Este documento trata sobre diferentes tipos de modelos matemáticos. Explica que un modelo matemático describe teóricamente un objeto fuera de las matemáticas y que su precisión depende de cómo se construya la representación numérica. Luego describe los modelos cuantitativos y cualitativos, y proporciona varios ejemplos de modelos matemáticos como comprar en un supermercado, almorzar en un restaurante y cocinar arroz.

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
FACULTAD DE CIENCIAS POLITICAS Y ADMINISTRATIVAS
CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORIA
MATERIA DE INVESTIGACION OPERATIVA
Modelos matemáticos
Un modelo matemático describe teóricamente un objeto que existe fuera del campo de las
Matemáticas. Las previsiones del tiempo y los pronósticos económicos, por ejemplo,
están basados en modelos matemáticos. Su éxito o fracaso depende de la precisión con la
que se construya esta representación numérica, la fidelidad con la que se concreticen
hechos y situaciones naturales en forma de variables relacionadas entre sí.
Modelos cuantitativos
La investigación Cuantitativa tiene una concepción lineal, es decir que haya claridad entre
los elementos que conforman el problema, que tenga definición, limitarlos y saber con
exactitud donde se inicia el problema, también le es importante saber qué tipo de
incidencia existe entre sus elementos".
Modelos cualitativos
La metodología cualitativa, como indica su propia denominación, tiene
como objetivo la descripción de las cualidades de un fenómeno. Busca un concepto que
pueda abarcar una parte de la realidad. No se trata de probar o de medir en qué grado una
cierta cualidad se encuentra en un cierto acontecimiento dado, sino de descubrir tantas
cualidades como sea posible.
En investigaciones cualitativas se debe hablar de entendimiento en profundidad en lugar
de exactitud: se trata de obtener un entendimiento lo más profundo posible.
Ejemplos de modelos matemáticos
Modelo de compras en un supermercado
1. Ingresar al supermercado
2. Coger el carrito para las compras
3. Dirigirse a cada estantería para seleccionar los productos
4. Me dirijo a la caja y me coloco en la fila
5. Cancelo en valor de la cuenta
6. Recojo los productos en las respectivas fundas
7. Me dirijo a la puerta de salida
Modelo para almorzar en un restauran
1. Ingresar al restauran
2. Buscar una meza disponible y tomar asiento
3. Lamar al camarero y que me traiga la carta
4. Selecciono el menú que voy a servirme
5. Esperar a que traigan el menú

2. 6. Me sirvo el almuerzo
7. Me levanto de la silla y me dirijo a la caja
8. Cancelo el valor del almuerzo
9. Salgo del restaurant
Pasos para llamar por teléfono
1. Cojo y habilito el celular
2. Selecciono el menú de contactos
3. Escojo a la persona a la cual voy a llamar
4. Presiono la tecla de llamada
5. Espero que me conteste
6. Saludo y pregunto por la persona a quien llame
7. Trasmito el mensaje
8. Me despido
9. Cuelgo
Modelo para cocinar arroz seco
1. Enciendo la hornilla y coloco sobre la hornilla la olla con agua
2. Espero a que se caliente
3. Selecciono la cantidad de arroz en un recipiente
4. Vierto en la olla hirviendo el arroz
5. Coloco sal y mesclo bien
6. Espero a que el arroz se cocine
7. Pongo aceite y tapo la olla hasta que se seque bien
8. Verifico que el arroz este en su punto
9. Apago la hornilla
Programación lineal
Se divide en 3 partes
Función objetivo
Restricciones
Condiciones técnicas o matemáticas
Optimizar z
𝑧 ∈ 𝑛
𝐶𝑖 𝑋𝑖
𝑖 = 1
Restricción
∈= 𝑎𝑥𝑖 ≤ 𝑏𝑖
𝑖 = 1,2 ,… …… … ……n
No negatividad

3. 𝑥𝑖 ≥ 0
𝑥𝑖 = 1,2, … …… . 𝑛
Resolución de sistema de inecuaciones
SISTEMA DE INECUACIONES
Resolverlas siguientes Inecuaciones
2x+3y≥7
2x+3y=7
x y
0 2,3
3,5 0
2(0)+3(0)≥7
0≥7 FALSO
X
Y
3,5
2,3

4. 1.- 4x-8y<12
2.- 4x-8y=12
x y
0 -1,5
3 0
4(0)+8(0)<12
0<12 VERDADERO
3.-
2𝑥 − 𝑦 > 0
2𝑥 = 𝑦
x y
0 0
1 2
X
Y
3
-1,5
𝑃(2,0)
2(2) − 0 > 0
4 > 0 → Verdadero

5. 4.-
{4𝑥2 + 4𝑦2
≥ 36
𝑥 + 5𝑦 < 7
{4𝑥2
+ 4𝑦2
= 36
𝑥 + 𝑦 = 7
𝑥2 + 𝑦2 = 9
𝑃(0,0)
4(0)2
+ 4(0)2
≥ 36
0 ≥ 36 → Falso
5.-
𝟒𝒙 𝟐 + 𝟑𝒚 𝟐 < 12
𝟐𝒙 + 𝟑 > y
𝑥 + 5𝑦 = 7
x Y
0 7
5⁄
7 0
𝑃(0,0)
0 < 7

6. 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟑𝒚 𝟐 = 12
𝑥2
3
𝑦2
4
= 1
X: √3 = 1,7
Y: √4 = 2
P(0,0)
4(02) + 3(02) <12
0 < 12 Verdadero
2x-y=-3
x y
0 3
-1,5 0
P(0,0)
2𝑥 − 𝑦 > -3
2(0)-(0) >-3
0>--3 Verdadero
6. 3x2+y>6
2x2-y2<4

7. COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0)
(1) (2)
3(0)2+(0)>6 2(0)2-(0)2<4
0>6 0<4
FALSO VERDAD
GRÁFICO
PROGRAMACIÓN LINEAL
(1) (2)
3x2+y=6
y=6-3x2
2x2-y2=4
𝑥 = ±√
4 + 𝑦2
2
x y x y
-3 -21 ±2.6 -3
-2 -6 ±2 -2
-1
0
1
2
3
3
6
3
-6
-21
±1.6
±1.4
±1.6
±2
±2.6
-1
0
1
2
3

8. La programación lineal estudia las situaciones en las que se
exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a
determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.
EJEMPLOS
1.- Una Compañía de Auditores se especialista en preparar liquidaciones y auditorías de
pequeñas empresas. Tiene interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden
realizarse mensualmente para maximizar sus ingresos? Se dispone de 600 horas de trabajo
directo y 220 horas para revisión, además aporta un ingreso de $250, una liquidación de
impuestos requiere de 6 horas de trabajo directo y 4 de revisión producen un ingreso de
$90, una auditoría requiere de 30 horas de trabajo directo y 8 de revisión, aporta con un
ingreso de $250. El máximo de liquidaciones posibles es de 50.
TABLA DE DATOS
DESCRIPCIÓN TRABAJO
DIRECTO
REVISIÓN INGRESOS MÁXIMO
LIQUIDACIONES 8 2 90 50
AUDITORÍAS 1 1 250
DISPONIBILIDAD 600 220
FUNCIÓN OBJETIVO.
Max. Z=90x+250y
RESTRICCIONES
(1) 6x+30y≤ 600
(2) 4x+8y≤ 200
(3) x≤50
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(4) x,y0
SISTEMAS ECUACIONES
(1) (2) (3)
6x+30y=600 4x+8y=200 x=50
x y x y

9. COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) (2) (3)
6(0)+30(0)≤600 4(0)+8(0)≤ 200 0≤50
0≤600 0≤ 200
VERDAD VERDAD VERDAD
GRÁFICO
ARCO CONVEXO
100 0 0 27,5
0 20 55 0
Punto x y z
A 0 0 0
B 0 20 1050
C 25 15 6000
D 50 0 4500

10. C.
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 1050
VALORES ÓPTIMOS
x= 3 y=2
RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3
RESTRICCIONES INACTIVAS: 1
(1) -24x-120y= -2400
(2) 24x+48y= 1200
y=15
x=25

11. 2.- Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzana. Dos
mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades pero solo venden la fruta
en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas,
1 de plátanos y 2 de manzanas.
El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranja, 1 de plátano y 7 de manzanas
si se sabe que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancias y el mayorista B a 30
km. Determine cuantos contenedores habrá que comparar a cada mayorista con el objeto
de ahorrar tiempo dinero y minimizar la distancia.
TABLA DE DATOS
DESCRIPCIÓN A B DISPONIBILIDAD
NARANJA 8 2 16
PLÁTANOS 1 1 5
MANZANAS 2 7 20
DISTANCIA 150 30
FUNCIÓN OBJETIVO.
Min. Z=150x+30y
RESTRICCIONES
(1) 8x+2y16
(2) x+y5
(3) 2x+7y20
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(4) x,y0
SISTEMAS ECUACIONES
(1) 8x+2y=16 (2) x+y=5 (3) 2x+7y=20
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) 8(0)+2(0)16 (2) 0+05 (3) 2(0)+7(0)20
016 05 020
FALSO FALSO FALSO
x y
0 8
2 0
x y
0 5
5 0
x y
0 2,9
10 0

12. GRÁFICO
ARCO CONVEXO
B. C.
(2) -2A-2B= -10
(3) 2A+7B= 20
B=2
A=3
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 1050
VALORES ÓPTIMOS
x= 3 y=2
RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3
RESTRICCIONES INACTIVAS: 1
Punto x y z
A 10 0 1500
B 3 2 1050
C 1 4 1350
D 0 8 2400
(1) -8A-8B= -40
(2) 8A+2B= 10
B=4
A=1

13. 3.- MAXIMIZAR
FUNCIÓN OBJETIVO
𝑍 =
5
2
𝑥 + 𝑦
SUJETO A
(1) 3𝑥 + 5𝑦 ≤ 15
(2) 5𝑥 + 2𝑦 ≤ 10
CONDICIONES TÉCNICAS
𝑥 ≥ 0 O 𝑗 = 1; 2
GRÁFICO
ARCO CONVEXO
(1) (2)
3x+5y=15 5x+2y=10
x y
0 3
5 0
0 ≤ 15
x y
0 5
2 0
0 ≤ 10

14. C.
RESPUESTA
Este problema tiene múltiples soluciones.
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z1= 5 Z2=5
VALORES ÓPTIMOS
x1= 20/19 y1=45/19; x2=2 y2=0
RESTRICCIONES ACTIVAS: 1,2
NO HAY RESTRICCIONES INACTIVAS
Punto X Y Z
A 0 0 0
B 0 3 3
C
20
19
45
19
5
D 2 0 5
−15𝑥 − 25𝑦 = −75
15𝑥 + 6𝑦 = 30
𝑦 =
𝟒𝟓
𝟏𝟗
3𝑥 + 5 (
45
19
) = 15
𝑥 =
𝟐𝟎
𝟏𝟗

15. 4.- MAXIMIZAR
FUNCIÓN OBJETIVO
Z= 2x+3y
SUJETO A
(1) x≤2
(2) y≥4
(3) 2x+y≥5
CONDICIÓN TÉCNICA
(4) x,y 0
SISTEMA DE ECUACIONES
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) (2) (3)
x≤2 y≥4 2x+y≥5
0≤2 04 05
VERDAD FALSO FALSO
(1) (2) (3)
x=2 y=4 2x+y=5 x y
0 5
5/2 0

16. GRÁFICO
ARCO
CONVEXO
PUNTOS x y z
A 2 4 16
B 1/2 4 13
C 0 5 15
B.
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 16
VALORES ÓPTIMOS
x= 2 y=4
RESTRICCIONES ACTIVAS: 1,2
RESTRICCIONES INACTIVAS: 3
(3) -2x-y= -5
(2) y= 4
x=1/2
y=4

17. 5.- MAXIMIZAR
FUNCIÓN OBJETIVO
Z= 2x+3y
RESTRICCIONES
(1) x≤2
(2) y≤3
(3) 2x+y≥18
RESTICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(4) x+y≥0
SISTEMAS DE ECUACIONES
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) (2) (3)
x≤2 y≤3 2x+y≥18
0≤2 0≤3 018
VERDAD VERDAD FALSO
GRÁFICO
RESPUESTA: El problema no tiene solución
x y
0 18
9 0
(1) (2) (3)
x=2 y=3 2x+y=18

18. 6.- Una compañía produce automóviles y camiones, cada vehículo tiene que pasar por un
taller de pintura y un taller de montaje de carrocería si el taller de pintura pinta solamente
camiones, se podría pintar 40 camiones al día y si pinta solo automóviles se podrían pintar
60 automóviles si el taller de carrocerías ensamblara solo camiones podría ensamblar 50
camiones al día y si ensamblaría solo automóviles podrían ensamblar 50
automóviles al día cada camión aporta $300 a la utilidad y cada automóvil $200.
Maximice la utilidad.
Pintura PENDIENTE
P1(0,40) 𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
P2(60,0) 𝑚 =
40−0
0−60
𝒎 = −
𝟐
𝟑
Ensamblaje PENDIENTE ECUACIÓN DE LA RECTA
P(0,50) 𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
y-y1=m(x-x1)
P(50,0) 𝑚 =
50−0
0−50
y-50=-1 (x)
𝒎 = −𝟏 x+y=50
FUNCIÓN OBEJTIVO
Z= 200x+ 300y
RESTRICCIONES
(1) 2x+3y ≤ 120
(2) x+y ≤ 50
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(3) x,y0
ECUACIÓN DE LA RECTA
y-y1=m(x-x1)
y-40=-2/3 (x)
3y-120=-2x
2x+3y=120

19. SISTEMAS DE ECUACIONES
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0)
(1) (2)
2(0)+3(0)≤120 (0)+(0)≤ 50
0≤120 0≤ 50
VERDAD VERDAD
GRÁFICO
(1) (2)
2x+3y=120 x+y=50
x y x y
60 0 0 50
0 40 50 0

20. ARCO CONVEXO
C.
RESPUESTA
El problema tiene múltiples soluciones.
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z1= 12000 Z2=12000
VALORES ÓPTIMOS
x1= 0 y1=40; x2=30 y2=20
RESTRICCIONES ACTIVAS: 1,2
NO HAY RESTRICCIONES INACTIVAS
Punto x y z
A 0 0 0
B 0 40 12000
C 30 20 12000
D 50 0 10000
(1) -2x-3y= -120
(2) 2x+2y= 100
y=20
x=30

21. 7.- En una pastelería se hace 2 tipos de torta. Vienesa y Real. Cada torta Vienesa necesita
¼ de relleno por cada Kg de bizcocho y produce un beneficio de $250. Una torta Real
necesita ½ kg de relleno por cada kg de Bizcocho y produce $400 de beneficio en la
pastelería e pueden hacer diariamente hasta 150kg de bizcocho y 50kg de relleno. Por
problemas de la maquina o se pueden hacer más de 125 tortas de cada tipo. Determine
cuantas tortas de cada tipo deben venderse al día para maximizar el beneficio.
FUNCIÓN OBJETIVO
MAX. Z= 250x + 400y
RESTRICCIONES
(1) x +y ≤ 150
(2) 0,250x + 0,500y ≤ 50
(3) X ≤ 125
(4) y ≤ 125
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(5) x, y ≥ 0
SISTEMAS ECUACIONES
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) (2) (3)
(0)+(0)≤150 0,250(0)+0,500(0)≤ 50 0≤125 VERDAD
0≤150 0≤ 50 (4)
VERDAD VERDAD 0≤125 VERDAD
(1) (2) (3) (4)
x+y=150 0,250x+0,500y=50 x=125 y=125
X y x Y
150 0 0 100
0 150 200 0

22. GRÁFICO
ARCO CONVEXO
C.
SOLUCIÓN ÓPTIMA
Z= 131200
VALORES ÓPTIMOS
x= 125 y=25
RESTRICCIONES ACTIVAS: 2,3 RESTRICCIONES INACTIVAS: 1
Punto x Y Z
A 0 0 0
B 0 100 40000
C 50 100 32500
D 125 25 131200
E 125 0 31250
(1) -0,250 x -0,250y ≤ -37,5
(2) 0,250x + 0,500y ≤ 50
y=50
x=100

23. 8.- Una joyería elaboro 2 modelos de joyas el primer modelo es 5, 5,20 y el segundo
modelo es 5, 10,5, los números que se indican representan en porcentaje oro, plata, cobre
la joyería dispone de 10kg de oro, 180 de plata y 200 kg de cobre por cada tipo de modelo
5, 5, 10 se obtiene una utilidad de $18,50 y por el otro modelo una utilidad de $20,00
maximice la utilidad establezca restricciones activas e inactivas y verifica si hay holgura
o excedente.
FUNCIÓN OBJETIVO
Max Z= 8,50x + 20Y
SUJETO A
(1) 0,05X + 0,05y ≤ 110
(2) 0,05x + 0,10y ≤ 180
(3) 0,10x + 0,05y ≤ 200
RESTRICCIONES DE NO NEGATIVIDAD
(4) x, y ≥ 0
SISTEMAS DE ECUACIONES
COMPROBACIÓN
P(0,0) P(0,0) P(0,0)
(1) (2) (3)
0,05(0)+0,05(0)≤110 0,05(0)+0,10(0)≤ 180 0,10(0)+0,05(0)≤200
0≤110 0≤ 180 0≤200
VERDAD VERDAD VERDAD
(1) (2) (3)
0,05X + 0,05y = 110 0,05x + 0,10y =180 0,10x + 0,05y = 200
x y x y x y
2200 0 0 1800 0 4000
0 2200 3600 0 2000 0

24. GRÁFICO
C D
(1) 0,05x + 0,05y = 110 (-1) (1) 0,05x + 0,05y = 110 (-1)
(2) 0,05x + 0,10y= 180 (2) 0,10x + 0,05y= 200
- 0,05x - 0,05y = -110 0,05x - 0,05y = -110
0,05x+ 0,10y = 180 0,10x+ 0,05y = 200
0,05 y= 70 0,05 X = 90
Y= 1400 y= 1800
0,05x + 0,10 y = 180 0,10x + 0,05 y = 200
x= 800 x= 400
Z= 18,50(800) + 20(1400) Z= 18,50(1800) + 20(400)
Z= 42800 Z= 41300
Arco Convexo Solución Óptima
X Y Z Z= 42800
C 800 1400 42800 Valores Óptimos
D 1800 400 41300 x= 800
Y= 1400
Cálculode la Holgura para el oro
0,05x + 0,05y ≤ 110
0,05(800) + 0,05(1400) + h1 ≤ 110
h1 ≤ 0 Disponibilid. Ocupados Holgura
Oro 110 110 0

25. Plata 180 180 0
Cálculo de la Holgura para la plata Cobre 200 50 50
0,05x + 0,10y ≤ 180
0,05(800) + 0,10(1400) + h2 ≤ 180 Solución Óptima
h2 ≤ 0 Z= 42800
Valores Óptimos
x= 800
Cálculo de la Holgura para el cobre Y= 1400
0,10x + 0,05y ≤ 200 h1= 0
0,10(800) + 0,05(1400) + h3 ≤ 200 h2= 0
h3 ≤ 50 h3= 50
Restricción Activa= 1,2
Restricción Inactiva= 3