El documento describe diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones, incluyendo sustitución, reducción e igualación. El método de reducción involucra transformar el sistema mediante operaciones legales para eliminar variables hasta obtener una ecuación con una sola incógnita. El método de sustitución implica despejar una variable y sustituir su valor en las otras ecuaciones. El método de igualación significa despejar la misma variable en cada ecuación y luego igualar los lados derechos.

1. Sistemas de ecuaciones Métodos de resolución

8. Ejemplo: método de reducción Paso I En este sistema hay que reordenar las incógnitas y el término independiente debe ser la única expresión del miembro izquierdo de cada ecuación Una vez realizada las operaciones adecuadas para ordenar el sistema podemos empezar a resolverlo

9. Ejemplo: método de reducción Paso II Con el fin de eliminar el término en x de la segunda ecuación, vamos a multiplicar por -2 ésta y la sumaremos con la primera . El resultado lo sustituimos por la segunda ecuación.

10. Ejemplo: método de reducción Paso III Con el fin de eliminar el término en x de la tercera ecuación, vamos a multiplicar por -2 ésta y la sumaremos con la primera . El resultado lo sustituimos por la tercera ecuación.

11. Ejemplo: método de reducción Paso IV Este nuevo sistema lineal equivalente al inicial dispone de dos ecuaciones que no tienen término en x. Por tanto la transformación se realizará ahora con la se segunda y tercera ecuación para eliminar el término en y de la tercera ecuación Multiplicando la segunda ecuación por -11, sumando con la tercera y sustituyendo la tercera ecuación queda

12. Ejemplo: método de reducción Paso V Puede observarse que la última ecuación únicamente dispone de una incógnita, por tanto, despejamos de ésta la variable z y posteriormente calculamos los valores del resto de las variables sustituyendo los valores obtenidos de la ecuación inferior a la superior Despejamos z de la tercera ecuación Sustituimos el valor de z en la segunda ecuación y despejamos y Sustituimos los valores de z e y , despejando x

13. Ejemplo: método de reducción Paso VI Al haber obtenido una única solución, este sistema es compatible determinado . También es conveniente comprobar el resultado, sustituyendo en las tres ecuaciones los valores obtenidos para cada una de las variables.

14. Método de sustitución I Para ilustrar el método de sustitución lo haremos sobre este sistema no lineal. La idea es despejar en una de las ecuaciones una de las incógnitas y sustituir su valor en la otra ecuación. Hemos seleccionado la segunda ecuación para despejar la variable y (es aconsejable antes de aplicar el método elegir la ecuación y variable que sea mas fácil de despejar)

15. Método de sustitución II Sustituimos la variable y en la primera ecuación. Ésta queda como una ecuación con una incógnita Procedemos a resolver al primera ecuación que proporcionará el valor de la variable x

16. Método de sustitución III Tras desarrollar y simplificar la primera ecuación, resulta una ecuación bicuadrada. Procedemos a realizar el cambio de variable t = x 2 y a aplicar la fórmula de resolución de una ecuación de segundo grado

17. Método de sustitución IV Hemos obtenido dos soluciones para la variable t , por tanto, los valores de x serán las raíces cuadradas de estos valores, es decir, para x obtenemos 4 posibles soluciones

18. Método de sustitución V Para cada valor de la variable x deberemos calcular el correspondiente valor de la variable y . Recordando que: Obtenemos los valores correspondientes a la variable y , siendo los pares de valores las cuatro soluciones del sistema

19. Método de igualación I Para ilustrar el método de igualación lo haremos sobre este sistema no lineal. La idea es despejar la misma variable de todas las ecuaciones del sistema y posteriormente igualar los miembros de la parte derecha de las ecuaciones. Como puede observarse, se ha seleccionado la variable y , pues no se encuentra afectada por la operación potencia.

20. Método de igualación II El resultado de igualar los miembros izquierdos de ambas ecuaciones ha sido una ecuación de segundo grado en la variable x . Aplicamos la fórmula general para obtener las soluciones de una ecuación de segundo grado

21. Método de igualación III Las soluciones para la variable x son Recordando que ya se despejó la variable y al inicio del proceso, basta con elegir la expresión más fácil para obtener el valor de la variable y correspondiente a cada valor de x