Este documento presenta una propuesta didáctica para enseñar sobre las funciones exponenciales utilizando Geogebra y Google Docs. La propuesta consiste en dos actividades donde los estudiantes analizan cómo varían las gráficas de funciones exponenciales cuando cambian los parámetros en sus fórmulas. Luego los estudiantes trabajan en grupos para compartir conclusiones a través de un documento colaborativo. Finalmente, el docente resume lo aprendido estableciendo las relaciones entre los cambios en la fórmula y los desplaz

1. 2014
MATEMATICA Y TIC 1
“ANALISIS DE LA
FUNCIÓN EXPONENCIAL
CON GEGEBRA”
INTEGRANTES:
 Francone, María Sol
 Miño, María Florencia
 Candarle, Andrea Karina
 Lamas, Ayelen
 Concepción Lizarraga, Matias
 Castro, Andrea Cecilia
AULA: MATEMATICA 1_037

2. CONCEPCION LIZARRAGA
1
Propuesta Didáctica
Tema/contenido:
 Dependencia y variabilidad.
 Desplazamientos de la función Exponencial a partir de sus fórmulas y del estudio
de los gráficos que la representan.
Ubicación en los NAP:
Ciclo Orientado de educación secundaria. Matemática. CUARTO/ QUINTO AÑO.
Documento aprobado por resolución CFE Nº 180/12
“El análisis del comportamiento de las funciones polinómicas de grado no mayor que
cuatro e incompletas, exponenciales y logarítmicas, lo que supone:
 interpretar la información que portan sus gráficos cartesianos y sus fórmulas.
 vincular las variaciones de los gráficos con las de sus fórmulas y la incidencia de
tales variaciones en las características de las funciones, apelando a recursos
tecnológicos para construir los gráficos”.
Nivel: 5° año de la Escuela Secundaria.
Tiempo previsto para la implementación: 120 minutos (2 horas).
Organización del Espacio.
En un primer momento los alumnos realizarán la actividad de manera individual cada uno
con su computadora (modelo 1 a 1).
Luego se organizarán en grupos de no más de cuatro integrantes, para poder compartir
con el resto de sus compañeros sus producciones y elaborar sus aportes para el
documento colaborativo.
Y por último, cada alumno accederá al grupo cerrado en Facebook correspondiente al área
de matemática, para compartir las conclusiones obtenidas con el resto de sus
compañeros. En este mismo grupo, el docente “subirá” actividades para revisar lo
estudiado que serán puestas en común durante la clase siguiente.
Programas/recursos tecnológicos que se utilizarán:
 Computadoras conectadas al servidor de internet de la institución.
 Software GeoGebra.
 Documentos de Google Drive: Google Docs
 Red Social “Facebook”
Tipos de actividades a desarrollar:
Las actividades previstas están seleccionadas para que los alumnos logren los objetivos
propuestos, desplegando para ello todas las instancias que requiere un trabajo
matemático, donde la tecnología es un recurso fundamental para la misma. Desde

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aquí hablamos de una matemática con sentido, a la cual hace mención Irma Sainz (2007).
La autora dice: “...una matemática en la que los conocimientos aparecen como recursos
para resolver problemas antes de ser estudiados por sí mismos; que se constituya en un
desafío para los alumnos, donde haya lugar para las conjeturas, para la discusión de ideas,
la confrontación entre los compañeros”.
1. Tipos de actividades para “interpretar”:
 Planteo de conjeturas utilizando un software dinámico para mostrar relaciones
(GeoGebra).
 Desarrollo de argumentos: el alumno desarrolla un argumento matemático
relacionado a los desplazamientos de la función exponencial según varía su
fórmula. En este caso, la tecnología ayuda a formar y exhibir esos argumentos.
 Interpretación de una representación: El alumno explica las relaciones de una
representación matemática (fórmula, tabla y gráfico).
2. Tipos de actividades para producir:
 Descripción matemática de un objeto o concepto: asistido por la tecnología, en el
proceso de descripción o documentación, el alumno produce una explicación
matemática sobre los desplazamientos de la función exponencial en un documento
colaborativo.
 Producción de una representación: con la utilización del programa GeoGebra el
alumno representa los gráficos de la función exponencial de acuerdo a la variación
de sus fórmulas.
Descripción breve de la propuesta:
En un primer momento los alumnos realizarán la actividad de manera individual, cada uno
con su computadora. Luego se dispondrán las mesas en grupos de no más de cuatro
integrantes, para poder compartir con el resto de sus compañeros sus producciones y
elaborar sus aportes para un documento colaborativo. Luego, cada alumno accederá al
grupo cerrado en Facebook correspondiente al área de matemática, con el objetivo de
compartir las inferencias obtenidas con el resto de sus compañeros.
Una vez que los alumnos han arribado a ciertas conclusiones, el docente recupera los
aportes de cada grupo, unificando criterios.
Finalmente, en el mismo grupo de facebook donde han intercambiado las conclusiones,
cada alumno deberá resolver actividades que permitan revisar los conceptos trabajados y
estudiados.
Esta propuesta está diseñada para una clase de dos horas de duración, aunque el tiempo
que cada alumno dedique fuera del aula a las actividades es ilimitado gracias a la
implementación del modelo 1 a 1.

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Objetivos específicos:
Que el alumno logre:
 Comprender los desplazamientos de la función exponencial a partir de la variación
de sus parámetros.
 Visualizar diferentes funciones en sus tres registros al mismo tiempo (tabla, gráfico
y ecuación).
 Extraer conclusiones a partir de la exploración y observación.
 Validar sus conjeturas mediante argumentos matemáticos.
 Generalizar a partir de lo trabajado en la secuencia, a todas las funciones
exponenciales.
 Impulsar al trabajo colaborativo, a la discusión, al diálogo entre pares, la
autonomía de los estudiantes y el rol del docente como facilitador/guía de los
procesos de enseñanza y aprendizaje.
Saberes previos:
 Dependencia y variabilidad.
 Representación de funciones en sus diferentes registros (algebraico, tabla y
gráfico).
 Confección de tablas conociendo la fórmula de la función exponencial.
 Representación de la función exponencial en un sistema de ejes cartesianos.
 Dominio e imagen de la función exponencial.
 Asíntotas de la función exponencial.
 Trabajo matemático (exploración, representación, conjeturación, validación y
generalización).
 Trabajo colaborativo: respeto de tiempos y opiniones, debate crítico y respetuoso.
 Manejo del software Geogebra.
 Manejo de redes sociales: Facebook.
Momentos de la propuesta:
 M1: Se le otorgará a cada alumno una copia con las siguientes actividades:
Situación 1
Dadas las funciones f(x)= y g(x)=
a) Completen la siguiente tabla de valores:
X -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)=
g(x)=

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b) Grafiquen las funciones utilizando el graficador GeoGebra en un mismo sistema de
ejes cartesianos, utilizando la barra de entrada para colocar sus ecuaciones.
c) Indiquen dominio e imagen de cada una de ellas.
d) Indiquen asíntota horizontal de cada función, a partir de sus gráficas.
e) Respondan a las siguientes preguntas: ¿Qué sucede gráficamente cuando restamos
o sumamos unidades en la ecuación de la función? Elaboren una conclusión acerca de las
diferencias y similitudes entre una ecuación y otra respecto de los aspectos analizados en
los ítems anteriores.
Situación 2
Dadas las funciones f(x)= y h(x)=
a) Completar la tabla de valores:
X -3 2 -1 0 1 2 3
f(x)=
h(x)=
b) Grafique las funciones utilizando el graficador GeoGebra en un mismo sistema de
ejes cartesianos, utilizando la barra de entrada para colocar sus ecuaciones.
c) Indique dominio e imagen de cada una de ellas.
d) Indique asíntota horizontal de cada función, a partir de sus gráficas.
e) Respondan a las siguientes preguntas: ¿Qué sucede gráficamente cuando restamos
o sumamos unidades en el exponente? Elaboren una conclusión acerca de las diferencias y
similitudes entre una ecuación y otra respecto de los aspectos analizados en los ítems
anteriores.
M2:
En grupos de no más de cuatro integrantes intercambien sus conclusiones, amplíen las
mismas con sus compañeros utilizando el documento colaborativo creado en Google
Docs. Para ello, indaguen acerca de lo que ocurrirá para todas las ecuaciones y no sólo
para las propuestas en la actividad. Luego, a través del grupo cerrado de facebook,
compartan las inferencias obtenidas con el resto de sus compañeros.
Una vez que los alumnos han intercambiado las conclusiones a las que han arribado, el
docente retoma los aportes de cada grupo, clarifica, unifica criterios y formaliza lo
trabajado hasta el momento. Es decir, realiza la institucionalización del saber,
estableciendo y dando un status oficial al conocimiento que surge a partir de las
actividades de la clase. Es fundamental que se lleve a cabo ya que "(...) los alumnos no
tienen la posibilidad de identificar por sí mismos la presencia de un nuevo conocimiento, y

6. CONCEPCION LIZARRAGA
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menos aún el hecho de que dicho conocimiento corresponde a un saber cultural”. De esta
manera, todos los alumnos tendrán un resumen común con las diferencias y similitudes
referidas a los desplazamientos de la función exponencial que se producen al variar
ciertos parámetros en su fórmula.
Institucionalización para la situación 1
Retomando la actividad anterior observamos que g(x)= tiene la misma forma que
f(x)= , pero se encuentra desplazada 1 unidad hacia arriba respecto del eje x.
A partir de esta actividad y del trabajo exploratorio que han hecho con otras ecuaciones
de la misma forma podemos concluir que:
 La gráfica de función exponencial de la fórmula g(x)= +c tiene la misma forma
que la de la función f(x)= , pero:
 si c es positivo se encuentra desplazada c unidades hacia arriba, o
 si c es negativo, se encuentra desplazada c unidades hacia abajo, respecto
del eje x.
 En todos los casos la asíntota horizontal pasa a ser la recta y=c.
Institucionalización para la situación 2
Retomando la actividad anterior observamos que h(x)= tiene la misma forma que
f(x)= , pero se encuentra desplazada 1 unidad hacia la izquierda respecto del eje y.

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De manera general, teniendo en cuenta estas funciones y otras de la misma forma,
podemos concluir que:
 La gráfica de la función exponencial de fórmula h(x)= tiene la misma forma
que la de la función f(x)= , pero:
 si b<0, se encuentra desplazada b unidades hacia la derecha, o
 si b>0, se encuentra desplazada b unidades hacia la izquierda.
 La asíntota horizontal no cambia.
Finalmente, en el mismo grupo de Facebook donde han intercambiado las conclusiones,
cada alumno deberá resolver actividades que permitan revisar los conceptos trabajados y
estudiados. Éstas serán “subidas” al grupo de Facebook por la docente.
Actividades
A partir del gráfico de la función f(x)= , realizar en lápiz y papel los gráficos de las
siguientes funciones, sin realizar tablas de valores:
a. g(x)= +3
b. h(x)= -1
c. j(x)= +12
d. k(x)= -34
M3:
Los encargados de esta semana deberán compartir el documento colaborativo en el grupo
cerrado de Facebook correspondiente al curso. Todos los alumnos están invitados a
participar durante la semana para disipar posibles dudas que surjan y seguir
enriqueciendo las conclusiones.
Evaluación de la propuesta:
 Los objetivos planteados para esta clase, reflejan con claridad los criterios de
evaluación.

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 Se evaluará tanto procesos como resultados, otorgándole más importancia a los
primeros, dado que buenos procesos arriban a buenos resultados. Se tendrá en
cuenta tanto el trabajo individual como el trabajo grupal y colaborativo, la
autonomía de los alumnos en cuanto a la toma de decisiones respecto del recorte
de variables al momento de elaborar conjeturas y validarlas, la detección de las
distintas vistas que brinda GeoGebra y la elección de la más conveniente para la
realización de esta actividad.
 La puesta en común de las conclusiones, la elaboración del resumen
con diferencias y similitudes referidas a los desplazamientos de la función
exponencial que se producen al variar ciertos parámetros en su fórmula.
 La participación tanto dentro como fuera del aula (Facebook), individualmente y
dentro del grupo, en cantidad y calidad.
Justificación de cambios a la propuesta:
Una de las observaciones que habíamos realizado en el análisis era la posibilidad de
incorporar un problema disparador para dar inicio a esta clase. Luego de una votación
dividida hemos decidido que no es necesario agregar un problema porque
consideramos que la situación planteada lo es. Cuando hablamos de problemas, no lo
hacemos sólo pensando en aquellas situaciones extra-matemáticas que permiten
modelizar, sino que también es necesario hacerlo desde situaciones intra-matemáticas,
como en este caso. “(…) cuando el entorno social o la creencia de los docentes indican una
preferencia hacia los problemas prácticos, planteados casi exclusivamente en contextos
de la vida real y en los que se buscan resultados casi inmediatos, se corre el riesgo de
eliminar una parte importante de los problemas en Matemática, incluyendo a las
demostraciones” (Demostraciones y conjeturas en la escuela media, pag. 2)
En este caso, la “parte importante “es el hecho de que los alumnos deben hacer
conjeturas. Se los pone en una situación particular donde observan los hechos, los
analizan, los comparan, encuentran un patrón y hacen una afirmación. La situación
planteada en la clase no es un mero ejercicio de aplicación, sino que involucra al alumno
en una situación problemática que permite desplegar todos los aspectos del trabajo
matemático. Si observamos el NAP en el que está inserta esta clase, pueden observar que
se recomienda estudiar los desplazamientos de la función exponencial de esta manera, es
decir a través de la construcción de gráficos con algún software y la interpretación y
relación de los mismos y sus variaciones con sus fórmulas.
Otro momento que fue necesario agregar fue el de Institucionalización del conocimiento.
Teniendo en cuenta la teoría de Situaciones Didácticas de G. Brousseau, las "SITUACIONES
DE INSTITUCIONALIZACIÓN tienen por finalidad establecer y dar un status oficial a algún
conocimiento aparecido durante la actividad de la clase". En ese momento, el docente
“intenta que el conjunto de alumnos de una clase asuma la significación socialmente
establecida de un saber que ha sido elaborado por ellos en situaciones de acción, de
formulación y de validación”. (Parra, C. y Saiz, I. 1994: 43). “Durante la institucionalización

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(…) se debe recapitular, sistematizar, ordenar, vincular todo lo que se produjo en
diferentes momentos del desarrollo de la secuencia didáctica”. El docente deja su rol de
guía y orientador, con el fin de establecer una relación entre las producciones de los
alumnos y el saber cultural con el que se está tratando.
Por otra parte, nos pareció necesario incorporar a la clase, actividades que permitan que
los alumnos re-visiten los conocimientos estudiados durante la clase. Por ello
incorporamos actividades, que serán enviadas por el docente vía Facebook al grupo
cerrado del curso. En estas se solicita que luego de lo aprendido, los alumnos puedan
construir los gráficos de distintas fórmulas de la función exponencial en lápiz y papel y sin
realizar tablas de valores, lo que permitiría que basándose en la función f(x)= logren
realizar los desplazamientos correspondientes de acuerdo a la variación de las ecuaciones.
Por último, incorporamos los saberes previos con los que el alumno debe contar para
realizar las actividades propuestas en la clase. Si bien el docente de seguro los tuvo en
cuenta, no está de más plasmarlos en la planificación, pues es a partir del equilibrio y
desequilibrio entre ellos, que el alumno puede construir nuevos conocimientos. Estos
nuevos conocimientos se van a incorporar a los esquemas conceptuales que los alumnos
tenían previo al desarrollo de la clase.

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Bibliografía
 .Irma Saiz (2007) en una entrevista titulada: ” Una matemática con sentida”.
 .Sagol, Cecilia y equipo (López, Ana; García, Hernán) (2014). Clase 1: “Material de
lectura: De qué hablamos cuando hablamos de modelos 1 a 1”, El modelo 1 a 1.
Especialización docente de nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires:
Ministerio de Educación de la Nación.
 .Sagol, Cecilia y equipo (López, Ana; García, Hernán) (2014). “Material de lectura:
Líneas de trabajo con modelos 1a1 en el aula I”, El modelo 1 a 1, Especialización
docente de nivel superior en educación y TIC, Buenos Aires, Ministerio de
Educación de la Nación.
 .Pietrovzki, P. A. (2013). Clase Nro. 1: La Matemática que enseñamos. Propuestas
Educativas con TIC: Matemática y TIC I. Especialización docente de nivel superior
en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la Nación.
 .Pietrovzki, P. A. (2013). Clase Nro. 3: Aprender a enseñar matemática con TIC.
Propuestas educativas con TIC: Matemática y TIC I. Especialización docente de
nivel superior en educación y TIC. Buenos Aires: Ministerio de Educación de la
Nación.
 .Irma Saiz y Nelci Acuña “La didáctica de la matemática como disciplina científica”.
Disponible
en: http://www.aportes.educ.ar/sitios/aportes/recurso/index?rec_id=107764
 .Parra, C. y Saiz, I. (comps.) (1994). Didáctica de matemáticas. Aportes y
reflexiones. Buenos Aires: Paidós.
 .NAP. Documento Aprobado por Resolución CFE N° 180/12. Ciclo Orientado de
Educación Secundaria. Consejo Federal de Educación.
 Documento Tipos de actividades. Adaptación del material Mathematics learning
activity types, de Grandgenett, N., Harris, J. y Hofer, M. (2009).
 Documento: Demostraciones y conjeturas en la escuela media. Víctor Larios
Osorio.