Este documento presenta la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con valor inicial. Se descompone la solución general en la solución complementaria y la solución particular, resolviéndolas por métodos de variables separables y coeficientes indeterminados respectivamente. Finalmente, se comprueba la solución obtenida.

1. Objetivo principal
𝑥( 𝑡)
Planteamiento del problema
𝑥′( 𝑡) = 𝐴𝑥( 𝑡) + 𝑓…(1)
Datos
𝐴 = [
3 −1
9 −3
]
𝑓 = [
7
5
]
𝑥(0) = [
3
5
]
Tipo de problema
Problema deun sistema de ecuaciones
diferencialeslineales no homogéneascon
valorinicial.
Marco teórico
Objetivos secundarios
a. Hallarla solucióncomplementaria.
b. Hallarla soluciónparticular.
Metodología
La solucióncomplementaria se resolverápor
el métodode variablesseparables.
La soluciónparticularse resolveráporel
métodode coeficientesindeterminados.
Resolución del problema
Seala solucióngeneral del sistemade
ecuacionesde lasiguienteforma:
𝑥( 𝑡) = 𝑥 𝑐( 𝑡)+ 𝑥 𝑝( 𝑡)…(2)
Por consiguiente suderivada:
𝑥′( 𝑡) = 𝑥′ 𝑐( 𝑡) + 𝑥′ 𝑝( 𝑡)…(3)
(2) y (3) en(1)
𝑥′ 𝑐( 𝑡) + 𝑥′ 𝑝( 𝑡) = 𝐴𝑥 𝑐( 𝑡) + 𝐴𝑥 𝑝( 𝑡) + 𝑓
De aquí se deduce:
𝑥′ 𝑐( 𝑡) = 𝐴𝑥 𝑐( 𝑡)…(4)
𝑥′ 𝑝( 𝑡) = 𝐴𝑥 𝑝( 𝑡) + 𝑓…(5)
Resolviendo(4) porel métodode variables
separables:
𝑥′ 𝑐( 𝑡) =
𝑑𝑥 𝑐( 𝑡)
𝑑𝑡
= 𝐴𝑥 𝑐( 𝑡)
𝑑𝑥 𝑐( 𝑡)
𝑥 𝑐( 𝑡)
= 𝐴𝑑𝑡
ln| 𝑥 𝑐( 𝑡)| = 𝐴𝑡 + 𝑘
𝑥 𝑐( 𝑡) = 𝑒 𝐴𝑡+𝑘 = 𝑒 𝐴𝑡 𝑒 𝑘
Cuando 𝑡 = 0
𝑥 𝑐(0) = 𝑒 𝑘
Entonces:
𝑥 𝑐( 𝑡) = 𝑒 𝐴𝑡 𝑥 𝑐(0)…(7)
Resolviendo 𝑒 𝐴𝑡
A nilpotentede orden2:
𝐴2 = [
0 0
0 0
]
Entonces:
𝑒 𝐴𝑡 = 𝐼 + [
3 −1
9 −3
] 𝑡
𝑒 𝐴𝑡 = [
1 + 3𝑡 −𝑡
9𝑡 1 − 3𝑡
]
Por consiguiente:
𝑥 𝑐( 𝑡) = [
1 + 3𝑡 −𝑡
9𝑡 1 − 3𝑡
] 𝑥 𝑐(0)…(8)
Resolviendo(5) porel métodode
coeficientesindeterminados:
Seala soluciónde laforma:
𝑥 𝑝( 𝑡) = 𝑎𝑡…(9)
𝑥′ 𝑝( 𝑡) = 𝑎…(10)

2. (9) y (10) en(5)
𝑎 = 𝐴𝑎𝑡+ 𝑓
De laforma explícita:
[
𝑎1
𝑎2
] = [
3 −1
9 −3
] [
𝑎1
𝑎2
] 𝑡 + [
7
5
]
Resolviendolasecuaciones:
𝑎1 = (3𝑎1 − 𝑎2)𝑡 + 7
𝑎2 = 3(3𝑎1 − 𝑎2)𝑡 + 5
3𝑎1 − 𝑎2 = 16
𝑎1 = 16𝑡 + 7…(11)
𝑎2 = 48𝑡 + 5…(12)
(11) y (12) en(9)
𝑥 𝑝( 𝑡) = [16𝑡2 + 7𝑡
48𝑡2 + 5𝑡
]…(13)
(8) y (13) en(2)
𝑥( 𝑡) = [
1 + 3𝑡 −𝑡
9𝑡 1 − 3𝑡
] 𝑥 𝑐(0)
+ [16𝑡2 + 7𝑡
48𝑡2 + 5𝑡
]
Sea 𝑡 = 0
𝑥(0) = [
1 0
0 1
] 𝑥 𝑐(0) + [
0
0
]
𝑥(0) = 𝑥 𝑐(0)
Operando:
𝑥( 𝑡) = [
1 + 3𝑡 −𝑡
9𝑡 1 − 3𝑡
] [
3
5
] + [16𝑡2 + 7𝑡
48𝑡2 + 5𝑡
]
Finalmente:
∴ 𝑥( 𝑡) = [3 + 11𝑡 + 16𝑡2
5 + 17𝑡 + 48𝑡2
]
Comprobación
t A x f x' (práctico) x' (teórico)
0
3 -1 3 7 11 11
9 -3 5 5 17 17
Ax
4
12
t A x f x' (práctico) x' (teórico)
1
3 -1 30 7 27 27
9 -3 70 5 65 65
Ax
20
60
t A x f x' (práctico) x' (teórico)
2
3 -1 89 7 43 43
9 -3 231 5 113 113
Ax
36
108
t A x f x' (práctico) x' (teórico)
3
3 -1 180 7 59 59
9 -3 488 5 161 161
Ax
52
156