Tarea 1

1. Cálculo en varias variables
Tarea No. 1
Fecha y hora límites de entrega: Lunes 5 de febrero de 2018 a las 11:59 pm.
Número de estudiantes por grupo: Máximo de a tres(3) estudiantes.
Modo de entrega: Uno de los participantes del grupo debe subir la tarea a TEMA.
1. Sean a, b ∈ R3
tales que ∥a∥ = 2, ∥b∥ = 3 y el ángulo entre a y b es π/6. Hallar
a) Halle t ∈ R tal que ta − b sea ortonal a 3a + tb.
b) Halle la magnitud del vector 2a − b.
c) Halle el ángulo entre los vectores u = a − b y v = b + 2a.
2. Sean u = ⟨2, −1, 0⟩, v = 3i + 3j − 2k y θ es el ángulo entre u y v. Calcule
a) cos θ - sin θ.
b) Halle el área de un triángulo que tenga como dos de sus lados a los vectores u y v.
c) Halle un vector z que sea ortogonal a los vectores u − v y u + v y además tal que z ·
⟨1, −1, −2⟩ = 45.
3. Considere los puntos A(2, 3, 2), B(−2, 3, −4), C(0, −1, −1) y D(0, 2, 0).
a) Determine si A, B y C son colineales. Si no lo son, halle el área de un paralegrogramo que
tenga a esto puntos como tres de sus vértices.
b) Determine si A, B, C y D son coplanares y si no lo son halle el volumen de un paralelepípedo
que los tenga como cuatro de sus vértices.
4. Determine si el enunciado es falso o verdadero. Si es falso, suministre un ejemplo, y si es
verdadero, demuéstrelo.
a) Si u y v son vectores unitarios, entonces u × v también es unitario.
b) El triángulo con vértices A(2, 1, 0), B(−1, 1, −1) y C(4, 2, 5) es equilátero.
c) El ángulo entre los vectores u = i + j y v = i − j es π/4.
d) Si u y v son no nulos, entonces u × v ̸= v × u.