00 a.m., del otro día
marca 8:45 a.m. ¿Qué hora marcará a las 6 de
la tarde del mismo día?
a) 5: 51’ 10’’ b) 5: 50’ 36’’ c) 5: 47’ 36’’
d) 6: 00’ 00’’ e) 5: 30’ 24’’
11. Siendo las 2:00 p.m., se ponen a la hora 2
relojes A y B. El primero se adelanta 7
minutos cada hora y B se atrasa 8 minutos
cada hora. A las 10 de la noche del mismo
día; ¿Cuánto tiempo estará adelantado A
respecto a B?
a) 20 min. b) 40 min. c) 1 hora
d) 1,5 hora e) 2 horas
12. ¿Cuántas veces las manecillas de un reloj se
superponen exactamente en una semana?
a) 150 b) 152 c) 154
d) 168 e) 161
13. Al ver que ninguno de sus relojes marchaba
bien, pues uno se adelanta 2 minutos por día
y el otro se atrasaba 2 minutos por día, el 1ro
de enero de 1965, a horas 12 m el dueño de
los relojes les puso a la misma hora, para ver
cuando volverían a marcar la hora correcta.
¿Cuándo volvieron a marcar la hora exacta?
a) 26–04–66 b) 27–12–65 c) 26–04–65
d) 01–01–66 e) N.a.
14. Dos relojes marcan las 8 a.m., si en ese
instante el primero comienza a adelantarse 5
min. por hora y el segundo a atrasarse 200
seg., por hora. Hallar a qué hora habrá una
diferencia de 31 min., entre dichos relojes.
a) 11h 39’ 36 a.m. b) 3h 27’ 30’’ a.m.
c) 11h 43’ 12’’ a.m. d) 4h 20’ 20’’ a.m. e)
N.A.
15. La hora que falta para terminar el día y las
horas que pasaron desde que inició, están en
relación de 3 : 5 . ¿Cuántas horas han
transcurrido desde el mediodía?
a) 5h b) 4h c) 3h
d) 2h e) 6h
TAREA DOMICILIARIA
01.Un reloj demora 5 segundos en dar las 6,
empezando exactamente a las 6:00. Si los tic
tac están uniformemente espaciados.
¿Cuántos segundos tarda en dar las 12:00?
a) 11 s b) 9 s c) 12 s
d) 20 s e) N.A.
02. ¿A qué hora los 2/3 de lo que queda del día
es igual al tiempo transcurrido?
a) 9h 36’ a.m. b) 8h 20’ p.m.
c) 9h 20’ p.m. d) 8h 15’ p.m. e) N.A.
03.Los 2/3 de lo que falta transcurrir de un día
equivale al doble de lo transcurrido. ¿Cuántas
horas faltan para el medio día?
a) 4 b) 6 c) 12
d) 18 e) 20
04.Mirando un reloj se observa que la parte
transcurrida del día es igual a los 3/5 de lo
que falta por transcurrir. ¿Qué hora es en el
momento que se miró el reloj?
a) 8 a.m. b) 6 p.m. c) 9 a.m.
d) 8 p.m. e) N.a.
05.La hora que falta para terminar el día y las
horas que pasaron desde que inició, están en
relación de 3:5. ¿Cuántas horas han
transcurrido desde el mediodía?
a) 5h b) 4h c) 3h
d) 2h e) 6h
06.¿Qué hora es, si falta del día, la tercera parte
de lo que faltaba hace 6 horas?
a) 8:00 a.m. b) 9:00 a.m. c) 10:00 a.m.
d) 8:00 p.m. e) 9:00 p.m.
07.¿Cuál es el menor ángulo que forman las
manecillas de un reloj a las 4h 40’?
a) 110° b) 130° c) 100°
d) 124° e) N.A.
08.¿A qué hora entre las 6 y las 7 las agujas del
reloj estarán superpuestas?
a) 6h 30’ b) 6h 31’
c) 6h 31 7/11 min. d) 6h 32 8/11’
e) N.a.
09.Son las 8 de la noche, a que hora las agujas
del reloj forman primera vez un ángulo de 70°
?
a) 8h 30 10/11’ b) 8h 31 2/11’
c) 8h 35 1/11’ d) 8h 31 5/11’
e) N.a.
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10.Antes que el minutero pase sobre el horario.
¿A qué hora entre las 5 y las 6, las agujas de
un reloj forman un ángulo recto?
a) 5h 51 2/11’ b) 4h 54 6/11’
c) 5h 10 10/11’ d) 5h 11 2/11’
e) N.a.
SOLUCIONARIO
Nº
EJERCICIOS PROPUESTOS
01 02 03 04 05
01. C C B E C
02. D A B A D
03. C C A B B
04. B D B D D
05. D C E E E
06. B D C B B
07. C B A A B
08 A C B D A
09. B D A A C
10. B B C C D
11. D C B C E
12. B C B E C
13. C C B B D
14. C D D B C
15. B C D B D
16. B C E
17. C C B
18. C C A
19. B D C
20. C B A
GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL
copyright 2003
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  • 1. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria Plantear una ecuación es traducir un problema del lenguaje escrito u oral al lenguaje matemático (Ecuaciones). Lenguaje Escrito Lenguaje Interpretación e Lenguaje (Ecuación) matemático Procedimiento básico para plantear una ecuación 1°: Leer detenidamente el enunciado del problema, las veces que sean necesarios hasta comprender el problema. 2°: Extraer los datos. 3°: Ubicar la (s) incógnita (s) y representarla mediante (s) variables (s). 4°: Relacionar los datos construyendo una igualdad lógica. 5°: Resolver la (s) ecuación (es) planteadas en el paso anterior. 6°: Volver a leer la pregunta para responderla. Traducción y representación Forma escrita(verbal) Forma Simbólica A es tres veces más que B El triple de un número, disminuido en 6 A 8 se le resta un número Se resta un número a 18 Se resta de un número 18 El número de naranjas excede al número de plátanos Cuatro menos tres veces un número equivale al doble de, el mismo número disminuido en 8 Importante: * Aumentado, agregado : Suma (+) * De, del, de , los : Producto (x) * Es, como, será, tendrá, nos da : Igualdad(=) * Es, a, como, entre : cociente (:) * Cantidad de veces : Producto (x) * Mayor, excede a : Un número tiene más que otro * Menor, excedido : Un número tiene menos que otro PRÁCTICA DE CLASE 01.Hallar un número, que disminuido en 5/8 de él nos da 240. a) 600 b) 640 c) 720 d) 170 e) 820 02.El dinero que tiene Paco, aumentado en sus 7/12 es igual a 760. ¿Cuánto tenía Paco? a) 480 b) 420 c) 400 d) 600 e) 720 03.¿Cuál es e número, cuyos 3/4 exceden en 420 a su sexta parte? a) 720 b) 180 c) 600 d) 840 e) 960 04.¿Qué número es aquel, cuyo exceso sobre 232 equivale a la diferencia entre 2/5 y 1/8 del número? a) 300 b)700 c) 400 d) 320 e) N.a. 05.La diferencia de dos números mas 80 unidades es igual al cuádruple del número menor, menos 60 unidades. Hallar los dos números, si el mayor es el triple del menor. a) 120 y 80 b) 70 y 210 c) 180 y 240 d) 180 y 120 e) 240 y 340 06.La suma de dos números es 74 y su cociente es 9, dando de residuo 4. ¿Cuál es número menor? a) 3 b) 7 c) 10 d) 12 e) 9 07.La suma de dos números es 611, su cociente es 32 y el residuo de su división el mayor posible. Hallar el producto de dichos números. a) 4724 b) 10674 c) 12494 d) 72444 e) N.a. 08.Ana tiene 2 veces lo que tiene María, si Ana le da S/.18 a María, entonces tendrán la misma cantidad. ¿Cuánto tienen entre las dos? a) 108 b) 54 c) 72 d) 80 e) 96 09.Hallar el menor de tres números enteros consecutivos; si sabemos que los 4/5 del mayor exceden a los 3/4 del intermedio en una cantidad igual a la sexta parte del menor disminuida en 1/5. a) 10 b) 8 c) 9 d) 12 e) 15 10.Tu tienes la mitad de lo que tenías y tendrás el triple de lo que tienes. Si tuvieras lo que tienes, tenías y tendrás, tendrías lo que yo tengo, que es 180 soles más de lo que tu tendrás. ¿Cuánto tenías? a) 100 b) 110 c) 80 d) 120 e) 140 11.En una aula los alumnos están agrupados en un número de bancas de 6 alumnos cada una, si se les coloca en bancas de 4 alumnos se necesitaran 3 bancas más. ¿Cuántos alumnos hay? a) 24 b) 36 c) 42 d) 90 e) 120 12.Un tren al final de su trayecto llega con 40 adultos y 30 niños, con una recaudación de S/.200. Cada adulto y cada niño pagan pasajes únicos de S/.2 y S/.1 respectivamente. ¿Con cuántos pasajeros salió de su paradero inicial si en cada paradero por cada 3 adultos que subían, también subían 2 niños y bajaban 2 adultos junto con 5 niños? a) 80 b) 60 c) 90 d) 82 e) 120 13.Lo que cobra y gasta un profesor suma S/.600, lo que gasta y lo que cobra está en relación de 2 a 3. ¿En cuánto tiene que disminuir el gasto para que dicha relación sea de 3 a 5? a) 12 b) 36 c) 28 d) 30 e) 24 14.En un pueblo correspondía a cada habitante 60 l de agua por día. Hoy ha aumentado la población en 40 habitantes y corresponde a cada uno 3 l menos. El menor número de habitantes del pueblo es: a) 800 b) 600 c) 720 d) 960 e) 1000 S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...." III PLANTEAMIENTO DEPLANTEAMIENTO DE
  • 2. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria 15.Se desea repartir naranjas equitativamente entre cierto número equitativamente entre cierto número de días sobrando 3 naranjas; pero si les da 2 naranjas más a cada uno faltarían 7 naranjas. ¿Cuántos niños eran? a) 15 b) 5 c) 10 d) 18 e) 70 16.Dos socios han contribuido a formar un capital. El 1° recibió 20% de intereses por el capital que invirtió durante 18 meses. Si la ganancia total fue de S/.1320. ¿Qué monto invirtió el 2° si la suma de los capitales invertidos fue de S/.7600? a) S/.4000 b) S/.400 c) S/.7200 d) S/.4200 e) S/.3600 17.Dos comerciantes que han adquirido 8 y 5 docenas de pantalones tienen que pagar por dicha compra; como no poseen dinero, el primero paga con 6 pantalones y le dan S/.300 de vuelto, el segundo paga con 4 camisas y recibe S/.320 de vuelto. Sabiendo que los pantalones en pago no se les ha cobrado impuestos determinar el costo de cada pantalón. a) S/.600 b) S/.500 c) S/.480 d) S/.720 e) S/.420 18.Si por 2 soles me dieron 6 naranjas más de los que dan, la docena costaría S/.0,90 menos. Hallar el número de naranjas que me dan. a) 10 b)8 c) 16 d) 40 e) 12 19.Una persona puede comprar 24 manzanas y 20 naranjas o 36 manzanas y 15 naranjas. Si compara sólo naranjas. ¿Cuál es el máximo número que podría comprar? a) 20 b)15 c) 18 d) 30 e) 22 20.Se debía repartir S/.1800 entre cierto número de personas, 4 de ellas renunciaron a su parte, con la cual a cada uno de los asistentes le tocó S/.15 más. ¿Cuántas personas eran inicialmente? a) 24 b)22 c) 40 d) 32 e) 44 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 01 01.La suma de tres números consecutivos es igual a 111. ¿Cuál es el mayor? a) 36 b) 39 c) 38 d) 37 e) 35 02.Las dos quintas partes de un número, más 5 es igual a la mitad de dicho número ¿Cuál es le número? a) 30 b) 40 c) 60 d) 50 e) 80 03.En un gallinero hay 5 pavos más que gallinas y 3 patos más que pavos. Si en total hay 49 aves. ¿Cuántas gallinas hay? a) 20 b) 17 c) 12 d) 13 e) 15 04.La edad de Pedro es el doble de la edad de María. SI en cinco años más la suma de sus edades será 43 años. ¿Qué edad tiene actualmente Pedro? a) 11 años b) 22 años c) 24 años d) 26 años e) 28 años 05.El doble de un número, aumentado en 12 es igual a su triple, disminuido en 5. ¿Cuál es el número? a) 19 b) 22 c) 18 d) 17 e) 20 06.Tres números impares consecutivos suman 81. ¿Cuál es el menor? a) 21 b) 25 c) 27 d) 28 e) 24 07.¿Qué número debe restarse de “p + 2” para obtener 5? a) p + 2 b) p + 3 c) p – 3 d) p – 4 e) p + 7 08.Un número multiplicado por 5; sumado con el mismo número multiplicado por 6 da 55. ¿Cuál es le número? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 09.La edad de Pedro excede a la de su hermano Luis en 10 años. Si la suma de dichas edades es de 50 años. Hallar la edad de Luis. a) 30 años b) 20 años c) 10 años d) 50 años e) 40 años 10.Obtener un número que sumado al numerador y al denominador de la fracción 11/ 13; produzca la fracción 18/ 9. a) 24 b) 25 c) 35 d) 26 e) 28 11.El cuádruple de la edad de Manuel aumentado en 3 años es igual al triple de su edad, aumentado en 28 años. ¿Cuál será la edad de Manuel dentro de 6 años? a) 24 años b) 18 años c) 28 años d) 22 años e) 26 años 12.Un número sumado con su quinta es 12. La ecuación que representa esta situación es: a) x + 12 = x / 5 b) x + x/ 5 = 12 c) 12 + x/ 5 = xd) x – x /5 = 12 e) x – 12 = x/ 5 13.“La suma de dos números pares consecutivos es 106”. Esta se presenta mediante la ecuación. a) 2n + (2n + 1) = 6 b) 4n + 1 = 106 c) 4n + 2 = 106 d) n + n + 1 = 106 e) 2n + 1 = 106 14.Si un niño tiene de la edad que tenía hace 6 años. ¿Cuántos años tiene en la actualidad? a) 3 años b) 6 años c) 9 años d) 12 años e) 18 años 15.Un poste está enterrado 2/ 5 de su longitud, 2/ 7 del resto está bajo agua y sobresalen 3 m. ¿Cuál es la longitud del poste? a) 6 m. b) 7 m. c) 9 m. d) 9, 5 m. e) 10 m. 16.El doble de un número más el triple de su sucesor, más el doble del suceso de éste es 147. Hallar el número. a) 19 b) 20 c) 22 d) 30 e) 40 17.La diferencia entre los cuadrados de dos números consecutivos es 103. ¿Cuál es el mayor? a) 50 b) 51 c) 52 d) 53 e) 55 S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 3. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria 18.En el triángulo ABC los lados AB = 3BC y BC = 1/2 CA. Si su perímetro es 84 m. ¿Cuánto mide el lado mayor? a) 14 m. b) 18 m. c) 42 m. d) 28 m. e) 24 m. 19.Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene el padre? a) 24 años b) 28 años c) 26 años d) 32 años e) 40 años 20.Las dimensiones de un rectángulo están en la razón de 3 a 5 y su perímetro es 80 m. Calcular cuanto mide de largo. a) 15 m. b) 20 m. c) 25 m. d) 30 m. e) 35 m. EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 02 01.La suma de dos múltiplos consecutivos de 6 es igual a 66. Hallar uno de los números? a) 24 b) 42 c) 36 d) 56 e) N.a. 02.Iván ha resuelto (2x + 3) problemas de ecuaciones. Alberto (4x – 5) problemas y Jaime (3x + 4) problemas. Si en total se han resuelto 47 problemas. ¿Cuántos resolvió Iván? a) 13 b) 15 c) 19 d) 21 e) 17 03.El numerador de una cierta fracción es 8 menos que el denominador. Si los dos términos de dicha fracción se aumenta en 9 la fracción resultante es 2/3. Hallar la fracción original. a) 5 / 13 b) 3 / 11 c) 7/ 15 d) 9 / 17 e) 11 / 19 04.El denominador de una fracción es 14 más que el numerador, si al numerador y al denominador se aumentan en 5, la nueva fracción es 11 / 18. Determinar la fracción original. a) 11/ 25 b) 13/ 27 c) 15/ 29 d) 17/ 31 e) 19/ 33 05.La suma de tres números enteros consecutivos es igual a la unidad aumentada en el doble del mayor. Calcular el menor de dichos números. a) 4 b) 6 c) 2 d) 8 e) 3 06.Al preguntársele a María por su edad responde: Si al quíntuple de mi edad; le quitas 4 años, obtendrás lo que me falta para tener 80 años . ¿Qué edad tuvo hace 5 años ? a) 6 años b) 7 años c) 8 años d) 9 años e) 10 años 07.En la figura mostrada; ABCD es un rectángulo: AB = (8 / 5) x – 5 , 5 CD = 0, 4 x + 1/ 2 A B C D Calcular : CD a) 4, 5 b) 2, 5 c) 6, 5 d) 4 e) 3, 5 08.Una persona gasta la mitad de su jornal diario en alimentarse y la tercera parte en otros gastos. Al cabo de 40 días ha ahorrado 600 soles. ¿Cuál es su jornal? a) S/. 60 b) S/. 80 c) S/. 90 d) S/. 50 e) S/. 70 09.Lucila tiene “x” hermanos, Cecilia tiene “2x” hermanos; Patricia tiene “3x – 6” hermanos y Carolina tiene “2x + 1” hermanos. El único dato que te dan es que una de ellas es hija única. ¿Cuántos hermanos tiene Carolina?. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 10.En la figura mostrada: • DB = 5x + 3 • DO = 2x + 5 • AO = 3y – 1 • OC = y + 9 O B C A D Hallar la longitud de la diagonal DB a) 36 b) 38 c) 34 d) 40 e) 42 11.Si las edades de Nataly, Vanessa y Karina están representados por tres números, pares consecutivos, siendo la suma de dichas edades 78 años. ¿Qué edad tiene la mayor? a) 26 años b) 27 años c) 28 años d) 29 años e) 25 años 12.Si el lado de un cuadrado se duplica, su perímetro aumenta 40 m. Calcular la medida de lado del cuadrado. a) 8 m. b) 9 m. c) 10 m. d) 12 m. e) 11 m. 13.A que hora del día se cumple de las horas transcurridas y las horas que faltan son dos números enteros impares consecutivos. a) 10 a.m. b) 11 p.m. c) 11 a.m. d) 9 a.m. e) 10 p.m. 14.Una señora tuvo a los 28 años dos hijos mellizos, hoy las edades de los tres suman 73 años. ¿Qué edad tienen los mellizos? a) 12 años b) 16 años c) 11 años d) 15 años e) 18 años 15.En la figura mostrada: • AB = α + 1 • AC = x • BC = x + 2 • Calcula la longitud de la hipotenusa A B C a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 16.Un señor distribuye su capital de la forma siguiente: 1/ 3 para sus herederos, 3/5 del resto para un hospital y 1/ 2 del nuevo resto para los pobres, quedándole todavía 200 dólares. ¿Cuál era su capital? a) 1200 dólaresb) 1400 dólares c) 1500 dólaresd) 1800 dólares e) 1600 dólares S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 4. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria 17.Si el lado de un cuadrado es aumentado en 8 unidades, su perímetro se triplica. ¿Cuánto mide el lado? a) 6 u b) 8 u c) 4 u d) 12 u e) 5 u 18.Las edades de un matrimonio suman 62 años. Si se casaron hace 10 años y la edad de la novia era 3/4 de la edad del novio. ¿Qué edad tiene actualmente ella? a) 34 años b) 30 años c) 28 años d) 26 años e) 24 años 19.El numerador de una fracción excede en dos unidades al denominador. Si al numerador se le suma 3, la fracción queda equivalente a 4/3. Hallar la fracción. a) 13 / 11 b) 19 / 17 c) 15 / 13 d) 17 / 15 e) 21 / 19 20.Antonio tiene el doble de dinero que Gladys y el triple de María. Si Antonio regala 14 soles a Gladys y 35 soles a María los tres quedarían con igual cantidad. ¿Cuánto dinero tiene Gladys? a) S/. 126 b) S/. 63 c) S/. 42 d) S/. 48 e) S/. 76 TAREA DOMICILIARIA 01.Un hambriento caminante, encuentra a dos pastores que se disponen a compartir con él los pares que iban a comer. Uno de los pastores tenía 5 panes y el otro 3. Todos comieron por igual. Al partir, el caminante les dejó 8 monedas para que se repartan. ¿Cuántas monedas les tocó a cada uno? a) 5 y 3 respectivamente b) 4 a c/u c) 7 y 1 respectivamente d) 6 y 4 respectivamente e) N.a. 02.Una piscina tiene una capacidad total de 100 litros; un cierto día tenía agua sólo hasta sus 3/4 partes. Si ese día extraemos con una cubeta la quinta parte de lo que había. ¿Cuántos litros de agua serían necesarios ahora para llenar la piscina? a) 75 l b) 60 l c) 40 l d) 25 l e) 30 l 03.Al preguntársele a un postulante que parte del examen ha resuelto, éste responde: “He contestado los 4/5 de lo que contesté”, ¿Qué parte del examen ha contestado? a) 4/ 9 b) 1/ 4 c) 1/5 d) 3/ 5 e) 5/9 04.De un depósito se ha extraído dos veces 1/4 de su contenido, si al final tengo 3/8 del depósito. ¿Qué fracción del depósito estaba lleno al principio? a) 1/ 3 b) 2/ 3 c) 1/ 4 d) 3/ 4 e) 2/ 5 05.En una aula de 30 alumnos , las 2/3 partes tienen buzos deportivos. ¿Qué facción de los que tienen buzos, no tienen buzos? a) 1/ 5 b) 1/ 4 c) 1/ 3 d) 1/ 2 e) 3/ 2 El arte de plantear ecuaciones: El idioma del álgebra es la ecuación. “Para resolver un problema referente a números o relaciones abstractas de cantidades, basta traducir dicho problema, de cualquier idioma al idioma “Algebraico “, escribió el gran Newton en su manual de álgebra titulado ARITMÉTICA UNIVERSAL. Isaac Newton mostró con ejemplos cómo debía efectuarse la traducción . He aquí uno de los más notables problemas. “LA VIDA DE DIOFANTO” La historia ha conservado pocos rasgos biográficos de Diofanto, notable matemático de la antigüedad. Todo lo que se conoce acerca de él ha sido tomado de la dedicatoria que figura en su sepulcro, inscripción compuesta en forma de ejercicio matemático. Aquí reproducimos. En la lengua vernácula En el idioma del álgebra ¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden mostrar, ¡oh, milagro!, cuan larga fue su vida, x Cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia. 6 x Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubrió su barbilla. 12 x y la séptima parte de su existencia transcurrió en un mercado estéril 7 x Paso un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito, 5 Que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan sólo la mitad de la de su padre. 2 x Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al deceso de su hijo. 4 Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó la muerte. Formuló la ecuación:_____________________ Resuelve la ecuación y la respuesta es:_____________ Cada vez que se presente un problema donde intervengan edades, vamos a tener la posibilidad de resolverlo de dos maneras: Primero: Si el problema lo permite, tan sólo planteamos la ecuación dada, de lo contrario, Segundo: Aplicaremos un cuadro donde se plantearán las condiciones del problema. Usted se dará cuenta de esto cuando haya practicado lo suficiente. Ejemplo 01: Actualmente una persona tiene 28 años, ¿Cuántos años tendrá dentro de 11 años? RESOLUCION: +11 Ahora Dentro de 11 años 28 39 Rpta. Tendrá 39 años. Ejemplo 02: Dentro de “x + y” años Panfilo tendrá “3x – y” años. ¿Cuántos años tuvo hace “y – 2z” años. RESOLUCIÓN: Hace “y – 2z” Actual Dentro de “x+y” -(y-2z) -(x+y) (2x-3y+2z) (2x-2y) (3x-y) Rpta. Tuvo “2x – 3y – 2z” años. Ejemplo 03: Pompeyo le pregunta a Pinpoyo por la edad de su loro, éste le responde: “Hace 4 meses que tendrá la cuarta parte de los meses que S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...." EDADESEDADES
  • 5. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria tendrá dentro de 8 meses”. ¿Dentro de cuánto tiempo tendrá el cuádruple de los meses que tenía hace 3 meses? RESOLUCIÓN: * Hallaremos primero la edad actual del loro: Hace 4 meses Actual Dentro de 8 meses - 4 + 8 (x - 4) x (x + 8) De: “-----------------------------------tenía la cuarta parte de--------------------------” 4 )8x( )4x( + =− 4x – 16 = x + 8 → 8x = * Entonces, hace 3 meses tenía 8 - 3 = 5 meses. Hace 3 meses Actual Dentro de x años - 3 + x 5 8 4(5)=20 Del esquema: x + 8 = 20 → 12x = Rpta. Dentro de 12 meses. Ejemplo 04: Juan le dice a Manuel: Actualmente tengo el triple de tu edad; pero dentro de 12 años tendré sólo el doble. ¿Qué edad tengo? RESOLUCIÓN: Elaboramos un cuadro teniendo en cuanta , el número de personas que intervienen, la cantidad de expresiones que indican tiempos y las condiciones (relaciones entre las edades), éstas generarán las ecuaciones que permitirán resolver el problema. Presente Dentro de 12 años Juan 3x ------------------ Manuel X ------------------ J =2M ← condición * Completamos las edades Presente Dentro de 12 años Juan 3x (3x + 12) Manuel X (x + 12) J =2M ← condición * De la condición (futuro): J = 2M ; reemplazamos las edades respectivas. (3x + 12) = 2(x + 12) → 12x = Rpta. Juan: Tengo 36 años. Ejemplo 05: Jorge le dice a María: “Cuando yo tenga la edad que tú tienes, tu edad será 2 veces la edad que tengo y sabes que cuando tenía 10 años; tú tenías la edad que tengo. ¿Cuánto suman las edades actuales de Jorge y de María? RESOLUCIÓN: *Elaboramos un cuadro adecuado, teniendo en cuenta que las edades que tenemos como datos no son numéricos, son valores desconocidos y tendremos que representarlas por variables adecuadamente. Pasado Presente Futuro Jorge Manuel NOTA IMPORTANTE: El tiempo que transcurre para una persona, transcurre también para las demás personas. * Entonces, planteamos las siguientes ecuaciones: * Resolvemos estas ecuaciones: Rpta: ______________________________ 06.Manuel tiene el triple de la edad de Sara que tiene 12 años ¿Cuántos años pasaran para que la edad de Manuel sea el doble de la edad de Sara? RESOLUCIÓN Actual Dentro x años S 12 12 + x M 36 36 + x M = 25 De la condición: M = 2S 36 + x = 2 (12 + x) 36 + x = 24 + 2x 36 – 24 = -x + 2x 12 = x Rpta.: Dentro de 12 años 07.Cuando nací, mi padre tenía 38 años. ¿Qué edad tiene mi padre si actualmente nuestras edades suman 80 ? RESOLUCIÓN : Hace x años Actual Yo 0 x P 38 x + 38 P + H = 80 De la condición : P + H = 80 x + 38 + x = 80 x + x = 80 – 38 2x = 42 x = 21 x + 38 21 + 38 = 59 Rpta.: Mi padre tiene 59 años. 08.Las edades de 3 hermanos hace 2 años estaban en la misma relación que : 3, 4 y 5. Si dentro de 2 años serán como: 5, 6 y 7 ¿Qué edad tiene el mayor? RESOLUCIÓN Hace 2 años Actual Dentro de 2 años A 3x 3x + 2 3x + 4 B 4x 4x + 2 4x + 4 C 5x 5x + 2 5x + 4 7 C 6 B 5 A == De la condición: 6 B 5 A = 6 4x4 5 4x3 + = + 18x + 24 = 20x + 20 4 = 2x 2 = x Reemplazo: 5 x + 2 5 (2) + 2 = 12 Rpta.: 12 años tiene el mayor. 09.Cuando Luis nació. Su padre tenía “P”años cuando su padre murió el contaba con “Q” años. ¿Cuánto tiempo vivió su padre? RESOLUCIÓN : L O Q P P x S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 6. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria Aplicando la propiedad: P – O = x – Q P + Q = x Rpta.: Su padre vivió “ P +Q ” años 10.Dentro de 4 años la suma de las edades de 2 hermanos será K años la edad del mayor era el triple de la edad del menor. Hallar la edad actual del mayor RESOLUCIÓN: Hace 4 años Actual Dentro de 4 años Mayor x – 4 x x + 4 Menor y – 4 y y + 4 Mayor = 3(menor) Mayor + menor = K De las condiciones: 1) Mayor = 3 (menor) x – 4 = 3 (y – 4) x – 4 = 3y – 12 x = 3y – 8 ………………. ( 1 ) 2) Mayor más menor = K x + 4 + y + 4 = K x = K – y – 8 …………. ( 2 ) De ( 1 ) = ( 2 ) 3 y – 8 = k – y – 8 4 K y = Rpta.: El mayor tiene : 8 32K3 − 11. La suma de las edades de un padre y un hijo da 48 años. Dentro de algunos años el padre tendrá el doble de la edad del hijo; y la edad del padre será entonces 8 veces la edad que el hijo tiene ahora. ¿Cuántos años tiene el padre? Dentro de “x” años P H P + H = 48 P = 2H Entonces: P 2 a – x 2 a = 8 (a – x ) H a – x a P + H = 48 Del cuadro: 1) P +H = 48 ( 2 a – x ) + ( a – x ) = 48 3 a – 2x = 48 ………………. ( 1 ) 2) 2 a = 8 ( a – x ) 8 x = 6 a a 3 x4 = …………………….. ( 2 ) Reemplazando ( 2 ) en ( 1 ) 48x2 3 x4 3 =−      x = 24 y a = 32 2 a – x 2 ( 32 ) – 24 = 40 Rpta.: el padre tiene 40 años. 12.José le dice a Walter: hace 21 años mi edad era la mitad de la edad que tendrás dentro de 4 años . Cuando yo tenga el doble de ka edad que tu tienes. ¿Qué edad tienes? RESOLUCIÓN : Hace 21 años Dentro de 4 años J x + 2 4x W 2x 2x + 4 Luego: Hace 21 años Dentro de 4 años J x + 2 ( x + 23 ) 4x = x + 27 W 2x 2x + 4 Del cuadro : 4 x = x + 27 x = 9 Por lo tanto: Walter tiene: 2x = 2 (9) = 18 años 13.Supongamos que yo tenga 10 años más que tú ¿Qué edad tendrás tu ahora, si dentro de 5 años yo tuviera los 4/ 3 de la edad que tu tuvieses? RESOLUCIÓN Yo tengo “x” años Tu tienes “y” años Del enunciado: 1) x + 5 = 4/ 3 ( y + 5) 3x + 3 = 4 (y + 5) 3x + 15 = 4y + 20 3x – 4y = 5 ……………. ( 1 ) 2) x = y + 10 ……………. ( 2 ) 3) Reemplazando (2) en (1): 3 (y + 10) – 4y = 5 - y = - 25 y = 25 Rpta.: 10 años. 14.En el año 1984 ha sido declarado en el Perú : “Año del sequicentenario del Natalicio del Altamirante Miguel Grau”. Si Grau murio el 8 de octubre de 1879 ¿A que edad murió Grau? RESOLUCIÓN : Murió a los “x” años Nació el año : 1984 – 150 = 1934 Luego : 1934 + x = 1879 X = 1879 – 1934 X = 45 Rpta.: Murió cuando tenía 45 años. S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 7. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria PRÁCTICA DE CLASE 01.La suma de las edades de Aída y Fara es 48 años, al acercarse Orlando, Aída le dice cuando Fara nació tenías 2 años. ¿ Cuál es la edad de Orlando ? a) 24 b) 21 c) 25 d) 22 e) N.a. 02.Un padre dice a su hijo: "Ahora tu edad es la tercera parte de la mía pero, hace 10 años no era más que un quinto". ¿ Qué edad tiene el hijo ? a) 13 b) 20 c) 16 d) 24 e) N.a. 03.Cuando César nació, Julio tenía 30 años, ambas edades suman hoy 28 años más que la edad de Pablo, que tiene 50 años. ¿ Qué edad tiene Guillermo que nació cuando César tenía 11 años? a) 13 b) 16 c) 11 d) 18 e) N.a. 04.Un niño nació en Noviembre y el 9 de Diciembre tenía una edad igual al número de días transcurridos del 1° de Noviembre al día de su nacimiento. Hallar la fecha de su nacimiento. a) 5 de Noviembre b) 19 de Noviembre c) 17 de Noviembre d) 20 de Noviembre e) N.a. 05.Un alumno de la Academia nació en el año 19ab y en 1980 tuvo (a+b) años. ¿ En qué año tendrá (2a+b) años ? a) 1982 b) 1988 c) 1984 d) 1986 e) N.a. 06.Un padre tiene 3 veces la edad de su hijo. ¿ Cuántas veces la edad del hijo debe transcurrir, para que la edad del padre sea sólo el doble de la de su hijo ? a) 1 b) 3 c) 2 d) 2 1/3 e) N.a. 07.La relación de la edad de un padre con la de su hijo es 9:5. ¿ Qué edad tiene el hijo, si el padre es mayor por 28 años ? a) 25 b) 18 c) 35 d) 27 e) N.a. 08.Al preguntársele su edad a un abuelo, contestó: "No soy tan joven que pueda tener menos de 70 años, ni tan viejo que se me pueda llamar noventón". Cada uno de mis hijos me han dado tantos nietos como hermanos tienen, mi edad es justo el triple de hijos y nietos que tengo". ¿ Cuál era su edad ? a) 75 b) 84 c) 78 d) 81 e) N.a. 09.La edad de un niño será dentro de 4 años un cuadrado perfecto. Hace 8 años su edad era la raíz de ese cuadrado. ¿ Qué edad tendrá dentro de 8 años ? a) 28 b) 24 c) 26 d) 20 e) N.a. 10.Juan nació 6 años antes que Carlos. En 1984 la suma de sus edades era la cuarta parte de la suma de sus edades en 1963. ¿ En qué año nació Juan ? a) 1931 b) 1940 c) 1934 d) 1946 e) N.a. 11.En 1918, la edad de un padre era 9 veces la edad de su hijo; en 1923, la edad del padre fue el quíntuple de la de su hijo. ¿ Cuál fue la edad del padre en 1940 ? a) 66 b) 72 c) 67 d) 70 e) N.a. 12.La edad de dos hermanas se pueden representar por 2 números primos absolutos y se sabe que la suma de dichas edades es 36 y si al producto de dichos números primos se le agrega una unidad, el número resultante tiene 15 divisores. ¿Qué edad tiene la mayor ? a) 17 b) 13 c) 23 d) 19 e) N.a. 13.La suma de las edades de un padre y su hijo, es 50 años. Dentro de 5 años estarán en la proporción de 1:2. Hallar en qué proporción están actualmente. a) 1:2 b) 1:3 c) 3:7 d) 2:5 e) N.a. 14.En 1909 decía un padre a su hijo, mi edad es el quíntuplo de la tuya, pero en 1930, sólo será el duplo. ¿ Qué edad tenía el padre en 1930 ? a) 48 b) 39 c) 56 d) 52 e) N.a. 15.Supongamos que yo tengo 10 años más que tú. ¿ Qué edad tendrías tu ahora, si dentro de 5 años yo tuviera los 4/3 de la edad que tu tuvieses ? a) 18 b) 35 c) 20 d) 25 e) N.a. 16.Patricia le dice a Rosa : tengo 4 veces la edad que tu tenías, cuando yo tenía el doble de la edad que tú tienes. Cuando tengas los 3/4 partes de mi edad, nuestras edades sumarán 75 años. ¿ Qué edad tiene Patricia ? a) 36 b) 28 c) 32 d) 30 e) Ninguna 17.Mariela le dice a Elisa: "Tengo el doble de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes. Cuando tengas las 13/10 partes de mi edad nuestras edades sumarán 57 años. ¿ Qué edad tiene Mariela?. a) 18 años b) 20 años c) 24 años d) 28 años e) N.a. 18.Coco le dice a Kiko, la suma de nuestras edades es 46 años y tu edad es el triple de la edad que tenias cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando yo nací. La edad actual de Kiko en años es: a) 26 b) 24 c) 22 d) 20 e) 18 19.Cierta vez se cumplió que la diferencia de las edades de Antonio y Miguel, que sabía tocar piano era igual a la suma de la cifras del año en que estaban. Si el mayor, Antonio nació en 1934. ¿ Qué edad tenía Miguel cuando se cumplió aquello?. a) 8 b) 15 c) 19 d) 21 e) N.a. 20.La suma y el producto de las edades de 3 hermanitos es 14 y 36 años respectivamente. calcular la edad del mayor de ellos. a) 4 años b) 9 años c) 8 años d) 12 años e) N.a. S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 8. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 03 01.Un padre tiene 32 años y su hijo 8. ¿Cuántos años hace que la edad del padre era siete veces la del hijo? a) 6 b) 4 c) 7 d) 3 e) 5 02.Cuando Mario nació, Walter tenía 30 años ambas edades suman hoy 32 años más que la edad de Tito, que tiene 46 años. ¿Qué edad tiene Aldo que nació cuando Mario tenía 9 años? a) 13 años b) 15 c) 17 d) 16 e) N.a. 03.Un padre dice a su hijo : “Ahora tu edad es la quinta parte de la mía pero, hace 5 años no era más que un séptimo”. ¿Qué edad tiene el hijo? a) 15 años b) 13 c) 20 d) 16 e) 10 04.Los 5/7 de la edad de una persona menos 4 años, dan la edad que tenía hace 12 años. ¿Cuál es esta? a) 30 b) 28 c) 29 d) 23 e) 25 05.Determinar la edad que cumplió Miguel en 1922 sabiendo que es igual a la suma de las cifras de su año de nacimiento. a) 22 años b) 21 c) 24 d) 23 e) 25 06.En torno a una mesa hay 12 personas, José suma los años de nacimiento de todos ellos y Carlos suma las edades de las 12 personas; a continuación se suma los 2 resultados obteniéndose finalmente 23780. Si la suma se hizo en Agosto del año 1982. ¿Cuántos ya habían cumplido años? a) 7 b) 10 c) 8 d) 9 e) N.a. 07.La edad de un padre con la de su hijo suman 76 años y hace 13 años la edad del padre era el cuádruple de la edad del hijo. Hallar la edad del hijo dentro de 5 años. a) 28 años b) 24 c) 23 d) 19 e) N.a. 08.Katty tiene 32 años y su edad es el doble de la edad que tenía Mily, cuando Katty tenía la edad que ahora tiene Mily. ¿Cuántos años tiene Mily? a) 28 b) 24 c) 20 d) 16 e) N.a. 09.Pepe le dice a Eduardo: “Tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tú tenga la edad que yo tengo, la suma de nuestras edades será de 63 años.” ¿Cuántos años tiene Pepe? a) 28 b) 16 c) 24 d) 21 e) Ninguna 10.Una persona nació en el año ba19 y en el año ab19 tiene (a + b) años. ¿En qué año tuvo (a . b) años? a) 1963 b) 1960 c) 1965 d) 1959 e) Ninguna 11.Julio nació 6 años que Víctor. En 1948 la suma de sus edades era la cuarta parte de la suma de sus edades en 1963. ¿En qué año nació Julio? a) 1934 b) 1940 c) 1931 d) 1937 e) Ninguna 12.Cierta vez se cumplió que la diferencia de las edades de Antonio y Miguel, que sabía tocar piano era igual a la suma de las cifras del año en que estaban. Si el mayor, Antonio, nació en 1934. ¿Qué edad tenía Miguel cuando se cumplió aquello? a) 6 b) 10 c) 9 d) 15 e) Ninguna. 13.Eduardo le dice a César: “Tengo tres hermanas, determina sus edades sabiendo que su producto es 40 y que su suma es igual a tu edad”. César después de analizar las probabilidades responde: ¡ Falta un dato ! y Eduardo contesta ¡ Ah si: mi hermana menor tiene ojos azules ! Determinar la suma de la edad de César y de la hermana mayor de Eduardo. a) 24 b) 22 c) 23 d) 21 e) Ninguna 14.La edad de un niño será dentro de 4 años un cuadrado perfecto. Hace 8 años su edad era la raíz de ese cuadrado. ¿Qué edad tendrá dentro de 8 años? a) 28 b) 24 c) 26 d) 20 e) Ninguna 15.En 1977 la edad de Julio era aunque con el orden cambiado igual a la dos últimas cifras del año de su nacimiento, lo mismo sucede con su abuelo. Si la diferencia de sus edades es 45, y la edad del abuelo en 1977 era, con el orden cambiado de sus cifras igual a la edad de Julio. ¿Cuántos años tendrá el abuelo en 1985? a) 83 b) 71 c) 75 d) 69 e) Ninguna 16.Si Carmen tiene “a” años más que su hijo, calcular la edad de Carmen, sabiendo que dentro de “ab” años la suma de sus edades será ( )2 ba + a) ba2 2 + b) ( ) 2/ba 22 + c) ( ) 4/ba2 22 + d) 22 ba + e) N.a. 17.La suma de las edades de una pareja de esposos, cuando nació su primer hijo, era la mitad de la suma de sus edades actuales. Si ahora el hijo tiene 20 años. ¿Qué edad tenía cuando las edades de los 3 sumaban 70 años? a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 18 18.Si 3 veces la edad de mi hermano es 2 veces mi edad, y hace 3 años; 3 veces su edad era la mía. ¿Cuántos años tengo? a) 6 b) 9 c) 3 d) 12 e) 15 19.Charo es hija de Angela y Luciana es hija de Charo. Cuando Luciana nació, la edad de Charo, hoy durante la reunión del décimo cumpleaños de Luciana, Angela dice tener 45 años y Charo dice tener 27 años. Si la suma de las edades de Angela, Charo y Luciana es de 90 años. ¿Cuántos años oculta cada una de las señoras? a) Angela = 5 y Charo = 5 b) Angela = 4 y Charo = 4 c) Angela = 5 y Charo = 3 d) Angela = 3 y Charo = 4 e) Angela = 4 y Charo = 3 S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 9. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria 20.La edad de Javier es los 3/2 de la edad de Luis. Si Javier hubiera nacido 10 años antes y Luis 5 años después, entonces la razón de ambas edades sería 16/5 de la razón que habría si Javier hubiera nacido 5 años después y Luis 10 años antes. ¿Qué edad tuvo uno de ellos, cuando nació el otro? a) 10 b) 20 c) 15 d) 16 e) 5 TAREA DOMICILIARIA 01.Angela le dice a Betty: Cuando yo nací, tú tenías 6 años. Cuando César tenía el doble de lo que tú tenias cuando yo nací, pero cuando nació David, César tenía el doble de lo que yo tenía cuando César nació, pero cuando David tenga un año menos de lo que yo tenía cuando David nació. ¿Qué edad tendrá César en ese momento? a) 11 b) 17 c) 9 d) 5 e) 6 02.Cuando a Pilar se le pregunta por la edad de su hermano responde: “Cuando yo tenía 14 años, mi hermano, tenía la mitad de lo que tenía mi padre: actualmente sucede igual con mi edad y la edad actual de mi padre; en cambio hace 16 años mi edad era la mitad de la edad que tenía mi hermano”. ¿Cuántos años tiene el hermano de Pilar? a) 20 b) 19 c) 18 d) 16 e) 17 03.Hace 12 años la edad de 2 hermanos estaban en relación de 4 es a 3, actualmente sus edades suman 59 años. Dentro de cuántos años sus edades estarán en relación de 8 es a 7? a) 9 b) 8 c) 7 d) 20 e) 21 04.Karina le dice a Manuel: “Dentro de algunos años, tu edad será mi edad, como 5 es a 4”. A lo que Manuel le responde: hace la misma cantidad de años que tu mencionas, nuestras edades estaban en la relación de 8 es a 5. Si la edad de Karina no pasa de 20 años. ¿Qué edad tendrá ella dentro de 6 años? a) 20 años b) 28 años c) 18 años d) 24 años e) 30 años 05.Dentro de 8 años la edad de Pedro será la que Juan tiene. Dentro de 15 años, Pedro tendrá 4/5 de la edad que entonces tendrá Juan. ¿Cuál era la suma de las edades de Juan y Pedro cuando Juan tenía el doble de la edad de Pedro? a) 26 años b) 28 años c) 18 años d) 24 años e) 30 años 06.Laura le dice a Pamela: Yo tengo el doble de la edad que tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tú tengas el doble de la edad que yo tengo, la diferencia de nuestras edades sería 8. Hallar la edad de Pamela. a) 18 b) 21 c) 24 d) 28 e) 32 07.El le dice a ella: “Yo tengo el doble de la edad que tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes, pero cuando tú tengas la edad que yo tengo en ese momento nuestras edades sumarán 90 años”. ¿Cuántos años tiene él? a) 20 b) 40 c) 30 d) 55 e) 45 08.Pilar le dice a Gustavo: Tu edad es el doble de aquella que tenías cuando yo tuve el doble de la que tuviste cuando cumplí 4 años, si suman nuestras edades actuales da 32 años. ¿Qué edad tengo? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 09.Mi edad actual es 4 años menos de lo que exactamente representa el triple de la edad que tenías cuando yo tenía el triple de lo que tienes hoy. Pero cuando tengas mi edad; la suma de nuestras edades será 37 años. ¿Qué edad tengo? a) 11 b) 8 c) 12 d) 14 e) Absurdo 10.Víctor le dice a Andrés : “Cuando tú tengas la edad que yo tengo, tendrás lo que Julio tenía, que es el triple de lo que tienes y yo tenía los 3/ 5 de lo que él tiene, que es 10 años menos de los que tendré, cuando tengas lo que ya te dije”. ¿Qué edad tuve yo cuando naciste? a) 24 b) 12 c) 8 d) 16 e) 17 INTRODUCCIÓN Este capítulo trata del estudio del movimiento de los cuerpos, y de sus características fundamentales como son el espacio, tiempo y velocidad. ECUACIÓN FUNDAMENTAL A B t V e Dado un cuerpo que se mueve desde un punto “A” hasta “B”, como indica la figura. Se cumple: t e V = t.Ve = Donde : e: espacio t: tiempo v: velocidad V e t = Observación : Es importante verificar que todas las variables tengan unidades compatibles. Nota: para poder simplificar estas fórmulas, usamos el triángulo siguiente: e v t TIEMPO DE ENCUENTRO (Te) Se refiere al tiempo que demoran dos móviles en encontrarse, viajando en sentidos contrarios. Así dados dos móviles que se mueven en sentidos contrarios, como indica la figura. S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...." MÓVILEMÓVILE
  • 10. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria A B t V d A VB Para calcular después de cuanto tiempo se encuentran, se aplica la siguiente fórmula : BA e VV d t + = ........... I donde: d : distancia de separación VA: velocidad del móvil que está en A VA: velocidad del móvil que está en B Aplicación : Dos móviles están separados, 40Km. y van uno al encuentro del otro, con velocidades de 3 Km/h y 2 Km/h. ¿Después de cuánto tiempo se encontrarán? Resolución.- Graficando: A B t 3 km/h 40 2 km/h e Luego aplicando la fórmula (I) tenemos: 23 40 te + = 8te = Tiempo de Alcance (ta) Se refiere al tiempo que demora un automóvil en alcanzar a otro que se mueve en el mismo sentido, como indica la figura: A B t d e VA VB Observación: VA>VB sino lo podría alcanzar Para calcular después de que tiempo, uno alcanza al otro, se aplica la siguiente fórmula: BA a VV d t − = Donde : d : distancia inicial de separación VA: velocidad del móvil que partió de A VB: velocidad del móvil que partió de B Aplicación: Dos móviles se encuentran separados 50 Km. y se desplazan en un mismo sentido con velocidades de 30 Km/h y 20 Km/h. ¿Después de cuanto tiempo el más rápido alcanzará al otro? Resolución: Graficando: 50 km 30 km/h 20 km/h Luego, aplicando la fórmula (II) tenemos : 2030 50 ta − = 5ta = Velocidad Promedio (Vp) Cuando un móvil cambia la velocidad con el tiempo, se desea conocer una velocidad que reemplace a todas las anteriores, y que desarrolle el mismo espacio en el mismo tiempo, esta velocidad es llamada “Velocidad Promedio” y se calcula como la razón entre el espacio total y el tiempo total empleados. Así tenemos: e t1 t2 t3 t4 1 e 2 e 3 e 4 V1 V2 V3 V4 Luego la velocidad Promedio, se calcula con la siguiente fórmula. ..........tttt ......eeee T e V 4321 4321 T T p ++++ ++++ == . .... (III) Donde: e = espacio T = tiempos v = velocidad Aplicación: Un automóvil partió con una velocidad de 30 Km/h y luego de dos horas aumentó su velocidad en 10 Km/h, recorriendo con esta, tres horas más ¿Cuál es la velocidad promedio del recorrido hecho? 3 h e 30 km/h (30+10) km/h 2 h 1 e 2 Luego, aplicando la fórmula III, tenemos: 32 40.330.2 tt ee V 21 21 p + + = + + = h/Km36Vp = CRITERIOS DE TRENES Para cualquier problema de trenes se utiliza como fórmula básica la ecuación fundamental del movimiento (Ecuación I) Aplicación: A. Un tren viaja a 20 m/s, demora 4 segundos en pasar delante de un observador ¿Cuál es la longitud del tren? Resolución.- Graficando: V L Donde : L: longitud del tren Aplicando la ecuación fundamental : t.ve = 4.20L = m80L = B. Un tren demora 8 segundos en pasar delante de un observador y 10 segundos en pasar totalmente por un túnel de 400 metros de longitud ¿Cuál es la longitud del tren? S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 11. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria Resolución.- Graficando cada caso: I. CASO (II) Pasa delante de una persona. V L " 8 s " Aplicando: t.ve = 8.VL = ....... ( )α II. CASO (II) Pasa por un túnel V L " 10 s " 400 m Aplicando: t.ve = 10.V400L == ..... ( )α De ( )α en ( )β : 8.200L = m1600L = Criterios de Corrientes Para problemas de corrientes, solo hay que considerar que cuando se navega A FAVOR de la corriente las velocidades del barco y la corriente, se SUMAN y cuando se navega EN CONTRA de la corriente, las velocidades se RESTAN. Aplicación: Cuando un barco navega a favor de la corriente demora 2 horas en recorrer 12 Km. ¿Cuál es la velocidad del barco? Resolución : Graficamos cada caso: I. CASO I: Navegamos a favor de la corriente 12 km VB VC A B 2h Donde: Vb: velocidad del barco Vc: velocidad de la corriente Aplicando: ( ) 2.VV12 t.Ve CB += = 6VV CB =+ ...... ( )α II. CASO II : Navegando en contra de la corriente. 12 km VB VC 6h Donde: VB: velocidad del barco VC: velocidad de la corriente Aplicando: ( ) 6.VV12 t.Ve CB −= = 2VV CB =+ .... .. ( )β Resolviendo las ecuaciones ( )α y ( )β tenemos: 8B CB CB V2 2VV 6VV = +     =− =+ 4VB = Luego: 2VC = PRACTICA DE CLASE 01.Un alumno parte de su casa y avanza 28 m. al este y luego 30 m. al norte y por último 12 m. al este, encontrando un tienda. Determinar la distancia que hay de la casa a la tienda. a) 10 m. b) 50 m. c) 60 m. d) 80 m. e) N.a. 02.Dos móviles parten de un punto común en direcciones que forman 120º con velocidades de 6 m/s y 10 m/s. Determinar la distancia que están separados al cabo de 3 segundos. a) 42 m. b) 50 m. c) 60 m. d) 15 m. e) 18 m. 03.Un móvil marcha con una velocidad de 72 km/h durante 30 minutos. La distancia recorrida en este lapso de tiempo es: a) 3600 m b) 36 km c) 80 km. d) 40 km. e) N.a. 04.Un auto se desplaza con una velocidad constante de “V” m/s recorriendo un determinado espacio en 4 segundos. Si aumenta su velocidad en 4 m/s recorre el mismo espacio en 3,5 segundos. Hallar “V” en m/s. a) 28 m/s b) 14 m/s c) 12 m/s d) 10 m/s e) N.a. 05.Un móvil B parte a 15 km/h en una dirección a Arequipa otro móvil A que se encontraba a 30 km/h de tras el, parte a una velocidad de 20 km/h. Hallar la distancia que recorre cada uno hasta encontrarse. a) 100 ; 80 b) 120 ; 90 c) 110 ; 100 d) 120 ; 90 e) 120 ; 100 06.Un niño estaba caminando durante 14 horas. Si hubiera caminado una hora menos, con una velocidad mayor en 5 km/h, habría recorrido 5 km. menos. ¿Cuál es su velocidad? a) 60 km/h b) 70 km/h c) 80 km/h d) 50 km/ he) 65 km/h 07.Un ciclista calculo que si viajaba a 20 km/h; llegaría a la meta a las 5:00 p.m. y si viajaba a 30 km/h llegaría a la meta a las 3:00 p.m. ¿Qué velocidad debe tener para llegar a las 4:00? a) 25 km/h b) 24 km/h c) 28 km/h d) 26 km/h e) N.a. 08.En el instante que se muestra los coches parten en velocidades constantes. Si “A” alcanza a “B” en 25 segundos y 50 segundos después alcanza a “C” hallar la velocidad “u” a) 70 m/s b) 60 m/s c) 75 m/s d) 80 m/s e) N.a. 09.Los 2/3 de un camino se recorrieron en bicicleta a 32 km/h y el resto a pie, a razón de 4 km/h tardando en total 7,5 h. ¿Cuál fue la longitud total recorrida en km.? S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 12. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria a) 120 b) 240 c) 72 d) 96 e) 80 10.Una liebre y una tortuga parten simultáneamente de un mismo punto, la tortuga recorre en cada minuto 10 m. y la liebre 100 m. si ambos se dirigen a un mismo punto, además la liebre llega a la meta, regresa hasta la tortuga, luego va hasta la meta y así sucesivamente hasta que la tortuga llega a la meta. Si la tortuga recorría 1 km. ¿Cuántos recorrío la liebre? a) 10 km. b) 100 km. c) 1000 km. d) 1 km. e) 120 km. 11.Pedro recorre el tramo AB de 20 km en 2 horas. ¿Cuál debe ser su velocidad de retorno para llegar en la mitad del tiempo? a) 10 km/h b) 15 km/h c) 12 km/h d) 20 km/h c) N.a. 12.César recorre el tramo AB en 20 horas, si quisiera hacerlo en 25 horas; tendrá que disminuir su velocidad en 8 km/h. ¿Cuánto mide el tramo AB? a) 650 km b) 700 km c) 800 km d) 850 km e) 900 km 13.Dos móviles A y B separados una distancia “x” parten al encuentro ¿Con cuanto tiempo de anticipación debe partir A para encontrarse justo a la mitad del trayecto, si sus velocidades son “r” y “2r” respectivamente? a) r x b) r2 x c) r4 x d) r8 x e) N.a. 14.Si la velocidad del sonido en el agua de mar es 1250 m/s y en el aire 340 m/s. Determinar a que distancia de tiempo entre el sonido transmitido por el, agua y el aire es de 45,5 seg. a) 2500 m b) 29520 m c) 8230 m d) 18 725 m e) 21 250 m 15.Dos móviles parten de dos puntos de una recta, con velocidades constantes y se dirigen uno hacia el otro. El primero ha recorrido 30 m. mas que el segundo, cuando se cruzaron, y el resto lo hace en 4 minutos. El segundo demora 9 minutos después del cruce, para llegar al punto inicial del primero. ¿Qué distancia los separaba? a) 10 m. b) 130 m. c) 150 m. d) 170 m. e) N.a. 16.En una carrera donde participaron 3 caballos, el ganador corrió a una velocidad de 33 m/s y llego 12 s antes que el ultimo, a su vez este llego 8 s después que el segundo caballo. Si los tiempos empleados por los dos primeros suman 24 s ¿Qué velocidad en m/s empleo el ultimo caballo? a) 12 b) 18 c) 15 d) 20 e) N.a. 17.Un viajero recorre los 2/3 de un camino en automóvil a la velocidad de 40 km/h y el resto en motocicleta a 80 km/h. Si en total tardo 6 h 15 min. ¿Cuántas horras estuvo viajando en automóvil? a) 5 b) 4, 5 c) 6 d) 4, 2 e) N.a. 18.Un alumno razona diciendo. Si voy a 80 m/ min llegare al examen 1 hora después; pero si lo hago a 120 m/min llegare una hora antes ¿A que velocidad debe ir para llegar a la hora exacta? a) 90 m/min b) 96 m/min c) 100 m/min d) 110 m/min e) 102 m/min 19.Dos móviles parten de un punto y se alejan en direcciones perpendiculares, con velocidades constantes de 40 y 30 m/s. ¿En que tiempo estarán separados 24 km? a) 10 min b) 9 min c) 8 min d) 6 min e) 12 min 20.Dos corredores A y B parten simultáneamente en viaje de una ciudad a otra, distantes 60 km. La velocidad de A es 74 km/h menos que la de B, luego de llegar B a la segunda ciudad y regresar inmediatamente se encuentra con A a 12 km. La velocidad de A era en km/h. a) 4 b) 6 c) 8 d) 20 e) N.a. EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 04 01.Dos trenes marchan en sentido contrario y sobre vías paralelas, con velocidades de 18 y 30 km/h. respectivamente; un pasajero en el segundo tren calculó que el primero demoró en pasar 9 segundos ¿Cuál es la longitud de éste último tren? a) 80 m b) 480 m c) 100 m d) 180 m e) 120 m 02. Un motociclista ha recorrido los 4/9 del camino que une la ciudad de Lima y Huacho; si aún le falta recorrer 80 km. y ya lleva corriendo 28800 segundos ¿Cuál es su velocidad en m/min? a) 3,133 b) 250 c) 300 d) 380 e) 480 03.Carlín recorre 240 km. en 2 horas a favor de la corriente y en contra de la corriente 190 km. menos en 1 hora menos. ¿Cuál es la velocidad de la corriente? a) 80 km/h b) 35 km/h c) 85 km/h d) 45km/h e) 85 km/h 04.Boby dispone de 51 segundos para ir a traer un hueso. Si la ida la hace con una velocidad de 12 m/s al regreso a 7 m/s menos que la ida. ¿Qué tiempo demora en el movimiento de ida? a) 38 s b) 12 s c) 25 s d) 15 s e) 20 s 05.Dos personas deben hacer un mismo recorrido de 28 km; la primera está a pie y hace 5 km; la segunda a caballo y hace 12 km; si la primera parte a las 05: 00 horas. ¿A qué hora deberá partir la segunda para llegar al mismo tiempo a su destino? a) 08h. 20 min. b) 07h. 14 min. c) 08h. 10 min. d) 08h. 18 min. e) 07h. 20 min. 06. Dos jinetes corren en un hipódromo de 90m. de circunferencia y en el mismo sentido. El primero, que tiene 18m. de adelanto corre con una velocidad de 2,90 m/s y el ptro 2,54 m/s. Calcular la suma de las distancias recorridas hasta su encuentro. a) 1188 b) 1088 c) 888 d) 9080 e) Imposible calcular 07. Claudico debe realizar un viaje de 820 km. en 7 horas. Si realiza parte del viaje en avión a 200 km/h. y el resto en auto a razón de 55 km/h. ¿Cuál es la distancia recorrida en avión?. a) 240 km. b) 500 km. c) 600 km. d) 700 km. e) 800 km. 08. Un automóvil debe hacer un cierto trayecto en 4 h. Una hora después de la partida, el piloto acelera la velocidad a fin de llegar a media hora antes y hace entonces 16 km. más por hora. ¿Cuál fue la distancia recorrida? a) 290 km. b) 300 km. c) 310 km. d) 320 km. e) 350 km. 09. Un ciclista recorre 80 km. en 3 horas. Llegó a la mitad del camino y se observó que su velocidad media fue 2 km/h. inferior a la que debió llevar. ¿Cuál fue la velocidad media en S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 13. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria km/h durante el tiempo que le resto, si llegó a la hora fijada. a) 22,5 b) 21,5 c) 21 d) 20,5 e) 22 10. Niseforo parte de A a B con una velocidad de 200 km/h., cuando aún le faltaba recorrer 4/5 de su camino duplica su velocidad lo que le permite llegar a su destino con 2h. de anticipación. ¿Qué longitud tiene su camino? a) 2000 km. b) 1800 km. c) 1000 km. d) 4000 km. e) N.A. 11.Un peatón recorre 23 km. en 7 horas; los 8 primeros con una velocidad superior en 1 km. a la velocidad del resto del recorrido. Calcular la velocidad con que recorrió el primer trayecto. a) 2 km/h. b) 3 km/h. c) 4 km/h. d) 5 km/h. e) 6 km/h. 12. Pity se dirige a depositar una carta a una velocidad de 12 km/h. regresa a 3 km/h. Si usa 20 horas en total. ¿Qué distancia a recorrido? a) 46 km. b) 48 km. c) 36 km. d) 24 km. e) N.a. 13. Viajando a 100 km/h. un piloto llegaría a su destino a las 19 horas. Viajando a 150 km/h llegaría a las 17 horas. ¿Con qué velocidad debe viajar su desea llegar a las 18 horas? a) 125 km/h. b) 120 km/h. c) 130 km/h. d) 135 km/h. e) N.a. 14 Yancha, el primer día, fue al colegio a 6 km/h. y llegó 15 minutos retrasada. El segundo día fue a 12 km/h. llegando 15 minutos adelantada. ¿A qué velocidad debe viajar para que saliendo a la misma hora llegue puntualmente? a) 7 km/h. b) 8 km/h. c) 9 km/h. d) 9 1/2 km/h. e) 8 1/2 km/h. 15. Dos automóviles parten desde un mismo punto, en un circuito de 6000 m. en sentidos contrarios. Si cuando el primero ha completado una vuelta al cabo de 20 min., se cruzan por tercera vez. ¿Cuál es la velocidad del más rápido en m/min. a) 450 b) 600 c) 480 d) 540 e) N.a. TAREA DOMICILIARIA 01.Las velocidades de dos autos son como 6 a 5. El primero recorre 720 km. en 6 horas. ¿Cuánto recorre el segundo en 7 horas? a) 740 b) 680 c) 700 d) 760 e) 640 02.Un ciclista se dirige de A hacia B con una velocidad de 20 Km/h. Después de haber recorrido 3 1 8 km. es alcanzado por un auto que recorre la distancia entre A y B con velocidad constante y que salió de A ¼ de hora después que él. Después de recorrer de nuevo 25 km. encuentra de nuevo al auto que vuelve de B donde ha estado media hora ¿Cuál es la distancia entre A y B? a) 39,58 b) 39 c) 38,52 d) 38,98 e)39,85 03.Pedro y Juan hacen un recorrido de 100 km. así: Pedro y Carlos parten en un automóvil a una velocidad de 25 km/h, al mismo tiempo que Juan sale, a pie, a 5 km/h. A cierta distancia, Carlos se baja del carro y continua caminando a 5 km/h. Pedro regresa, recoge a Juan y continua la marcha llegando al lugar de destino al mismo tiempo que Carlos. ¿Cuántas horas duró el viaje? a) 6 b) 7 c) 8 d)9 e)10 04.Un peatón parte de A a las 8 de la mañana anda 1 km. cada 9 minutos y descansa ¼ de hora cada vez que anda 45 minutos. Un coche sale también de A a las 10 de la mañana en la misma dirección, recorre 9Km. por hora y se detiene 20 minutos cada 20km. andados. ¿A que hora encontrará al peatón? a) 13h 32’ 18” b) 12h 32’ 18” c) 13h 33’ 18” d) 13h 32’ 15” e) 14h 30’ 17” 05.Del embarcadero “A” partieron al mismo tiempo río abajo un bote y una balsa. El bote después de pasar 96 km. río abajo, vuelve hacia atrás y regresa a A al cabo de 14 horas. Hallar la velocidad del bote en agua muerta y la velocidad de la corriente, si se sabe que en su camino de regreso el bote encontró a la balsa a la distancia de 24 km. de A. a) 12 y 4 km/h b) 14 y 2 km/h c) 16 y 3 km/h d) 42 y 12 km/h e) 17 y 7 km/h 06.Para los ensayos de motocicletas de diferentes de diferentes tipos, los motociclistas parten al mismo tiempo del punto “A” a “B” y de el punto “”B” a “A”. La velocidad de los dos motociclistas es constante y al llegar al punto final vuelven inmediatamente hacia atrás. La primera vez se encontraron a la distancia de “p” kilómetros de “B” y la segunda a “q” kilómetros “A”, “t” horas después del primer encuentro, hallar la distancia en A y B. a) 3p – q b) 3q – p c) 2p + 3q d) 2p – pq e) 5p – 3q 07.Dos automóviles partieron al mismo tiempo de un mismo punto en un mismo sentido. La velocidad del primero es 50Km/h y la del segundo de 40km/h. Después de media hora, del mismo punto y en el mismo sentido parte un tercer automóvil que alcanza al primero 1,5 horas más tarde que al segundo. Hallar la velocidad del tercer automóvil. a) 70Km/h b) 60Km/h c) 65Km/h d) 68Km/h e) 75 Km/h 08.Dos ciclistas salen simultáneamente al encuentro, el primero sale de “A” con una velocidad de 7 km/h y el segundo sale de “B” con una velocidad de 3 km/h. Al segundo lo acompaña su perro, que corre una velocidad de 5 km/h, el perro sigue la ruta encuentra al otro ciclista y vuelve al encuentro de su amo, y así sucesivamente sigue corriendo hasta que los dos ciclistas se encuentran. que distancia ha recorrido el perro si de A a B hay 40 kilometros. a) 20 km b) 25 km c) 30 km d) 32 km e) 40 km 09.Un automóvil parte de Piura a las 17:00 y llega a Lima al día siguiente a las 14:00. Otro sale de Piura a las 15:00 y llega a Lima al día siguiente a las 9:00. ¿A qué hora el segundo auto alcanzó al primero? a) 11:00 b) 02:00 c) 03:00 d) 04:00 e) 05:00 10.En 100 metros un corredor “A” vence a otro “B” por 1/5 de segundo, pero si “A” le da 3 metros de ventaja a “B” este vence a “A” por 14/13 de segundo. ¿Cuánto tarda “B” en recorrer 100 metros? a) 40,56 s b) 41,56 s c) 42,56 s d) 43,56 s e) 38,56 s S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 14. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria Tipo (I) 01.Un reloj que da la hora mediante campanadas, se demora 1 segundo para dar las 2. ¿Cuántos segundos se demorará en dar las 4, si las campanadas están igualmente espaciadas? a) 1 segundo b) 2 segundos c) 3 segundos d) 4 segundos e) 5 segundos Resolución Si se demora 1 segundo en dar las 2, implica que se demora en dar 2 campanadas, quiere decir que de la primera campanada a la segunda ha transcurrido 1 segundo. 1° campanada 2° campanada 1 segundo Nótese que el tiempo que se considera, no es el que demoran en sonar las dos campanadas, sino el tiempo transcurrido entre una y otra campanada. Luego para dar las 4 (es decir para dar 4 campanadas) de la 1ra a la 2da campanada habrá 1 segundo; de la 2da a la 3ra otro segundo y de la 3ra a la 4ta un segundo más, vale decir, tardará tres segundos. 1° 1 seg 2° 3° 4° 1 seg 1 seg Total: 3 segundos. 02.Un reloj de campanadas se demora 1 segundo en dar las 3 horas. ¿Cuánto tardará en dar las 5 horas? a) 1 segundo b) 1.5 segundo c) 2 segundos d) 2.5 segundos e) 3 segundos Resolución Dato: 1° 1/2 seg 2° 3° 1 seg 1/2 seg ∴Para dar las 5 horas: 1° 1/2 seg 2° 3° 1/2 seg 4° 5° 1/2 seg 1/2 seg Total: 4 (1/2) = 2 seg. Tipo (II) 03.Siendo las 8 a.m. empieza a adelantarse un reloj, a razón de 5 minutos por cada hora. ¿Qué hora estará marcando este reloj, cuando en realidad sean las 10 p.m. del mismo día? a) 10:10 pm. b) 10:50 pm. c) 11:00 pm. d) 11:10 pm. e) 11:20 pm. Resolución De las 8 a.m. hasta las 10 p.m. han transcurrido 14 horas. En 1 hora se adelanta 5 minutos. En 14 horas se adelantará “x” minutos. x = 14 x 5 = 70 min ó 1 hora 10 min. Luego: a las 10 p.m. tendrá un adelantado de 1 hora 10 min, entonces marcará 11.10 p.m. 04.Un reloj que se atrasa 4 minutos cada 5 horas, se pone a la hora al medio día. Se desea poner nuevamente a la hora a las 8:00 a.m. ¿Cuántos minutos se debe adelantar para ponerlo a la hora? a) 15 min. b) 16 min. c) 18 min. d) 20 min. e) 24 min. Resolución Del medio día, a las 8:00 a.m. del otro día han transcurrido 20 horas. En 5 horas se atrasa 4 minutos. En 20 horas se atrasará “x” minutos. x = 5 4x20 = 16 minutos Luego, para ponerlo a la hora, hay que adelantarlo en 16 minutos. 05. Cuando son exactamente las 4:00 p.m.; un reloj marca las 3:40 p.m. Se sabe que el reloj sufre un retraso constante de 2 minutos cada 3 horas. Determinar a que hora marcó la hora correcta por última vez? a) 8:00 a.m. b) 9:00 a.m. c) 9:30 a.m. d) 9:40 a.m. e) 10:00 a.m. Resolución Como son las 4:00 p.m.; un reloj marca las 3:40 p.m., entonces tiene un retraso de 20 minutos. En 3 horas se retrasa 2 minutos. En “x” horas se habrá retrasado 20 minutos. x = 2 3x20 = 39 horas Luego, para retrasarse 20 minutos se ha demorado 30 horas, por lo que se deduce que hace 30 horas marcó la hora correcta por última vez, es decir, a las 10:00 a.m. 06.Siendo las 12 del día, un reloj empezó a adelantarse a razón de 10 minutos por hora. ¿Dentro de cuántas horas volverá a marcar la hora correcta por primera vez? a) Dentro de 12 horas b) Dentro de 36 horas c) Dentro de 2 días d) Dentro de 1 día e) Dentro de 3 días Resolución Para que un reloj que se adelanta vuelva a marcar la hora correcta por primera vez, tiene que adelantarse en 12 horas como mínimo. Por ejemplo, supóngase que en estos momentos son las 10:00 a.m.; tenemos un reloj que marca la hora correcta y adelantemos en 12 horas, notaremos que a pesar de estar adelantado en 12 horas, estará marcando la hora correcta, es decir, las 10:00. Es por ello, que en este problema, tendríamos que esperar que el reloj se adelante en 12 oras = 12 x 60 = 720 minutos, para que vuelva a marcar la hora correcta. Luego: En 1 hora se adelanta 10 minutos. En “x” horas se adelantará 720 minutos. x = 10 720 = 72 horas = 3 días. Volverá a marcar la hora correcta por primera vez dentro de 3 días. Tipo (III) Los problemas que analizaremos en este caso, son los que se derivan de la relación existente entre la hora que marca el reloj y el ángulo formado por las manecillas del reloj en ese momento. Algunas Consideraciones 1. Divisiones de un reloj Un reloj de manecillas tiene 12 divisiones mayores que indican las horas, cada una de éstas está dividida en cinco divisiones menores, las cuales hacen un total de 12 x 5 = 60 divisiones menores en toda la circunferencia que indican los minutos. S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...." RELOJES
  • 15. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria En adelante como divisiones nos referimos a las divisiones menores. Por otro lado, toda la circunferencia del reloj tiene 360°. De lo anterior tenemos las siguientes equivalencias. 60 div < > 60 min < > 360° 1 div < > 1 min < > 6° Lo anterior indica, que si el minutero de un reloj recorre 1 división, transcurre 1 minuto de tiempo y ha barrido un ángulo de 6°. 2. Relación de los corridos del horario y el minutero En una hora la aguja minutera da una vuelta entera, es decir, recorre 60 divisiones, mientras que el horario recorre solamente 5 divisiones (la doceava parte de lo que recorre el minutero). Cuando: Las 12 divisiones mayores tiene 5. Minutero recorre ⇒ Horario recorre 60 divisiones 12 divisiones m divisiones 5 divisiones 1 división m/12 divisiones Por ejemplo: cuando el minutero haya recorrido 36 divisiones (36 minutos), en ese tiempo, el horario habrá recorrido 12 36 = 3 divisiones. 3. Hora de referencia Dada una hora cualquiera, la hora de referencia será la hora exacta anterior a dicha hora. Ejemplo: A las 7 hrs 25 min, la hora de referencia será las 7 en punto. Entre las 4 y las 5, la hora de referencia será las 4 en punto. Problema General: Hallar el ángulo que forman las manecillas de un reloj, a las “H” con “m” minutos. Resolución: a) Cuando el horario adelanta al minutero Partamos de la hora de referencia, que en este caso será las “H” en punto. A partir de ese momento el minutero ha recorrido “m” divisiones, en tanto que el horario la recorrido m/12 divisiones. Hora de Referencia H 12 5Hdiv A las “H” con “m” min. H 12 5Hdivm div 1 div. < > 6° ⇒ 2 m11 H30 −=α b) Cuando el minutero adelanta el horario Nuevamente partiendo de la hora de referencia, el minutero ha recorrido “m” divisiones, mientras que el horario m/12. Hora de Referencia H 12 5Hdiv A las “H” con “m” min. m div 12 5Hdiv α m 12 div div 12 m H5m               +−=α 1 div < > 6° ⇒ H30 2 m11 −≡α Resumen: La hora que señala el reloj y el ángulo que forman sus manecillas están relacionados de la siguiente manera: Cuando horario adelanta al minutero 2 m11 H30 −=α Cuando el minutero adelanta al horario H30 2 m11 −=α Donde: H: Hora de referencia (0 ≤ H < 12) M: # de minutos transcurridos a partir de la hora de referencia. α: Medida del ángulo que forman las manecillas del reloj en grados sexagesimales. S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 16. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria Ejemplo 1: ¿Cuál es el menor ángulo que forman las manecillas de un reloj a las 7:24 a.m.? Resolución: 12 α °=α −=α −=α        =α = = 78 2 )24(11 )7(30 2 m11 H30 ? 24m 7H Ejemplo 2: ¿Qué ángulo forman las manecillas de un reloj, a las 9:10 p.m.? °=α −=α −=α        =α = = 215 2 )10(11 )9(30 2 m11 H30 ? 10m 9H Nota: Cuando se pregunta por el ángulo que forman las manecillas del reloj, se entiende por el menor ángulo. En este ejemplo, el ángulo mide 215° que es mayor de 180°; luego, el ángulo pedido no es éste si no su ángulo revolucionario, es decir 360° - 215° = 145°. Ejemplo 3: ¿Cuál es el ángulo formado por las manecillas de un reloj a las 4 y 36 minutos? Resolución: °=α −=α −=α        =α = = 78 )4(30 2 )36(11 H30 2 m11 ? 36m 4H Ejemplo 4: Determinar el ángulo que forman manecillas de un reloj a las 12 con 18 minutos. Resolución: Cuando son las 12 y tantos, las horas de referencia se toma como cero (H = 0). Luego: °=α −=α −=α        =α = = 99 )0(30 2 )18(11 H30 2 m11 ? 18m 0H Ejemplo 5: ¿A qué horas, entre las 4 y las 5, las manecillas de un reloj, forman un ángulo de 65° por primera vez? Resolución: 12 65° 5 4 1 °= −= −=α        °=α = = 10m 2 m11 )4(3065 2 m11 H30 65 ??m 4H Nota: Cuando se dice “por primera vez” significa que el horario está adelantado con respecto del minutero y cuando se dice “por segunda vez” ocurre la viceversa. Ejemplo 6: ¿A qué horas entre las 2 y las 3, las manecillas de un reloj formarán un ángulo de 145° por segunda vez? Resolución: El ángulo que forman las manecillas del reloj, se mide en sentido horario a partir de horario si el minutero adelanta al horario y a partir del minutero si el horario adelanta al minutero. Por lo anterior, en este ejemplo: α = 360° - 145° = 215° A las 2 con 50 minutos. 10 145° 3 2 215° 50m )2(30 2 m11 215 H30 2 m11 215 ??m 2H = −= −=α       °=α = = PRÁCTICA DE CLASE 01.Un reloj se adelanta 5 segundos cada 10 minutos. Hace 18 horas que se viene adelantando. ¿ Qué hora marcará si son en realidad 3 h 24 min. ? a) 9h 30' b) 9h 31' c) 9h 32' d) 9h 33' e) N.a. S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 17. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria 02.Un reloj se atrasa 4 min cada 5 horas. Hace 10 días que se viene atrasando. ¿ Qué hora marcara, si en realidad son las 9 ?. a) 5h 48' b) 6h 48' c) 6h 12' d) 6h 32' e) N.a. 03.Un reloj se adelanta 3 min. cada 6 horas si a las 8 p.m. está marcando la hora exacta. ¿ Qué tiempo transcurrirá para la que vuelva a marcar la hora exacta ? a) 100 días b) 90 días c) 60 días d) 45 días e) N.a. 04.¿Cuál es el ángulo que forma las manecillas de un reloj a las 8h 50 min ? a) 30° b) 35° c) 45° d) 60° e) N.a. 05.Hallar el menor ángulo que forman las agujas de un reloj a las 9 h. 10 min. ? a) 215° b) 175° c) 150° d) 145° e) N.a. 06.¿A qué hora entre las 4 y las 5 están opuestas las agujas del reloj? a) 4h 51 2/11 min b) 4h 52 5/11 min c) 4h 54 6/11 min d) 4h 55 3/11 min e) N.a. 07.Antes que el minutero pase sobre el horario. ¿ A qué hora entre las 5 y las 6, las agujas de un reloj forman un ángulo recto ? a) 5h 11 5/11 min b) 5h 11 9/11 min c) 5h 10 10/11 min d) 5h 11 2/11 min e) N.a. 08.Mirando un reloj se observa que la mitad de la parte transcurrida del día es igual a la tercera parte de lo que falta transcurrir. ¿ Qué hora es en el momento que se miró el reloj ? a) 9h 30' b) 9h 36' c) 9h 48' d) 9h 24' e) N.a. 09.En un determinado mes existen 5 miércoles, 5 jueves y 5 viernes. Se pide hallar que día es el 30 del siguiente mes. a) Miércoles b) Jueves c) Lunes d) Martes e) Domingo 10.Un trabajador puede realizar un trabajo en 5 horas. ¿ Qué parte de la obra hará desde las 9 h. 55 a.m. hasta las 10 h. 05 a.m. ? a) 1/15 b) 1/4 c) 1/30 d) 1/8 e) N.a. 11.Francisco comienza un viaje cuando las manecillas del reloj están superpuestas entre los 8 y los 9 a.m. Llega a su destino entre las 2 y las 3 pm. cuando las manecillas del reloj forman un ángulo de 180 grados. ¿ Qué tiempo demoró el viaje? a) 6 hrs. b) 6 hrs. 30' c) 5 hrs. 20' d) 6 hrs. 20' e) N.a. 12.Dos relojes dan las horas y las medias horas. Sus marchas son iguales, pero uno de ellos dá la hora cambiada, a la 1 dá las 3, a las 2 dá las 4, etc. Si se ponen en marcha a las 11:59. ¿ Qué hora será cuando hayan dado el mismo número de campanadas ? a) 6 b) 4 c) 7 d) 5 e) N.a. 13.En un momento dado, 2 relojes marcan las 12 hrs.; uno de ellos se retrasa 7 seg. por hora y el otro se adelanta 5 seg. por hora . ¿Qué tiempo mínimo tendría que transcurrir para que los 2 relojes vuelvan a marcar una misma hora y que hora es esa? a) 120 días a las 14 hrs. b) 150 días a las 12 hrs. c) 120 días a las 8 hrs. d) 150 días a las 17 hrs. e) N.a. 14.En un mes el primer día cayó Lunes y el último Lunes. ¿ Qué día cayó el 16 de Setiembre del mismo año ? a) Viernes b) Martes c) Jueves d) Lunes e) N.a. 15.¿ A qué día y hora del mes de Abril de 1976, se verificó que la fracción transcurrido del mes fue igual a la fracción transcurrida del año ? a) 8 Abril a las 3 a.m. b) 9 Abril a las 3 a.m. c) 13 Abril a las 6 p.m. d) 15 Abril a las 10 p.m. e) N.a. 16.Juan sale de su casa según su reloj a las 7.5 hrs. (a.m) y llega a la oficina a las 8.20 hrs. (a.m), luego se entera que su reloj estaba atrazado 12 mint. y el de la oficina tenía un adelanto de 5 mint. exactamente. ¿ Cuántos minutos demoró en llegar a su oficina?. a) 53 min b) 59 min. c)1 hr, 1 min. d) 1 hr. 83 min. e) N.a. 17.¿ Cuál es el menor ángulo que forman las agujas de un reloj a las 10 hrs. 30 minutos?. a) 135° b) 105° c) 120° d) 140° e) N.a. 18.Es la 3 de la tarde. ¿ Cuántos minutos deben transcurrir para que las agujas estén superpuestas? a) 1 4/11 min. b) 16 4/11 min. c) 15 4/11 min. d) 16 min. e) N.a. 19.Es medio día, qué hora las agujas de un reloj estarán opuestas. a) 12 hrs. 30 min. b) 12 hrs. 32 min. c) 12 hrs. 32 8/11 min. d) 4 hrs. 21 9/11 min. e) N.a. 20.A las 8 horas 24 minutos. ¿ Cuántos divisores (arco menor) abarcan las manecillas del reloj? a) 12 b) 18 c) 14 d) 15 e) 16 EJERCICIOS PROPUESTOS Nº 05 01. Un reloj da 6 campanadas en 5 seg. ¿En cuántos segundos dará 12 campanadas? a) 12 b) 10 c) 11 d) 9 e) 13 02. Se hacen funcionar dos relojes a las 00 horas. Si uno de ellos se retrasa 10 minutos cada hora con respecto al otro. ¿Cuánto tiempo transcurrirá hasta que ambos relojes coincidan a las 12? a) 8 días b) 5 días c) 75 horas d) 3 días e) 2 días 03. Una secretaria sale de su casa a las 9:45 a.m.. según su reloj y llega a su trabajo a las 10:45 a.m., según el reloj de la oficina. Se entera entonces que su reloj estaba atrasado 12 minutos y el de la oficina un adelanto de 8 minutos. ¿Cuánto demoró en llegar a su trabajo? a) 30 min. b) 40 min. c) 60 min. d) 54 min. e) 65 min. 04. ¿A qué hora, después de las 3 p.m., las agujas de un reloj determinan un ángulo de 130o ?. a) 3:45’ b) 3:35’ c) 3:30’ d) 3:40’ e) 3:50’ S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 18. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria 05. Un reloj se atrasa un minuto en cada hora. Si marca la hora correcta el 4 de enero a las 12m. ¿Qué día y a qué hora marcará nuevamente la hora exacta? a) 28 de enero; 12 m. b) 02 de febrero; 7:30 p.m. c) 31 de enero; 1 p.m. d) 5 de febrero; 10 a.m. e) 3 de febrero; 12 m. 06. ¿A qué hora entre las 7 y 8 las agujas de un reloj determinan un ángulo de 60o por segunda vez? a) 7:50 11 2 b) 7:49 11 1 c) 7:51 11 1 d) 7:49 11 2 e) 7:49 11 3 07. ¿A qué hora entre las 4 y las 5 el minutero y el horario formarán un ángulo que sea la quinta parte del ángulo externo? a) 4h 12 11 10 min. b) 4h 10 11 10 min. c) 4h 20min. 6 11 2 seg. d) 4h 10min. 20seg. e) N.a. 08. Un reloj se adelanta 2 min. cada 8 minutos . ¿Qué hora será realmente cuando este reloj marque las 2 h. 15 min. y desde hace 3 horas que se adelanta?. a) 1h 30’ b) 1h 25’ c) 2h 30’ d) 2 h 20’ e) 3 h 40’ 09. ¿A qué hora después de las 4, el minutero equidista del horario y de las 12 por segunda vez? a) 4: 40’ 40 '' 23 2 b) 4: 41’ 45 '' 23 1 c) 4: 41’ 44 '' 23 8 d) 4: 42’ '' 23 2 e) 4: 42’ 20 '' 23 10 10. Cuando son las 8:00 a.m., un reloj marca 8:10 a.m., pero a las 9:00 a.m., del otro día marca 8:45 a.m. ¿Qué hora marcará a las 6 de la tarde del mismo día? a) 5: 51’ 10’’ b) 5: 50’ 36’’ c) 5: 47’ 36’’ d) 6: 00’ 00’’ e) 5: 30’ 24’’ 11. Siendo las 2:00 p.m., se ponen a la hora 2 relojes A y B. El primero se adelanta 7 minutos cada hora y B se atrasa 8 minutos cada hora. A las 10 de la noche del mismo día; ¿Cuánto tiempo estará adelantado A respecto a B? a) 20 min. b) 40 min. c) 1 hora d) 1,5 hora e) 2 horas 12. ¿Cuántas veces las manecillas de un reloj se superponen exactamente en una semana? a) 150 b) 152 c) 154 d) 168 e) 161 13. Al ver que ninguno de sus relojes marchaba bien, pues uno se adelanta 2 minutos por día y el otro se atrasaba 2 minutos por día, el 1ro de enero de 1965, a horas 12 m el dueño de los relojes les puso a la misma hora, para ver cuando volverían a marcar la hora correcta. ¿Cuándo volvieron a marcar la hora exacta? a) 26–04–66 b) 27–12–65 c) 26–04–65 d) 01–01–66 e) N.a. 14. Dos relojes marcan las 8 a.m., si en ese instante el primero comienza a adelantarse 5 min. por hora y el segundo a atrasarse 200 seg., por hora. Hallar a qué hora habrá una diferencia de 31 min., entre dichos relojes. a) 11h 39’ 36 a.m. b) 3h 27’ 30’’ a.m. c) 11h 43’ 12’’ a.m. d) 4h 20’ 20’’ a.m. e) N.A. 15. La hora que falta para terminar el día y las horas que pasaron desde que inició, están en relación de 3 : 5 . ¿Cuántas horas han transcurrido desde el mediodía? a) 5h b) 4h c) 3h d) 2h e) 6h TAREA DOMICILIARIA 01.Un reloj demora 5 segundos en dar las 6, empezando exactamente a las 6:00. Si los tic tac están uniformemente espaciados. ¿Cuántos segundos tarda en dar las 12:00? a) 11 s b) 9 s c) 12 s d) 20 s e) N.A. 02. ¿A qué hora los 2/3 de lo que queda del día es igual al tiempo transcurrido? a) 9h 36’ a.m. b) 8h 20’ p.m. c) 9h 20’ p.m. d) 8h 15’ p.m. e) N.A. 03.Los 2/3 de lo que falta transcurrir de un día equivale al doble de lo transcurrido. ¿Cuántas horas faltan para el medio día? a) 4 b) 6 c) 12 d) 18 e) 20 04.Mirando un reloj se observa que la parte transcurrida del día es igual a los 3/5 de lo que falta por transcurrir. ¿Qué hora es en el momento que se miró el reloj? a) 8 a.m. b) 6 p.m. c) 9 a.m. d) 8 p.m. e) N.a. 05.La hora que falta para terminar el día y las horas que pasaron desde que inició, están en relación de 3:5. ¿Cuántas horas han transcurrido desde el mediodía? a) 5h b) 4h c) 3h d) 2h e) 6h 06.¿Qué hora es, si falta del día, la tercera parte de lo que faltaba hace 6 horas? a) 8:00 a.m. b) 9:00 a.m. c) 10:00 a.m. d) 8:00 p.m. e) 9:00 p.m. 07.¿Cuál es el menor ángulo que forman las manecillas de un reloj a las 4h 40’? a) 110° b) 130° c) 100° d) 124° e) N.A. 08.¿A qué hora entre las 6 y las 7 las agujas del reloj estarán superpuestas? a) 6h 30’ b) 6h 31’ c) 6h 31 7/11 min. d) 6h 32 8/11’ e) N.a. 09.Son las 8 de la noche, a que hora las agujas del reloj forman primera vez un ángulo de 70° ? a) 8h 30 10/11’ b) 8h 31 2/11’ c) 8h 35 1/11’ d) 8h 31 5/11’ e) N.a. S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
  • 19. 37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4 to Año Secundaria RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 4 to Año Secundaria 10.Antes que el minutero pase sobre el horario. ¿A qué hora entre las 5 y las 6, las agujas de un reloj forman un ángulo recto? a) 5h 51 2/11’ b) 4h 54 6/11’ c) 5h 10 10/11’ d) 5h 11 2/11’ e) N.a. SOLUCIONARIO Nº EJERCICIOS PROPUESTOS 01 02 03 04 05 01. C C B E C 02. D A B A D 03. C C A B B 04. B D B D D 05. D C E E E 06. B D C B B 07. C B A A B 08 A C B D A 09. B D A A C 10. B B C C D 11. D C B C E 12. B C B E C 13. C C B B D 14. C D D B C 15. B C D B D 16. B C E 17. C C B 18. C C A 19. B D C 20. C B A GRUPO EDUCATIVO INTEGRAL copyright 2003 S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4RM33B “El nuevo símbolo de una buena educación...."