1. Relaciones Binarias
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
1. Sean A y B conjuntos (no vac´
ıos). Si R y S son relaciones de equivalencia
en A y B respectivamente. En A × B se define la relaci´n T dada por:
o
(a1 , b1 )T (a2 , b2 ) ⇔ a1 Ra2 ∧ b1 Rb2
Probar que T es de equivalencia y calcular su conjunto cociente.
Soluciones
1. (a) T es reflexiva:
Sea (a, b) ∈ A × A luego a ∈ A, b ∈ B entonces aRa ∧ bSb.
Lo anterior se da desde que R, S son reflexivos.Luego (a, b)T (a, b).
(b) T es sim´trica:
e
Sean (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ A × A.
Si (a1 , b1 )T (a2 , b2 ) luego a1 Ra2 ∧ b1 Rb2 de la simetr´ de R y S
ıa
tenemos que: a2 Ra1 ∧ b2 Rb1 luego por definici´n de T se tiene
o
(a2 , b2 )T (a1 , b1 ).
(c) T es transitiva:
Sean (a1 , b1 ), (a2 , b2 ), (a3 , b3 ) ∈ A × A.
Si (a1 , b1 )T (a2 , b2 ) ∧ (a2 , b2 )T (a3 , b3 ) pero:
(a1 , b1 )T (a2 , b2 ) ⇔ a1 Ra2 ∧ b1 Rb2
(a2 , b2 )T (a3 , b3 ) ⇔ a2 Ra3 ∧ b2 Rb3
Por transitividad de R deducimos que: a1 Ra3 ∧b1 Rb3 luego (a1 , b1 )T (a3 , b3 ).
Luego por lo anterior T es una relaci´n de equivalencia.Para hallar el
o
conjunto cociente
A×A
= {[(m, n)]/(m, n) ∈ A × A}
∼
Donde
[(m, n)] = {(a, b)/(a, b)T (m, n), (a, b) ∈ A × A}
[(m, n)] = {(a, b)/aRm ∧ bRn, (a, b) ∈ A × A}
[(m, n)] = {(a, b)/a ∈ [m], b ∈ [n], (a, b) ∈ A × A}
1

2. [(m, n)] = [m] × [n]
As´ entonces el conjunto cociente ser´
ı ıa:
A×A
= {[m] × [n]/(m, n) ∈ A × A}.
∼
La imaginaci´n es m´s importante que el conocimiento
o a
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
2