Este documento describe el sistema de coordenadas polares, en el cual cada punto en un plano se define por su distancia a un punto central de referencia y el ángulo que forma con un eje de referencia. Explica que en este sistema un punto puede tener múltiples representaciones con diferentes coordenadas polares, a diferencia del sistema cartesiano. También cubre cómo convertir entre coordenadas polares y cartesianas, ecuaciones que definen curvas usando coordenadas polares como funciones de ángulo, y la representación de números complejos en el plano complejo usando coordenadas

1. UNIVERSIDAD “FERMÍN TORO”
SISTEMA INTERACTIVO DE EDUCACIÓN A
DISTANCIA. (SAIA)
CABUDARE
Integrante:
Sebastián Silva Gil
V-27.067.410

2. Coordenadas Polares
Las coordenadas polares o sistema de coordenadas polares son
un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto
del plano se determina por una distancia y un ángulo.
Localización de un punto en coordenadas polares

3. Sistemas de Coordenadas
Un aspecto a considerar en los sistemas de coordenadas polares
es que un único punto del plano puede representarse con un
número infinito de coordenadas diferentes, lo cual no sucede en
el sistema de coordenadas cartesianas. O sea que en el sistema
de coordenadas polares no hay una correspondencia biunívoca
entre los puntos del plano y el conjunto de las coordenadas
polares. Esto ocurre por dos motivos:
Un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo
punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de
revoluciones completas y la misma distancia. En general, el
punto (r, θ) se puede representar como (r, θ ± n×360°) o (− r, θ ±
(2n + 1)180°), donde n es un número entero cualquiera.
El centro de coordenadas está definido por una distancia nula,
independientemente de los ángulos que se especifiquen.
Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para
representar el polo, ya que independientemente del valor que
tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en
el polo. Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar
confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una
única representación de un punto, se suele limitar r a números
no negativos r ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o (−180°, 180°] (en
radianes, [0, 2π) o (−π, π]).

4. En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en
el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la
que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la
distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.
• El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3
unidades desde O, medidas

5. Conversión de Coordenadas
Paso de coordenadas polares a rectangulares y
viceversa
En el plano de ejes x y con centro de coordenadas en el punto O
se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto
M del plano, definidas por la distancia r al centro de
coordenadas, y el ángulo theta del vector de posición sobre el
eje x.
Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares
y las coordenadas cartesianas

6. Ecuaciones Polares
Se le llama ecuación polar a la ecuación que define una curva
expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede
especificar tal ecuación definiendo r como una función de θ. La
curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma r
(θ), θ) y se puede representar como la gráfica de una función r.
Se pueden deducir diferentes formas de simetría de la ecuación
de una función polar r. Si r (−θ) = r (θ) la curva será simétrica
respecto al eje horizontal (0°/180°), si r (180°−θ) = r (θ) será
simétrica respecto al eje vertical (90°/ 270°), y si r(θ−α°) = r(θ)
será simétrico rotacionalmente α° en sentido horario respecto al
polo.
Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas
polar, muchas curvas se pueden describir con una simple
ecuación polar, mientras que en su forma cartesiana sería
mucho más intrincado. Algunas de las curvas más conocidas son
la rosa polar, la espiral de Arquímedes, la lemniscata, el caracol
de Pascal y la cardioide.

7. Un círculo con ecuación (θ) = 1
Una rosa polar con ecuación (θ) = 2 sin 4θ

8. Un brazo de la espiral de Arquímedes con
ecuación r (θ) = θ para 0 < θ < 6π.
Elipse, indicándose su semilado recto

9. Números Complejos
Cada número complejo se puede representar como un punto en
el plano complejo, y se puede expresar, por tanto, como un
punto en coordenadas cartesianas o en coordenadas polares.
Ilustración de un número complejo z en el plano complejo
Ilustración de un número complejo en el plano complejo
usando la fórmula de Euler