Este documento describe las relaciones entre diferentes tipos de proposiciones cuantificadas como universales, particulares, contradictorias y subcontrarias. También explica las reglas de generalización y especificación existencial que se usan para derivar conclusiones de premisas categóricas, como en los silogismos.

1. Enunciados categóricos

2. • Son los enunciados que incluyen los cuantificadores como
“Todos”, “Algún” o “Ningún”.
• Están compuestos de un sujeto y un predicado unidos por la
“es” o “son”.
Part. Afir. (I) Part. Neg. (O)
Univ. Neg. (E)
Subcontrarias
Univ. Afir. (A) Contrarias
Contradictorias

3. Son proposiciones que no pueden ser
simultáneamente verdaderas, pero tampoco
simultáneamente falsas, necesariamente una es
verdadera y otra es falsa. Es decir cada una niega el
valor de verdad de la otra.
• (A) Todos los planetas tienen atmósfera V
• (O) Algunos planetas no tienen atmósfera F
• (E) Ningún adolescente es responsable F
• (I) Algunos adolescentes son responsables V

4. Son proposiciones universales que no pueden ser
simultáneamente verdaderas aunque si pueden ser
simultáneamente falsas.
• Todos los mamíferos son vertebrados V
• Ningún mamífero es vertebrado F
• Ningún libro es interesante F
• Todos los libros son interesantes F
• Todos los hombres son inteligentes F
• Ningún hombre es inteligente F
• Todas las carreras son fáciles F
• Ninguna carrera es fácil F

5. Son las proposiciones particulares que no pueden
ser simultáneamente falsas, pero si
simultáneamente verdaderas
• Algunas ranas vuelan F
• Algunas ranas no vuelan V
• Algunos números complejos son reales V
• Algunos números complejos no son reales V
• Algunos enteros son positivos V
• Algunos enteros no son positivos V
• Algunas personas pueden volar F
• Algunas personas no pueden volar V

6. • Estas relaciones entre
afirmaciones cuantificadas, se
utilizan para obtener las
conclusiones de argumentos
sencillos, que constan de una
premisa y una conclusión.
• A los argumentos en los que se
obtiene como conclusión un
enunciado categórico a partir
de otros dos enunciados
categóricos considerados
como premisas se les llama
silogismos.
Ejemplo:
• Todos los compiladores son
lenguajes de programación
• Algunos juegos son
compiladores
• Luego, algunos juegos son
lenguajes de programación
• x (p(x)  q(x))
•  x (r(x)  p(x))
•   x (r(x)  q(x))

7. • Las proposiciones categóricas son de uso frecuente en
matemáticas, sin embargo, no todos los argumentos que
usan proposiciones categóricas son inferencias directas o
cadenas de silogismos.
• Las proposiciones que tienen valores de falso o verdadero
se llaman asertóticas.
• Por lo general, es posible obtener fórmulas lógicamente
válidas en el cálculo de predicados a partir de tautologías
del cálculo de proposiciones. Es decir, todas las
implicaciones y equivalencias del cálculo proposicional, son
aplicables al cálculo de predicados.

8. • Las pruebas en cálculo de predicados se hacen de la misma
forma que en el cálculo proposicional, siempre que las
fórmulas de proposiciones se sustituyan por fórmulas de
predicado.
• La deducción natural de la lógica de predicados mantiene las
reglas de la lógica proposicional y añade cuatro más: dos para
cada cuantificador, una para eliminarlo y una para
introducirlo.
• Una vez que se eliminan los cuantificadores, la deducción es
similar a la del cálculo proposicional. En caso de que se vuelva
necesario cuantificar la conclusión deseada, se requieren dos
reglas de generalización, conocidas como reglas GU y GE.

9. • Las proposiciones universales son producto de una generalización a
partir de proposiciones singulares, por lo que dada una proposición
universal, siempre existe una proposición singular que muestra un
ejemplo de sustitución de variable individual utilizada en la
proposición universal, por una constante individual. Por ejemplo:
Todos los mexicanos (M) son americanos (A):
x [M(x)  A(x)]
siendo g una constante individual que representa a Domingo Vite:
M(g)  A(g)
es decir, si Lorena Ochoa es mexicana entonces es Americana.
• Si la proposición universal es verdadera, también lo es la
proposición singular, que muestra un ejemplo de sustitución de la
misma. La representación simbólica de esta regla es:

10. x [P(x)  Q(x)]
P(a)
P(a)  Q(a)
x P(x)
 P(a)
• Todas las estrellas brillan con luz
propia
x [E(x)  B(x)]
• El sol es una estrella
E(a)
• Si el sol es estrella, brilla con luz
propia
E(a)  B(a)

11. • La generalización universal establece que x P(x) es verdadera, si
P(a) lo es, donde a es un miembro arbitrario (no miembro
específico) del dominio.
• Si en un argumento se encuentra una premisa singular, en la que
de un individuo particular (a), arbitrariamente elegido de un
conjunto, se afirma un predicado (P), puede obtenerse como
conclusión que todos los objetos x del conjunto tienen el mismo
predicado.
• Esto solo en el caso de que la variable no aparezca como variable
libre en ninguna de las premisas precedentes y de que la libertad
de la variable no provenga del uso de la regla de especificación
existencial en ninguno de los pasos precedentes.

12. P(a)
x P(x)
Ejemplo:
• Ningún reptil tiene
sangre caliente
• Todas las víboras son
reptiles
• Luego, ninguna víbora
tiene sangre caliente
1. x (R(x)  ¬S(x))
2. x (V(x)  R(x))
3. R(a)  ¬S(a) EU 1
4. V(a)  R(a) EU 2
5. V(a)  ¬S(a) SH 3,4
6. x (V(x)  ¬S(x) GU 5

13. • Esta ley permite concluir que P(a) es verdadera
si x P(x) es verdadera, donde a no es un
miembro arbitrario del universo, sino sólo uno
para el que P(a) es verdadera. Casi siempre no
se sabrá qué es a, pero sí que existe. Puesto que
existe, se le puede llamar a. Esta regla también
se conoce como instanciación existencial.
x P(x)
 P(a)

14. • La variable que introduce la ejemplificación
existencial no debe haber aparecido anteriormente
como variable libre. Además, la variable que se
introduce debe estar fija, en el sentido de que no se
puede aplicar una generalización universal (GU) a
esa variable.
• Finalmente, no debe de aparecer en la conclusión
una variable que tenga un valor desconocido, y dado
que toda variable introducida por EE es
desconocida, tampoco deberá de aparecer en la
conclusión.

15. • Esta regla se usa para concluir que x P(x) es
verdadera cuando P(a) lo es, donde a es un miembro
particular del universo de discurso.
P(a)
 x P(x)
• Si en un argumento se encuentra, como premisa,
una proposición singular en la que de un individuo
particular a, se dice un predicado P, puede obtenerse
como conclusión que existe al menos un objeto x,
que tiene tal predicado.

16. x D(x)  E(x) Todos los dictadores son ególatras
x D(x)  G(x) Algunos dictadores son generales
x G(x)  E(x) Algunos generales son ególatras

17. • Existen astronautas que comen sanamente.
Los astronautas no fuman. Luego, existen
astronautas que comen sanamente y que no
fuman.
• P(x): x es astronauta,
• Q(x): x come sanamente,
• R(x): x fuma

18. • Todos los rectores son maestros. Algunos
rectores son arbitrarios. Por lo tanto,
algunos maestros son arbitrarios.
• R(x): x es rector,
• M(x): x es maestro
• A(x): x es arbitrario.

19. • Para los casos en que una misma variable es
afectada por los cuantificadores existencial y
universal, primero se deben aplicar las reglas EE
y después las reglas EU.
Ejemplo: Todos los estudiantes son alegres e
inquietos. Algunos estudiantes son dedicados al
estudio. Por consiguiente, algunos estudiantes son
alegres y dedicados al estudio. Sean E(x): x es
estudiante, A(x): x es alegre, I(x): x es inquieto y
D(x): x es dedicado.

20. • Algunas puertas son de madera. Algunas
sillas son de madera. Por lo tanto, algunas
puertas son sillas. Sean P(x): x es puerta, S(x):
x es silla y M(x): x es de madera.