SUCESIONES_Y_SERIES.

1. 1
LOGICA PROPOSICIONAL
MATEMATICA
UNIDAD 0105: SUCESIONES Y SERIES
ING RICARDO ANTONIO MARTINEZ FLORES
raflores@ufg.edu.sv
CICLO 1/2015

2. 2
UNIDAD 1: SUCESIONES Y SERIES
Sesión 11
Objetivo:
Comprender la definición de sucesiones y series y su
uso.

3. SERIES Y SUCESIONES
 ¿Qué es una sucesión?
Una sucesión es un conjunto de cosas
(normalmente números) una detrás de otra,
en un cierto orden.

4. Sucesiones:
Conjunto ordenado de
elementos que obedecen a
una ley de formación.

5. Sucesión Finita o infinita
Si la sucesión sigue para siempre, es una
sucesión infinita, si no es una sucesión
finita.
 Ejemplos:
 {1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple
(y es una sucesión infinita)
 {20, 25, 30, 35, ...} también es una
sucesión infinita

6. Ejemplos
 {1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números
impares (y es una sucesión finita)
 {1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde va
doblando cada término
 {a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en
orden alfabético
 {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna ceros y
unos (sí, siguen un orden, en este caso un orden
alternativo)

7. La regla
 Una sucesión sigue una regla que le dice
cómo calcular el valor de cada término.
 Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...}
empieza por 3 y salta 2 cada vez:

8. ¡Pero la regla debería ser una
fórmula!
 Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no dice
cómo se calcula el:
 10º término,
 100º término, o
 n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número
positivo que se quiera).
 Así que se quiere una fórmula con "n" dentro (donde n
será la posición que tiene el término).

9. Notación
Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente
se hace así:
Entonces se puede escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de
ecuación, así:
Xn = 2n+1
Ahora, si se quiere calcular el 10º término, se puede escribir:
X10 = 2 n+1 = 2 × 10 + 1 = 21
¿Puede calcular el 50º término? ¿Y el 500º?

10. Ordinal
Número
T
T
T
T
S
uces
ión
la
de
Término
n
..
..........
;
9
;
4
;
1
4
3
2
1
2

















......
;.........
3
1
;
2
1
;
1
T
:
Entonces
...
..........
..........
;
3
;
2
;
1
:
toma
"
n
"
S
i
n
1
T
S
i
n
n

11. SUCESIONES
NOTABLES

12.  Sucesiones Aritméticas
 El ejemplo que se ha usado, {3,5,7,9,...},
es una sucesión aritmética (o progresión
aritmética), porque la diferencia entre un
término y el siguiente es una
constante.

13. Sucesión Aritmética:
Sea t ; t ; t ;........... t
+r +r
1 2 3 n
tn = t1 + (n-1).r
tn = nr +(t1-r)

14. Ejemplos:
Dada la sucesión:
1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos
términos.
La regla es xn = 3n-2
Dada la sucesión:
3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...
Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada
dos términos.
La regla es xn = 5n-2

15. Sucesiones geométricas
 En una sucesión geométrica cada
término se calcula multiplicando el
anterior por un número fijo.

16. Sucesión Geométrica:
Sea t ; t ; t ;........... t
xK xK
1 2 3 n
1
n
1
n k
.
t
t 


17.  Ejemplos:
 Dada la sucesión:
2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...
Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es xn = 2n

18. Ejemplos
3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...
Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.
La regla es xn = 3n
Dada la sucesión:
Dada la sucesión:
4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...
Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada
dos términos.
La regla es xn = 4 × 2-n

19. Sucesiones especiales
 Números triangulares
 Dada la sucesión:
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...
Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un
triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total se encuentra el
siguiente número de la sucesión.
Pero es más fácil usar la regla
Xn = n(n+1)/2

20. Sucesiones Especiales
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...
El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.
La regla es xn = n3
Números cuadrados
Dada la sucesión:
El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.
La regla es Xn = n2
Números cúbicos
Dada la sucesión:

21. Ejercicios:
Indicar los números o letras que siguen en
los siguientes ejercicios:
BC ; IJ ; ÑO ; ST ;……
9 ; 18 ; 21 ; 42 ; 46 , 92 ;…
...
;.........
29
1
3
;
26
1
2
;
1
3
1
0
;
1
0
9
;
5
7

22. Series
"Sucesiones" y "series" pueden parecer la
misma cosa; pero en realidad una serie es
la suma de una sucesión.
 Sucesión: {1,2,3,4}
 Serie: 1+2+3+4 = 10

23. Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que
significa "sumar todos":

24. Suma de los primeros números
naturales:
2
)
1
n
(
n
k
n
1
k




Suma de los números impares:













2
n
1
n
1
k 2
t
t
)
1
k
2
(

25. Suma de los primeros números pares:
)
1
n
(
n
k
2
n
1
k




Suma de los primeros números
naturales c/u elevado al cubo:












2
n
1
k
3
2
)
1
n
(
n
k

26. Suma de los
primeros números
naturales c/u
elevado al
cuadrado
6
)
1
t
2
)(
1
t
(
x
t
k n
n
n
n
1
k
2 





27. Ejercicios:
Q = 2 + 8 + 18 + 32 +...+
1250
 E = 1/7 + 2/49 + 3/343 + 4/2301
+....+ 
Calcular:
 P = 7 + 9 + 11 + 13
+....+ 405