Este documento presenta información sobre modelos matemáticos, incluyendo modelos cuantitativos y cualitativos. Explica que un modelo matemático describe teóricamente un objeto fuera de las matemáticas y que su precisión depende de cómo se representan numéricamente los hechos y situaciones naturales. También proporciona ejemplos de modelos matemáticos como comprar en un supermercado o cocinar arroz. Finalmente, introduce conceptos de programación lineal como función objetivo, restricciones y condiciones técnicas

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA
MATERIA DE
INVESTIGACION
OPERATIVA
Modelos matemáticos
Un modelo matemático describe teóricamente un
objeto que existe fuera del campo de las Matemáticas.
Las previsiones del tiempo y los pronósticos
económicos, por ejemplo, están basados en modelos
matemáticos. Su éxito o fracaso depende de la precisión con la que se construya esta
representación numérica, la fidelidad con la que se concreticen hechos y situaciones
naturales en forma de variables relacionadas entre sí.
Modelos cuantitativos
La investigación Cuantitat iva tiene
una concepción lineal, es decir que
haya claridad entre los elementos
que conforman el problema,
que tenga definición, limitarlos
y saber con exactitud donde se
inicia el problema, también le
es importante saber qué tipo de
incidencia existe entre sus
elementos".
Modelos cualitativos
La metodología cualitativa,
como indica su propia
denominación, tiene
como objetivo la descripci ón de las
cualidades de un fenómeno.
Busca un concepto que pueda abarcar una parte de la realidad. No se trata de probar o
de medir en qué grado una cierta cualidad se encuentra en un cierto acontecimiento
dado, sino de descubrir tantas cualidades como sea posible.
En investigaciones cualitativas se debe hablar de entendimiento en profundidad en lugar
de exactitud: se trata de obtener un entendimiento lo más profundo posible.

2. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA
Ejemplos de modelos matemáticos
Modelo de compras en un supermercado
1. Ingresar al supermercado
2. Coger el carrito para las compras
3. Dirigirse a cada estantería para seleccionar los productos
4. Me dirijo a la caja y me coloco en la fila
5. Cancelo en valor de la cuenta
6. Recojo los productos en las respectivas fundas
7. Me dirijo a la puerta de salida
Modelo para almorzar en un restauran
1. Ingresar al restauran
2. Buscar una meza disponible y tomar asiento
3. Lamar al camarero y que me traiga la carta
4. Selecciono el menú que voy a servirme
5. Esperar a que traigan el menú
6. Me sirvo el almuerzo
7. Me levanto de la silla y me dirijo a la caja

3. Cancelo el valor del almuerzo
8. Salgo del restaurant
Pasos para llamar por teléfono
1. Cojo y habilito el celular
2. Selecciono el menú de contactos
3. Escojo a la persona a la cual voy a llamar
4. Presiono la tecla de llamada
5. Espero que me conteste
6. Saludo y pregunto por la persona a quien llame
7. Trasmito el mensaje
8. Me despido
9. Cuelgo
Modelo para cocinar arroz seco
1. Enciendo la hornilla y coloco sobre la hornilla la olla con agua
2. Espero a que se caliente
3. Selecciono la cantidad de arroz en un recipiente
4. Vierto en la olla hirviendo el arroz
5. Coloco sal y mesclo bien
6. Espero a que el arroz se cocine
7. Pongo aceite y tapo la olla hasta que se seque bien
8. Verifico que el arroz este en su punto
9. Apago la hornilla
Programación lineal
Se divide en 3 partes
Función objetivo
Restricciones
Condiciones técnicas o matemáticas
Optimizar z
Restricción

4. n
No negatividad
Resolución de sistema de inecuaciones
SISTEMA DE INECUACIONES
Resolver las siguientes Inecuaciones
2x+3y≥7
2x+3y=7
x y
0 2,3
3,5 0
2(0)+3(0)≥7
0≥7 FALSO
X
Y
2,3
3,5

5. 1.- 4x-8y<12
2.- 4x-8y=12
x y
0 -1,5
3 0
4(0)+8(0)<12
0<12 VERDADERO
Y
X
3
-1,5

6. x y
0 0
1 2
→ Verdadero
3.-
4.-
x Y
0
7 0

7. → Falso
5.-
< 12
> y
= 12
= 1
X: = 1,7
Y: = 2
P(0,0)
<12
0 < 12 Verdadero
2x-y=-3

8. x y
0 3
-
1,
5
0
P(0,0)
> -3
2(0)-(0) >-3
0>--3 Verdadero
6. 3x2
+y>6
2x2
-y2
<4
(1) (2)
3x2
+y=6
y=6-3x2
2x2
-y2
=4
x y x y
-3 -21 ±2.
6
-3
-2 -6 ±2 -2
-1 3 ±1. -1

9. 0
1
2
3
6
3
-6
-21
6
±1.
4
±1.
6
±2
±2.
6
0
1
2
3
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0)
(1) (2)
3(0)2
+(0)>6 2(0)2
-(0)2
<4
0>6 0<4
FALSO VERDAD
GRÁFICO

10. PROGRAMACIÓN LINEAL
La programación lineal estudia las situaciones en las que se
exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a
determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.
EJEMPLOS
1.- Una Compañía de Auditores se especialista en preparar liquidaciones y auditorías de
pequeñas empresas. Tiene interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden
realizarse mensualmente para maximizar sus ingresos? Se dispone de 600 horas de
trabajo directo y 220 horas para revisión, además aporta un ingreso de $250, una
liquidación de impuestos requiere de 6 horas de trabajo directo y 4 de revisión producen
un ingreso de $90, una auditoría requiere de 30 horas de trabajo directo y 8 de revisión,
aporta con un ingreso de $250. El máximo de liquidaciones posibles es de 50.
TABLA DE DATOS
DESCRIPCIÓN TRABAJO
DIRECTO
REVISIÓ
N
INGRESOS MÁXIMO
LIQUIDACIONES 8 2 90 50
AUDITORÍAS 1 1 250
DISPONIBILIDAD 600 220
FUNCIÓN OBJETIVO.
Max. Z=90x+250y
RESTRICCIONES
(1) 6x+30y≤ 600
(2) 4x+8y≤ 200
(3) x≤50
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(4) x,y0
SISTEMAS ECUACIONES
(1) (2) (3)
6x+30y=600 4x+8y=200 x=50
x y x y

11. 10
0
0 0 27,5
0 20 55 0
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) (2) (3)
6(0)+30(0)≤600 4(0)+8(0)≤ 200 0≤50
0≤600 0≤ 200
VERDAD VERDAD VERDAD
GRÁFICO
ARCO CONVEXO
Punto x y z
A 0 0 0
B 0 20 1050
C 25 15 6000
D 50 0 4500

12. C.
(1) -24x-120y= -2400
(2) 24x+48y= 1200
y=15
x=25
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 1050
VALORES ÓPTIMOS
x= 3 y=2
RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3
RESTRICCIONES INACTIVAS: 1

13. 2.- Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzana. Dos
mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades pero solo venden la
fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de
naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas.
El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranja, 1 de plátano y 7 de
manzanas si se sabe que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancias y el
mayorista B a 30 km. Determine cuantos contenedores habrá que comparar a cada
mayorista con el objeto de ahorrar tiempo dinero y minimizar la distancia.
TABLA DE DATOS
DESCRIPCIÓ
N A B
DISPONIBILIDA
D
NARANJA 8 2 16
PLÁTANO
S 1 1 5
MANZAN
AS 2 7 20
DISTANCI
A 150 30
FUNCIÓN OBJETIVO.
Min. Z=150x+30y
RESTRICCIONES
(1) 8x+2y16
(2) x+y5
(3) 2x+7y20
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(4) x,y0
SISTEMAS ECUACIONES
(1) 8x+2y=16 (2) x+y=5 (3) 2x+7y=20
x y
0 8
2 0
x y
0 5
5 0
x y
0
2,
9

14. 1
0 0
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) 8(0)+2(0)16 (2) 0+05 (3) 2(0)+7(0)20
016 05 020
FALSO FALSO FALSO
GRÁFICO
Punto x y z
A 10 0 1500
B 3 2 1050
C 1 4 1350
D 0 8 2400
ARCO CONVEXO

15. B. C.
(2) -2A-2B=
-10
(3) 2A+7B= 20
B=2
A=3
(1
)
-8A-8B= -40
(2
)
8A+2B= 10
B=4
A=1
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 1050
VALORES ÓPTIMOS
x= 3 y=2
RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3
RESTRICCIONES INACTIVAS: 1

16. 3.- MAXIMIZAR
FUNCIÓN OBJETIVO
SUJETO A
(1)
(2)
CONDICIONES TÉCNICAS
O
(
1
)
(
2
)
3
x
+
5
y
=
1
5
5
x
+
2
y
=
1
0
x y
0 5
2 0
x y
0 3
5 0
GRÁFICO

17. ARCO CONVEXO
Punto X Y Z
A 0 0 0
B 0 3 3
C 5
D 2 0 5
C.

18. RESPUESTA
Este problema tiene múltiples soluciones.
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z1= 5 Z2=5
VALORES ÓPTIMOS
x1= 20/19 y1=45/19; x2=2 y2=0
RESTRICCIONES ACTIVAS: 1,2
NO HAY RESTRICCIONES INACTIVAS

19. 4.- MAXIMIZAR
FUNCIÓN OBJETIVO
Z= 2x+3y
SUJETO A
(1) x≤2
(2) y≥4
(3) 2x+y≥5
CONDICIÓN TÉCNICA
(4) x,y 0
SISTEMA DE ECUACIONES
(1
)
(2
)
(
3)
x
=
2
y
=
4
2
x
+
y
=
5
x y
0 5
5/2 0
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) (2) (3)
x≤2 y≥4 2x+y≥5
0≤2 04 05
VERDAD FALSO FALSO
GRÁFICO

20. ARCO CONVEXO
PUNTOS x y z
A 2 4 16
B 1/2 4 13
C 0 5 15
B.
(3) -2x-y= -5
(2) y= 4
x=1/2
y=4
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 16
VALORES ÓPTIMOS
x= 2 y=4
RESTRICCIONES ACTIVAS: 1,2
RESTRICCIONES INACTIVAS: 3

21. 5.- MAXIMIZAR
FUNCIÓN OBJETIVO
Z= 2x+3y
RESTRICCIONES
(1) x≤2
(2) y≤3
(3) 2x+y≥18
RESTICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(4) x+y≥0
x y
0 18
9 0
SISTEMAS DE ECUACIONES
(1) (2) (3)
x=2 y=3 2x+y=18
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) (2) (3)
x≤2 y≤3 2x+y≥18
0≤2 0≤3 018
VERDAD VERDAD FALSO
GRÁFICO

22. RESPUESTA: El problema no tiene solución
ECUACIÓN DE LA RECTA
y-y1=m(x-x1)
y-40=-2/3 (x)
3y-120=-2x
2x+3y=120
6.- Una compañía produce automóviles y camiones, cada vehículo tiene que pasar por
un taller de pintura y un taller de montaje de carrocería si el taller de pintura pinta
solamente camiones, se podría pintar 40 camiones al día y si pinta solo automóviles se
podrían pintar 60 automóviles si el taller de carrocerías ensamblara solo camiones
podría ensamblar 50 camiones al día y si ensamblaría solo automóviles podrían
ensamblar 50 automóviles al día cada camión aporta $300 a la utilidad y cada
automóvil $200. Maximice la utilidad.
Pintura PENDIENTE
P1(0,40)
P2(60,0)
Ensamblaje PENDIENTE ECUACIÓN DE LA RECTA
P(0,50) y-y1=m(x-x1)
P(50,0) y-50=-1 (x)
x+y=50
FUNCIÓN OBEJTIVO
Z= 200x+ 300y
RESTRICCIONES
(1) 2x+3y ≤ 120

23. (2) x+y ≤ 50
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(3) x,y0

24. SISTEMAS DE ECUACIONES
(1) (2)
2x+3y=120 x+y=50
x y x y
60 0 0 50
0 40 50 0
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0)
(1) (2)
2(0)+3(0)≤120 (0)+(0)≤ 50
0≤120 0≤ 50
VERDAD VERDAD
GRÁFICO

26. Punto x y z
A 0 0 0
B 0 40 12000
C 30 20 12000
D 50 0 10000
ARCO CONVEXO
C.
(1) -2x-3y= -120
(2) 2x+2y= 100
y=20
x=30
RESPUESTA
El problema tiene múltiples soluciones.
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z1= 12000 Z2=12000
VALORES ÓPTIMOS
x1= 0 y1=40; x2=30 y2=20
RESTRICCIONES ACTIVAS: 1,2
NO HAY RESTRICCIONES INACTIVAS

27. 7.- En una pastelería se hace 2 tipos de torta. Vienesa y Real. Cada torta Vienesa
necesita ¼ de relleno por cada Kg de bizcocho y produce un beneficio de $250. Una
torta Real necesita ½ kg de relleno por cada kg de Bizcocho y produce $400 de
beneficio en la pastelería e pueden hacer diariamente hasta 150kg de bizcocho y 50kg
de relleno. Por problemas de la maquina o se pueden hacer más de 125 tortas de cada
tipo. Determine cuantas tortas de cada tipo deben venderse al día para maximizar el
beneficio.
FUNCIÓN OBJETIVO
MAX. Z= 250x + 400y
RESTRICCIONES
(1) x +y ≤ 150
(2) 0,250x + 0,500y ≤ 50
(3) X ≤ 125
(4) y ≤ 125
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(5) x, y ≥ 0
SISTEMAS ECUACIONES
(1) (2) (3) (4)
x+y=150 0,250x+0,500y=50 x=125 y=125
X y x Y
15
0
0 0 100
0 150 200 0
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) (2) (3)
(0)+(0)≤150 0,250(0)+0,500(0)≤ 50 0≤125 VERDAD
0≤150 0≤ 50 (4)
VERDAD VERDAD 0≤125 VERDAD

28. GRÁFICO
Punto x Y Z
A 0 0 0
B 0 100 40000
C 50 100 32500
D 125 25 131200
E 125 0 31250
ARCO CONVEXO
C.
(1) -0,250 x -0,250y ≤ -37,5
(2) 0,250x + 0,500y ≤ 50
y=50
x=100

29. SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 131200
VALORES ÓPTIMOS
x= 125 y=25
RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3 RESTRICCIONES INACTIVAS: 1
8.- Una joyería elaboro 2 modelos de joyas el primer modelo es 5, 5,20 y el segundo
modelo es 5, 10,5, los números que se indican representan en porcentaje oro, plata,
cobre la joyería dispone de 10kg de oro, 180 de plata y 200 kg de cobre por cada tipo de
modelo 5, 5, 10 se obtiene una utilidad de $18,50 y por el otro modelo una utilidad de
$20,00 maximice la utilidad establezca restricciones activas e inactivas y verifica si hay
holgura o excedente.
FUNCIÓN OBJETIVO
Max Z= 8,50x + 20Y
SUJETO A
(1) 0,05X + 0,05y ≤ 110
(2) 0,05x + 0,10y ≤ 180
(3) 0,10x + 0,05y ≤ 200
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(4) x, y ≥ 0
SISTEMAS DE ECUACIONES
(1) (2) (3)
0,05X + 0,05y = 110 0,05x + 0,10y =180 0,10x + 0,05y = 200
x y x y x y
220
0
0 0 180
0
0 4000
0 220
0
360
0
0 2000 0

30. COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) (2) (3)
0,05(0)+0,05(0)≤110 0,05(0)+0,10(0)≤ 180 0,10(0)+0,05(0)≤200
0≤110 0≤ 180 0≤200
VERDAD VERDAD VERDAD

31. GRÁFICO
C D
(1) 0,05x + 0,05y = 110 (-
1)
(1) 0,05x + 0,05y = 110 (-
1)
(2) 0,05x + 0,10y= 180 (2) 0,10x + 0,05y= 200
- 0,05x - 0,05y = -110 0,05x - 0,05y = -110
0,05x+ 0,10y = 180 0,10x+ 0,05y = 200
0,05 y
= 70 0,05 X = 90
Y= 1400 y= 1800
0,05x + 0,10 y = 180 0,10x + 0,05 y = 200
x= 800 x= 400
Z= 18,50(800) + 20(1400) Z= 18,50(1800) + 20(400)
Z= 42800 Z= 41300
Arco
Convexo Solución Óptima
X Y Z Z= 42800
C 800 1400 42800 Valores Óptimos
D 1800 400 41300 x= 800
Y= 1400
Cálculo de la Holgura para el oro
0,05x + 0,05y ≤ 110
0,05(800) + 0,05(1400) + h1 ≤ 110
h1 ≤ 0
Disponibili
d. Ocupados Holgura
Oro 110 110 0
Plata 180 180 0
Cálculo de la Holgura para la plata Cobre 200 50 50
0,05x + 0,10y ≤ 180

32. 0,05(800) + 0,10(1400) + h2≤ 180 Solución Óptima
h2≤ 0 Z= 42800
Valores Óptimos
x= 800
Cálculo de la Holgura para el cobre Y= 1400
0,10x + 0,05y ≤ 200 h1= 0
0,10(800) + 0,05(1400) + h3 ≤ 200 h2= 0
h3≤ 50 h3= 50
Restricción Activa= 1,2
Restricción Inactiva= 3