Este documento explica el Teorema de Pitágoras y proporciona dos demostraciones del mismo. Primero, proporciona contexto histórico sobre Pitágoras y enuncia el teorema. Luego, presenta dos demostraciones geométricas del teorema utilizando figuras. Finalmente, ilustra el teorema con dos ejemplos numéricos.

1. EL TEOREMA DE PITÁGORAS
MATEMATICAS III
NET IZCALLI

2. EL TEOREMA DE PITÁGORAS.
 Este teorema es de
los más famosos de
la geometría plana.
 Hay más de 300
pruebas de este
teorema.
 Antes de enunciarlo
procedemos a hacer
un poco de historia
acerca de Pitágoras.

3. PITÁGORAS  Nació en 572 a. de c.
aproximadamente. En la
isla de Samos, una de
las islas del mar Egeo,
cerca de la ciudad de
Mileto, donde nació
Tales.
 Es muy probable que
haya sido alumno de
este último.

4. PITÁGORAS
 Parece que Pitágoras estuvo en Egipto y
posiblemente viajó en forma más extensa
por el Oriente antiguo.
 Tiempo después emigra al puerto griego de
Crotona en Italia del sur. Ahí fundó la célebre
escuela pitagórica, asi como una fraternidad
unida a ritos secretos y cabalísticos.
 Se dedicó al estudio de la filosofía, la
matemática y la astronomía.

5. TEOREMA DE PITÁGORAS
tiene la misma área que
la suma de las áreas de
los cuadrados construidos
sobre los catetos.
c2=a2+b2
c
b
a
En un triángulo rectángulo,
el cuadrado construido
sobre la hipotenusa,

6. Esta es una forma de probar el teorema
anterior. Considera la siguiente figura
a{
b
El área del cuadro verde es c2
El área del cuadro rojo es
(a+b)2=a2+2ab+b2
El área de cada tríangulo es
(ab)/2, entonces la suma de las
cuatro áreas es 2ab
c
El área del cuadro verde más el
área de los triángulos es igual al
área del cuadro grande es decir,
c2+2ab= a2+2ab+b2
c2= a2+b2
b
c
c
c

7. TENEMOS AHORA OTRA PRUEBA.
DEMOSTREMOS QUE EN LA FIGURA
(AB)2=(AC)2+(BC)2
 Iniciando en el triángulo ABC,
trazamos la perpendicular BD
a AB.
 ABC y ABD tienen dos
ángulos iguales (el recto y
BAC = BAD)
 ABC es semejante a ABD
entonces:
  ABC =  ADB=  CDB (1)
 (AC)/(AB) = (AB)/(AD) y
 AD=AC+CD

8. UTILIZANDO LAS DOS IGUALDADES
ANTERIORES TENEMOS:
 (AC)/(AB) =(AB)/(AC+CD)
 (AC)(AC+CD)=(AB)2
 (AB)2=(AC)2+AC•CD
 Por (1), ABCABD
 AC/BC=BC/CD
 CD=(BC)2/(AC)
 (AB)2=(AC)2+(BC)2
 Que es lo que queríamos probar.

9.  Puedes encontrar otra prueba muy divertida si vas a
UNIVERSUM.
 También puedes consultar la página de Internet
http://www.utp.ac.pa/articulos/pitagoras.html
a{ c
b
• La siguiente figura te dará otra idea para
demostrar el Teorema de Pitágoras.

10. EJEMPLO 1: COMBATE DE INCENDIOS.
Para combatir un incendio
forestal, el Departamento de
Silvicultura desea talar un
terreno rectangular
alrededor del incendio, como
vemos en la figura. Las
cuadrillas cuentan con
equipos de
radiocomunicación de 3000
yardas de alcance. ¿Pueden
seguir en contacto las
cuadrillas en los puntos A y

11. SOLUCIÓN AL EJEMPLO 1
 Los puntos A, B y C forman un triángulo rectángulo.
Para calcular la distancia c del punto A al punto B se
utiliza el teorema de Pitágoras, sustituyendo a a por
2,400 y a b por 1,000, y despejando a c.
 a2+b2=c2
 24002+10002=c2
 6,760,000=c2
 c=2600
 Las dos cuadrillas están a 2600 yardas de distancia.
Esa distancia es menor que la del alcance de los
radios, por lo que las cuadrillas se pueden comunicar.

12. EJEMPLO 2 CONSTRUCCIÓN DE UNA VÍA
RÁPIDA.
En una ciudad, las calles
van de norte a sur y las
avenidas de este a oeste.
Las calles y avenidas
tienen 750 pies de
separación entre sí. El
gobierno de la ciudad
desea construir una vía
rápida desde el cruce de
la Calle 21 con la avenida
4, hasta el cruce de la
Calle 111 con la avenida
60. ¿Qué longitud tendrá
la vía rápida?

13. SOLUCIÓN AL EJEMPLO 2
 Podemos representar las calles de la ciudad con el
sistema coordenado que se muestra en la figura, en
que las unidades de cada eje representan 750 pies.
Si representamos el extremo de la vía en la Calle 21
y Avenida 4 mediante el punto (x1,y1)=(21, 4), el otro
extremo estará en (x2,y2)=(111, 60)
 Ahora podemos emplear el teorema de Pitágoras
para calcular la longitud de la vía rápida.
 d2=(x2-x1)2+(y2-y1)2
 d2=(111-21)2+(60-4)2
 d2=8100+3136
 d=106

14. ENUNCIEMOS AHORA LA CONCLUSIÓN A EL
EJEMPLO 2
 Como cada unidad representa 750 pies, la longitud
de la vía es de (106)(750)=79,500 pies. Cada milla
tiene 5,280 pies, por lo tanto dividimos 79,500
entre 5,280 para convertir los 79,500 pies en
15.056818 millas. Es decir, la vía rápida tendrá
aproximadamente 15 millas de longitud.