Técnicas de integración: Integración por cambio de variable, por partes y sustitución trigonométrica.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN SAN CRISTÓBAL – ESTADO TÁCHIRA
ESCUELA DE ARQUITECTURA
SAN CRISTÓBAL, SEPTIEMBRE 2017
TECNICAS DE INTEGRACIÓN

2. CAMBIO DE VARIABLE
UNA INTEGRAL DE APARIENCIA
DIFICIL SE REDUCE A OTRA CONOCIDA
SI SE CAMBIA ADECUADAMENTE LA
VARIABLE DE INTEGRACION.
CUANDO SE HACE ESO, dx SE SUELE
CALCULAR DERIVANDO LA RELACION
ENTRE x Y LA NUEVA VARIABLE. AL
FINAL, DEBE DARSE EL RESULTADO EN
TERMINOS DE LA PRIMERA VARIABLE
(x).
∫ X2 (X3 – 1) dx =
U = X3 – 1
du= 3X2 dX
dx= du
3X2
EJEMPLO 1
∫ X2 (U)4 du =
3X2
1 ∫ U4 du =
3
1 U5 = U5 + C =
3 5
(X3 – 1)5 + C
15
∫ (3lnX – 5) dX =
X
U = 3lnX – 5
du= (3 dX) / X
dx= du
3
1 ∫ U4 du =
3
EJEMPLO 2
1 U5 + C =
3 5
(3lnX – 5)5 + C
15

3. INTEGRACIÓN POR PARTES
BASTANTE UTIL PARA LLEVAR INTEGRALES
COMPLEJAS A SENCILLAS;
SU FORMULA ES:
∫ U . dV = U . V - ∫ V . Du
PARA ELEGIR “U” SE TOMA LA PRIMERA
FUNCION QUE OCURRA DE
IZQUUIERDA A DERECHA EN
CORRESPONDENCIA CON LA PALABRA
ILATE.
Du = F’ (X)
U = F (X) ∫ dv = ∫ g’ (X) dX
v = g’ (X)
∫ X . SEN X dX
U = X
du= dX
EJEMPLO 1
• FUNCION INVERSA
• FUNCION LOGARITMICA
• FUNCION ALGEBRAICA
• FUNCION
TRIGONOMETRICA
• FUNCION EXPONENCIAL
ILATE:
∫ X2 . ln X dX
EJEMPLO 2
∫ dv = ∫ SEN X dX
v = -COS X + C
∫ X . SEN X dX = X . –COS ∫ -COS X . dX
= -X COS X + SEN X + C
U = ln X
dU= 1 dx
x
∫ dv = ∫ X2 dX
v = X3
3
∫ ln X . X2 dX = ln X . X3 - ∫ X3 . 1 dX
3 3 3
1 ln X . X3 – 1 ∫ X2 dX
3 3
X3 ln X - 1 X3 + C
3 3 3
X3 ln X - X3 + C
3 9
= 1 X3 (ln X – 1) + C
3 3

4. SUSTITUCIÓN TRIGONOMETRICA
LA INTEGRACION POR SUSTITUCION
TRIGONOMETRICA SIRVE PARA
INTEGRAR FUNCIONES DE LA FORMA:
√ a2 - u2 , √ a2 + u2 Y √ u2 - a2
ESTE METODO SE BASA EN EL USO DE
TRIANGULOS RECTANGULOS, EL
TEOREMA DE PITAGORAS E
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS. LA
INTEGRAL A RESOLVER:
∫ R (X √ aX2 + bX + C) dX
∫ 1 dX =
√ 1 - X2
X = SEN θ
dX= COS θ d θ
EJEMPLO 1
- π / 2 < θ < π / 2
∫ 1 dX = ∫ COS θ d θ
√ 1 - X2 √ 1 - SEN2 θ
∫ COS θ d θ = ∫ COS θ d θ = ∫ d θ = θ + C
√ COS2 θ COS θ
EJEMPLO 2∫ dX
X2 √ 4 - X2
X = 2 SEN θ
dX= 2 COS θ d θ
- π / 2 < θ < π / 2
∫ dX = ∫ 2 COS θ d θ = ∫ 2 COS θ d θ =
X2 √ 4 - X2 (2 SENθ)2 √4-(2 SENθ)2 4 SEN2 θ √4-4SEN2 θ
∫ COS θ d θ , ∫ dX = ∫ COS θ d θ =
2 SEN2 θ √4(1 SEN2 θ) X2 √4 - X2 2 SEN2 θ . 2 √COS2 θ
∫ COS θ d θ = 1 ∫ CSC2 θ d θ = - 1 COT θ + C
4 SEN2 θ . COS θ 4 4