El documento trata sobre conceptos básicos del cálculo integral como la notación sigma, particiones de intervalos, sumas de Riemann, integración, primitivas, teoremas fundamentales del cálculo integral y el teorema del valor medio. Explica que la integración generaliza la suma para infinitos sumandos y se usa para calcular áreas y volúmenes. Además, establece las relaciones entre derivadas e integrales definidas según los teoremas fundamentales del cálculo integral.
NOTACIÓN SIGMA: Los números cuya suma se indica en una notación sigma, pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.
SUMAS SUPERIORES E INFERIORES: Es un intervalo [a,b], asociadas a una partición del mismo. Estas sumas son aproximaciones al área que queremos calcular.
LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS PROPIEDADES: Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES: Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO: Consiste en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma.
SUSTITUCIÓN Y CAMBIO DE VARIABLE: Esta técnica es la regla de la cadena de las integrales. Lo cual sugiere que hay una función cuya derivada está presente en la integral. Es para funciones compuestas. Recordando que cuando se deriva este tipo de funciones (compuestas) se considera su derivada interna por lo tanto ella debe estar presente en su integral.
1. Trabajo de Calculo ll
Integrante:
Hernan Arcaya
Universidad Fermín Toro
Vice-rectorado Académico
Facultades de Ciencias Económicas y Sociales
Escuela de Ingeniera en Telecomunicaciones.
2. • Notación Sigma
• El operando matemático que nos permite
representar sumas de muchos sumandos, n o
incluso infinitos sumandos está expresado con
la letra griega sigma (sigma mayúscula, que
corresponde a nuestra S de"suma”). La
notación sigma es de la siguiente manera:
3. • Esto se lee: Sumatorio sobre i, desde m hasta n,
de x sub-i.
•
La variable i es el índice de suma al que se le
asigna un valor inicial llamado límite
inferior, m. La variable i recorrerá los valores
enteros hasta alcanzar el límite superior, n.
Necesariamente debe cumplirse que:m≤ n
• Si queremos expresar la suma de los cinco
primeros números naturales podemos hacerlo
de esta forma:
4. • Partición de un intervalo
• - Una partición P del intervalo cerrado [a, b] es un
conjunto finito de puntos P = { x0, x1, x2, ..., xn} tal
que:
• a = x0 < x1 < x2 < ...< xn-1 < xn = b
• - La diferencia máxima entre cualesquiera dos
puntos consecutivos de la partición, se llama norma
de la partición, y se denota por || P || , es decir:
5. La diferencia máxima entre cualesquiera dos puntos
consecutivos de la partición, se llama norma de la
partición, y se denota por || P || , es decir:
|| P || = max {xj - xj-1 , j = 1 ... n}
- Un refinamiento de la partición P es otra partición P' que
contiene todos los puntos de P y además otros puntos
adicionales, también ordenados en orden de magnitud.
Suma de Riemann superior e inferior.
Sea P = { x0, x1, x2, ..., xn} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una
función acotada definida en ese intervalo. Entonces:
•La suma superior de f respecto de la partición P se define así:
S(f, P) =
cj (xj - xj-1)
6. • La suma superior de f respecto de la partición
P se define así:
•
S(f, P) = cj (xj - xj-1)
donde cj es el supremo de f(x) en el intervalo [xj-
1, xj].
• La suma inferior de f respecto de la partición
P se define así:
• I(f, P) = dj (xj - xj-1)
donde dj es el ínfimo de f(x) en el intervalo [xj-1,
xj].
7. • La integración es un concepto
fundamental del cálculo y del análisis
matemático. Básicamente, una integral es una
generalización de la suma de infinitos sumandos,
infinitamente pequeños.
• .
•
• El cálculo integral, encuadrado en el cálculo
infinitesimal, es una rama de las matemáticas en el
proceso de integración o anti derivación, es muy
común en la ingeniería y en la ciencia también; se
utiliza principalmente para el cálculo de áreas y
volúmenes de regiones y sólidos de revolución.
8. • las matemáticas en el proceso de integración o
antiderivación, es muy común en la ingeniería y en
la ciencia también; se utiliza principalmente para el
cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos
de revolución.
•
• Dada una función f, no existe para ella una única
primitiva F, ya que cualquier otra función de la
forma F+C, donde C es una constante, también
cumple la condición de que su derivada es igual a f
• Además, si F y G son primitivas de f en I entonces F-
G=C (constante) en I pues
9. • Las primitivas de una función forman una familia de
funciones cuya representación gráfica es siempre la
misma, estando cada una desplazada verticalmente
respecto de las demás:
10. • Fue usado por primera vez por científicos
como Arquímedes, René Descartes, Isaac
Newton, Gottfried Leibniz e Isaac Barrow. Los
trabajos de este último y los aportes de Newton
generaron el teorema fundamental del cálculo
integral, que propone que la derivación y la
integración son procesos inversos.
• Teorema fundamental del cálculo integral
• La relación entre derivada e integral definida queda
establecida definitivamente por medio del
denominado teorema fundamental del cálculo
integral, que establece que, dada una función f (x),
su función integral asociada F (x) cumple
necesariamente que:
11. • Segundo teorema fundamental del cálculo.
Sea f una función real, integrable definida en un
intervalo cerrado [a, b]. Si F es una función tal
que F ′(x) = f(x) para todo x de [a, b] (es decir, F es
una primitiva de f), entonces
Teorema del Valor Medio para Integrales
Dada una función "f" continua en un intervalo cerrado [a,
b], existe al menos un valor dentro del mismo, tal que la
derivada de la función evaluada en "c", representa dicho valor
promedio, conocido también como valor medio para
integrales.