Este documento presenta un resumen de un apunte sobre teoría de errores y gráficos desarrollado por Miguel Bustamante. El apunte introduce conceptos como sistemas de medición, distribución normal, álgebra de errores, criterios de aproximación, cálculo de parámetros de rectas y curvas de ajuste, y formatos para informes de laboratorio. El prólogo invita a los lectores a colaborar para mejorar el contenido. La introducción explica la importancia de contrastar teorías con observaciones experimentales en ciencias.

1. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 1
Apuntes de Errores y gráficos.
Facultad de Ingeniería
Profesor Miguel Bustamante S
Segunda Edición. 2006

2. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
Prólogo
Querido lector, estudiante o profesor: Quisiera expresar algunas palabras para
presentar este apunte: El laboratorio de Física es una sección importante en el estudio de la
ciencias Físicas. En el laboratorio se prueban las las leyes de la Física, su validez mediante
experiencias diseñadas para tales propósitos.
Para comprobar las leyes de la Física, se necesita usar ciertas herramientas tanto en
el manejo de datos como de gráficos. Este apunte entrega las herramientas básicas para el
desarrollo del laboratorio y de un criterio de aceptación o refutación.
Estimado lector, este apunte pretende ser un aporte para el laboratorio de Física u
otro laboratorio, pero como toda obra puede ser mejorada. Es por eso que pido su colaboración
para perfeccionar el contenido, agregar, como quitar; al igual que su opinión. Esta puede ser
entregada a través del correo electrónico miguel.bustamante@uai.cl
Sin otro particular,
Miguel Bustamante S.
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3. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
INDICE
APUNTES DE ERRORES Y GRÁFICOS.......................................................................................................1
LABORATORIO DE FÍSICA...........................................................................................................................1
FACULTAD DE INGENIERÍA........................................................................................................................1
PRÓLOGO...........................................................................................................................................................2
INTRODUCCIÓN AL LABORATORIO DE FÍSICA..................................................................................5
SISTEMA DE MEDIDA..................................................................................................................................11
DISTRIBUCIÓN NORMAL O DE GAUSS.............................................................................................................19
ALGEBRA DE ERRORES..............................................................................................................................22
CRITERIO DE APROXIMACIÓN.........................................................................................................................24
Relación no lineal.......................................................................................................................................27
CALCULO DE LOS PARÁMETROS DE LA RECTA Y=MX+N...............................................................................29
Gráficos no lineales...................................................................................................................................34
CALCULO DE AJUSTE DE CURVAS A CONJUNTOS DE DATOS............................................................................37
Ejercicios de errores gráficos:...................................................................................................................46
Título:.........................................................................................................................................................52
Autores.......................................................................................................................................................52
Resumen y/o abstract.................................................................................................................................52
Introducción ..............................................................................................................................................53
Procedimiento y montaje experimental......................................................................................................53
Resultados experimentales.........................................................................................................................53
Conclusiones..............................................................................................................................................53
Bibliografía................................................................................................................................................53
Apéndices...................................................................................................................................................55
FORMATO DE EXPOSICIÓN...............................................................................................................................56
PUNTOS IMPORTANTES A CONSIDERAR:..........................................................................................................56
3............................................................................................................................................. 57
Informe Ejemplo...................................................................................................................58
Fenómeno de Difusión de dircromato de ...........................................................................................58
Potasio en Agar-Agar.........................................................................................................................58
MONTAJE Y PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL...............................................................................................60
Resultados experimentales.........................................................................................................................60
Tabla 1: Datos obtenidos en la difusión del dicromato de potasio en el Agar-Agar..........................60
Conclusión...........................................................................................................................61
Recomendaciones:..............................................................................................................63
Formulario.................................................................................................................................................64
Presentación...............................................................................................................................................67
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4. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
Introducción al laboratorio de Física.
Uno de los aspectos más importantes de las ciencias experimentales, es el hecho que una
teoría puede y debe ser contrastado con la naturaleza. ¿A qué se debe que las ciencias
experimentales deban ser contrastados con el entorno natural? Para entender este punto es
necesario saber, ¿Qué es Ciencia?
Desde el punto de vista etpistimológico, la palabra “ciencia” que tiene su origen en el latín,
significa “saber”. Hoy en día, esta definición no es válida. La Ciencia experimental quiere dar una
explicación racional y lógica al entorno que rodea al hombre. Esto es, explicar con modelos
matemáticos los fenómenos que se observan en la naturaleza. Esta arrogancia, parte del supuesto
escrito por Galileo, que el “Lenguaje de la naturaleza, son las Matemáticas”. La mejor prueba de
esta afirmación es ver el avance que ha sufrido la ciencia y la tecnología desde esa fecha hasta la
actual. Los modelos teóricos, como el de las elipses de las órbitas de los planetas (que en realidad
no son elipses) sirven para visualizar en la mente humana un fenómeno y tratar de comprenderlo.
Si no existen modelos, se debe buscar las relaciones entre variables que son medibles para
visualizar el fenómeno y generar un modelo. Un ejemplo lo constituyó el estudio de las órbitas
planetarias. En un principio, los griegos, atribuían poderes sobrehumanos a seres que podían
viajar en el firmamento como eran los “vagabundos” (Los planetas). Aristóteles propuso la
hipótesis que la Tierra estaba en el centro de un firmamento, y que todo giraba en torno a ella: La
Luna, Los planetas. Las estrellas estaban en un firmamento estable e incorruptible ya que los
dioses vivían allá. Cómo las matemáticas tienen la característica de una ciencia exacta, aplicaron
las matemáticas a la descripción de los fenómenos celeste, no así a los terrestre, ya que la vida en
la tierra era imperfecta y no se podía aplicar algo perfecto a la imperfección. Es así, que sobre la
base de racionamiento filosófico se enfrentaron los problemas. Además los griegos eran reacios a
la comprobación empírica, ya que suponían que el racionamiento bastaba para dilucidar la verdad
detrás del fenómeno. Por esto que este periodo básicamente se crearon modelos pero no se
probaron su veracidad.
Tolomeo tomó las ideas de Aristóteles, que además se ajustaba muy bien a las sagradas escrituras
explicando los fenómenos celestes: Podían predecir la aparición y posición de los planetas que se
ven a simple vista. Sin embargo, no todo lo explicaba correctamente. Los vagabundos tenían
movimientos erráticos: En un momento avanzaban y luego retrocedían. Para dar explicación de
este fenómeno, Tolomeo (en su obra “almagesto”) debió introducir a las órbitas circulares de los
planetas unos “epiciclos”. Estos epiciclos, adicionales al modelo original, en que cada cuerpo
orbitaba en pequeños círculos en torno a la órbita circular, de este.
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5. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
Este modelo de “Universo” se aceptó por un tiempo. Este modelo satisfacía requerimiento
matemáticos y pero no los observables.
En 1543 el astrónomo Nicolás Copérnico publicó “De revolutionibus orbium celestium”
(Sobre las revoluciones de los cuerpos celestes). Planteó un nuevo modelo de sistema solar.
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La teoría de Copérnico establecía que la Tierra giraba sobre sí misma una vez al día, y que una
vez al año daba una vuelta completa alrededor del Sol. Además afirmaba que la Tierra, en su
movimiento rotatorio, se inclinaba sobre su eje (como un trompo). Sin embargo, aún mantenía
algunos principios de la antigua cosmología, como la idea de las esferas dentro de las cuales se
encontraban los planetas y la esfera exterior donde estaban inmóviles las estrellas (firmamento).
Por otra parte, esta teoría heliocéntrica tenía la ventaja de poder explicar los cambios diarios y
anuales del Sol y las estrellas, así como el aparente movimiento retrógrado de Marte, Júpiter y
Saturno, y la razón por la que Venus y Mercurio nunca se alejaban más allá de una distancia
determinada del Sol. Esta teoría también sostenía que la esfera exterior de las estrellas fijas era
estacionaria.
Una de las aportaciones de la teoría de Copérnico era el nuevo orden de alineación de
los planetas según sus periodos de rotación. A diferencia de la teoría de Tolomeo, Copérnico vio
que cuanto mayor era el radio de la órbita de un planeta, más tiempo tardaba en dar una vuelta
completa alrededor del Sol. Pero en el siglo XVI, la idea de que la Tierra se movía no era fácil de
aceptar y aunque parte de su teoría fue admitida, la base principal fue rechazada.1
Tycho Brahe (profesor de Johannes Keppler) nunca aceptó totalmente el sistema
copernicano del Universo y buscó una fórmula de compromiso entre éste y el antiguo sistema de
Tolomeo. El sistema de Brahe presuponía que los cinco planetas conocidos giraban alrededor
del Sol, el cual, junto con los planetas, daba una vuelta alrededor de la Tierra una vez al año. La
esfera de las estrellas giraba una vez al día alrededor de la Tierra inmóvil.
Aunque la teoría de Brahe sobre el movimiento planetario era defectuosa, los datos que acumuló
durante toda su vida desempeñaron un papel fundamental en el desarrollo de la descripción
correcta del movimiento planetario. Johannes Kepler, que fue ayudante de Brahe desde 1600
hasta la muerte de éste en 1601, utilizó los datos de Brahe como ayuda para la formulación de
sus tres leyes sobre el movimiento de los planetas (véase Leyes de Kepler).2
Fue Johannes
Keppler, con los datos de Tycho que pudo idear un modelo de sistema solar. Esto lo sintetizó en
sus tres leyes:
1.-Los planetas describen órbitas elípticas y el sol ocupa uno de los focos de la elipse.
2.-El planeta recorre áreas iguales en tiempo iguales de barrido.
3.-Las distancia del eje mayor al cubo es proporcional al periodo del planeta a la segunda
potencia.
1
"Copérnico, Nicolás", Enciclopedia Microsoft® Encarta® 97 © 1993-1996
Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.
2
"Brahe, Tycho", Enciclopedia Microsoft® Encarta® 97 © 1993-1996 Microsoft
Corporation. Reservados todos los derechos.
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7. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
Estas tres leyes dan un modelo matemático de las órbitas de los planetas y una buena
aproximación a la realidad. Las órbitas de los planetas se asemejan a una elipse, pero no son una
elipse. Pero, ¿ por qué se asemejan tanto a una elipse? La respuesta a esta pregunta la dio Isaac
Newton. Los trabajos de investigación empírica de Galielo (Caída libre, cuerpo acelerando,
péndulo, astronomía) mas los trabajos de Johannes Keppler le dieron la plataforma a Newton de
elaborar una “Teoría” que fue publicada en la obra “Principios matemáticos de la filosofía natural”.
La hipótesis de Newton fue afirmar que los fenómenos terrestres como celestes se deben a la
acción de una misma fuerza: La Fuerza de Gravedad, (“Teoría gravitacional”). Para poder
resolver los problemas, tuvo que inventar nuevas matemáticas: El cálculo diferencial. Al resolver
el problema de un cuerpo muy másico en torno a uno menos másico (problema de dos cuerpos), la
solución de la órbita que se obtiene es una elipse, ó parábola ó hipérbole ó circunferencia
(secciones cónicas). Sin embargo el problema los tres cuerpos no tiene solución, sólo
aproximaciones. Esto afirma que el hecho que las órbitas de los planetas se asemejen a una
elipse. Sin embargo, los planetas son nueve. El problema de tres cuerpos no tiene solución,
menos el de nueve planetas.
Por mediciones más cuidadosas de la órbita de mercurio en el final del siglo pasado y
principio del presente siglo se comprobó que la teoría Gravitacional no daba cuenta de un hecho
observable: la precesión del eje mayor de la órbita de mercurio. Sólo una nueva teoría, sobre la
base de nuevas hipótesis pudo explicar este observable: La Teoría de la Relatividad General.
Esta teoría aun se sigue probando.
Esto muestra el cambio en los modelos sobre la naturaleza, por mediciones de fenómenos
o por relaciones entre variables que sirven para dilucidar esta dependencia.
En el laboratorio, no es un evento repetitivo donde se debe llenar una tabla de valores y ver
que los resultados se asemejan a lo esperado. Es eso y más. Es encontrar relaciones y dilucidar
y/o comprobar modelos y/o teorías que rigen los fenómenos. Contrastar la naturaleza con el
pensamiento lógico y deductivo.
El laboratorio pretender dar herramientas de análisis experimental, para comprender los
fenómenos que se estudian dentro de los márgenes de error que se comenten. No todo lo que está
escrito en los libros es fácil de comprobar y ni de montar experimentalmente. Medir la aceleración
de gravedad con dos cifras decimales seguras en mas complicado de lo que se cree.
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8. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
Planetas principales
Notas: Una distancia de 1 unidad astronómica (UA) equivale a unos 150 millones de km. Un
círculo tiene una excentricidad de 0,0 y una parábola 1,0. La inclinación de una órbita
planetaria se mide con respecto al plano de la órbita de la Tierra. La masa de la Tierra es de
5,98 x 1027 g, su radio medio es de 6.371 km y su campo magnético es de 0,31 gauss. La
rotación de Venus (*) es retrógrada; los periodos de rotación de Júpiter (†) y Saturno (**)
varían con la latitud, pero la rotación del interior se puede medir observando la radioemisión y
se refleja aquí.
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9. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
Sistema de medida
En las ciencias experimentales, se debe actuar con los fenómenos a los cuales se estudia
y conocer la dependencia de las variables involucradas. El problema está es saber si mis
resultados obtenidos son los mismos o distintos de los resultados de otro experimentador. Para
poder comparar dos medidas del mismo fenómeno, es distinto tiempo y espacio, se debe llegar a
un acuerdo en relación de tener una referencia acordada y que todas las medidas estén basadas
en esta referencia. Esta referencia se llama patrón.
Se definió así, un patrón para la longitud, para la masa, la fuerza, el tiempo, luminiscencia.
Todas posibles de comparar. Con esta definición de patrón podemos definir que es medir.
Medir: “Comparar cuantas veces cabe una la magnitud con respecto al patrón”
Entonces debemos estar de acuerdo en los patrones. En la conferencia de 1960 se
definieron los patrones para seis unidades fundamentales y dos unidades complementarias; en
1971 se añadió una séptima unidad fundamental, el mol. A continuación se definen las unidades
bases del sistema de Unidades:
1 Metro: El metro es el largo del paso de la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo
de 1/299792458 de un segundo
1 Kilogramo: El kilogramo es la unidad de masa; es igual a la masa de un prototipo del
Kilogramo.
1 segundo: El segundo es la duración de 9192631770 periodos de radiación
correspondiente a la transición entre dos estado hiperfinos del estado basal del átomo Cs133
1 Ampere: El Ampere es la corriente constante el cual, mantenido en dos conductores
paralelos de largo infinito, de sección circular despreciable y puesta a un metro en el vacío,
producirán una fuerza igual a 2x10-7
newton por metros de largo
1 Kelvin: El Kelvin, unidad termodinámica de temperatura, es la fracción 1/273.16 de la
temperatura termodinámica del punto triple del agua.
1 Mole: El mole es la cantidad de sustancia de un sistema como muchas entidades
elementales como hay átomos en 0.012 Kilogramos de carbono 12. Cuando el mol es usado, las
entidades elementales deben ser especificadas y pueden ser: átomos, moléculas, iones,
electrones, otras partículas o grupo de tales partículas.
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10. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
La siguiente tabla presenta la simbología usado para identificar estas unidades:
Cantidad Física Nombre de la Unidad (SI) Símbolo de la Unidad (SI)
Largo Metro m
masa Kilogramo kg
tiempo Segundo s
Corriente eléctrica Amperios A
Temperatura termodinámica Kelvin K
Cantidad de Sustancia mole mol
Intensidad Luminica candela cd
Existe además unidades derivadas con nombres especiales y símbolos. Esta se presenta
en la siguiente tabla:
Cantidad Física Nombre en el SI Símbolo en el SI Expresión en el
sistema SI, en
unidades bases
Frecuencia3
Hertz Hz s-1
Fuerza Newton N mkgrs-2
Presión Pascal Pa Nm-2
=m-1
kgs-2
Energía, Trabajo,
Calor
Joule J Nm=m 2
kg s -2
Potencia, flujo radiante Watt W Js-1
=m2
kgr s-3
Carga eléctrica Coulomb C As
Potencial eléctrico,
fuerza electromotriz
Volt V JC-1
Resistencia eléctrica Ohm Ω VA-1
Conductancia Eléctrica Siemens S Ω-1
Densidad de flujo
magnético
Tesla T Vsm-2
Flujo magnético Weber Wb Vs
Inductancia Henry H VA-1
s
Temperatura Celcius4
Grados celcius ºC K
Flujo lumínico Lumen lm cd sr
Iluminancia Lux lx cd sr m-2
Actividad Becquerel Bq s-1
Dosis absorbida
(radiación)
Gray Gy J kg -1
Dosis equivalente Sievert Sv J kg-1
Angulo planar Radianes rad 1
Angulo sólido Steradian sr 1
Como se ve en la tabla, todas las unidades se definen a partir de las básicas. Así, un
amstrong (1 A) en el sistema internacional equivale a 10-12
m. Existe varios sistemas de unidades,
pero en general se trabaja con el sistema Internacional (SI). Todas las unidades restantes la puede
ver en las tablas anexas a este capítulo.
Existe además una convención respecto a los prefijos del Sistema Internacional. Estos se
resumen en la siguiente tabla
3
Para frecuencia radial y para velocidad angular la unidad rad s-1
, o simplemente s-1
, es usada y simplificada a
Hz. La unidad Hz deberá ser usada para frecuencias de ciclos por segundo.
4
La temperatura celcius está definido por la ecuación:
Tc/ºC=T/K-273.15
El sistema internacional, los intervalos de la temperatura celcius es el grado celcius, ºC, el cual es igual al
intervalo de a temperatura Kelvin. K.
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11. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo símbolo
1024
yotta Y 10-1
deci d
1021
zetta Z 10-2
centi c
1018
exa E 10-3
mili m
1015
peta P 10-6
micro µ
1012
Tera T 10-9
nano n
108
giga G 10-12
pico p
106
mega M 10-15
femto f
103
kilo k 10-18
atto a
102
hecto h 10-21
zepto z
101
deka da 10-24
yocto y
Estos prefijos se usan antes de la unidad. Un ejemplo es:
1 cm3
= 10-6
m3
= 1 µm3
Es importante tener presente el valor de algunas constantes físicas en el sistema
Internacional de Unidades. Estas constantes, símbolos y valor se presentan en la siguiente tabla:
Cantidad Física Nombre de constante símbolo Valor y unidades en el
SI
Masa Masa del electrón me me≈9.1095x10-31
kg
Carga Carga elemental e e≈1.6022x10-19
C
Acción Constante de Plank/2π h 1.0546x10-34
Js
Largo bohr a0 5.2918x10-11
m
Energía hartree Eh 4.3598x10-18
J
Velocidad luz c 2.99792458x108
m/s
Masa Unidad de masa
unificada uma
u 1.66540x10-27
kgr
Masa protón mp 1.672623x10-27
kg
Masa neutrón mn 1.674929x10-27
kg
Constante Constante
Gravitacional
G 6.6726x10-11 Nm2
/kg2
Constante Constante de los
Gases ideales
R 8.31451 J/mol*K
Constante Boltzmann k 1.380658x10-23
J/K
Existen además otras unidades muy usadas pero no del sistema Internacional, como la
caloría. La equivalencia entre caloría y Joule es la siguiente:
1 cal (termodinámica)=4.184 J
Si necesita conocer mas equivalencias puede ver en el apéndice.
En la siguiente tabla de conversaciones se entrega las equivalencia entre las unidades de
longitud, Masa, Tiempo, Volumen, ángulo, Rapidez, Fuerza, Energía, Presión y potencia
Longitud
1 m= 100 cm = 106
µm = 109
nm = 3.281 ft =39..7 in
1 km = 1000 m = 0.6214 mi
1 cm = 0.3937 in
1 ft = 30.48 cm
1 yd = 91.44 cm
1 mi = 5280 ft = 1.609 km
1 A = 10 –10
m = 10-8
cm = 10 -1
nm
1 milla náutica = 6080 ft
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12. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
1 año luz = 9.461 x1015
m
Area
1 cm2
= 0.155 in2
1 m2
= 104 cm2
=10.76 ft2
1 in2
= 6.452 cm2
1 ft2
= 144 in2
=0.0929 m2
Volumen
1 litro = 1000 cm3
=10-3
m3
= 0.03531 ft3
=61.02 in3
1 ft3
= 0.02832 m3
=28.32 litros = 7.1477 galones
1 galón = 3.788 litros
Tiempo
1 min = 60 s
1 h = 3600 s
1 d (dia)= 86400 s
1 año = 365.24 d = 3.156x 107 s
Angulo
1 rad = 57.30°=180°/π
1° = 0.01745 rad = π/180 rad
1 revolución = 360°= 2π rad
1 rev/min (rpm)= 0.1047 rad/s
Rapidez
1m/s = 3.281 ft/s
1 ft/s = 0.3048 m/s
1 mi/min = 60 mi/h = 88ft/s
1 km/h = 0.2778 m/s =0.6214 mi/h
1 mi/h = 1.466 ft/s = 0.4470 m/s = 1.609 km/h
1 estadio5
/quicena=1.662x10-4
m/s
Aceleración
1 m/s2
= 100 cn/s2
= 3.281 ft/s2
1 cm/s2
=0.01 m/s2
=0.03281 ft/s2
1 ft/s2
= 0.3048 m/s2
=30.48 cm/s2
1 mi/h s = 1.467 ft/s2
Masa
1 kg= 1000 g = 0.0685 slug
1 g = 6.85x10-5
slug
1 slug =14.59 kg
1 u = 1.661 x10-27
kg
1 kg tiene un peso de 2.205 lb cuando g=9.80 m/s2
. El peso es P=mg y es una fuerza
Fuerza
1 N = 105
din =0.2248 lb
1 lb = 4.448 N =4.448 x105
din
Presión
1 Pa = 1 N/m2
= 1.451x10-4 lb/in2
=0.209 lb/ft2
1 bar = 105
Pa
1 lb/in2
=6891 Pa
1 lb/ft2
=47.85 Pa
5
Estadio: medida de 201 m
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13. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
1 atm = 1.013x105
Pa =1.013 bar =14.7 ln/in2
=2117 lb/ft2
1 mm de Hg = 1 torr =133.3 Pa
Energía
1 J= 107
erg=0.239 cal
1 cal = 4.186 J
1 ft lb= 1.356 J
1 Btu ) 1055 J = 252 cal = 778 ft lb
1 eV =1.602 x10-19
J
1 Kwh=3.600x106
J
Equivalencia de masa y energía (E=mc2
)
1 kg <-> 8.988x1016
J
1 u <-> 931.5 MeV
1 eV <-> 1.074x10-9
u
Potencia
1 W = 1 J/s
1 hp = 746 W = 550 ft lb/s
1 Btu/h = 0.293 W
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14. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
Teoría de Errores
Supongamos que queremos medir el diámetro de un lápiz. Tomamos una regla y leemos la
siguiente lectura del instrumento:
3.2 cm
Midamos el mismo diámetro pero con el pie de metro. La lectura que se lee del instrumento es:
3.197 cm
Observe como un mismo objeto, con instrumento distinto, da diferentes resultados. Se
observa una cantidad distinta de números (decimales). En este ejemplo, una cifra coincide. La
medición del pie de metro tiene mas decimales que el obtenido por la regla. El pie de metro entrega
mas información que la regla, tiene mas cifras como resultados. Pero, ¿Porqué? Esto es debido a
que los instrumentos tienen distinta precisión. Precisión: El número de dígitos que un
instrumento puede asegurar en la medida.. Según esta definición el pie de metro tiene mayor
precisión. Sin embargo, un instrumento puede ser preciso, pero no exacto. Exactitud: Se dice que
un instrumento es más exacto en la medida que se acerque al valor real. Entonces para que
un instrumento sea exacto debe ser preciso.
Experimentalmente un instrumento nunca va dar el valor real, pero puede tener una muy
buena precisión y exactitud. Suponiendo que un instrumento tenga buena exactitud, existe un
rango en la medición en que contiene el valor real
En el diagrama, el límite del objeto está entre dos graduaciones del instrumento. De la lectura
directa, nos damos cuenta que una línea está mas cerca, pero no sabemos que tan cerca. Así,
decimos que existe un intervalo de incertesa. Todo instrumento tiene esta región donde no
podemos asegurar que lectura corresponde. Un instrumento es mas preciso que otro, cuando esta
incerteza es menor.
Para expresar esta incerteza hablaremos de un error asociado al instrumento. Definamos error
instrumental.
Error Instrumental: Es la mitad de la mínima medida que puede asegurar.
Así, una regla que está graduada en milímetros tiene un error asociado de 0.5 mm.
La notación de una lectura con error es de la siguiente, forma
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
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Intervalo de incerteza

15. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
a±∆a
donde a es la lectura del instrumento y ∆a es el error asociado.
Si medimos con la regla graduada en milímetros el grosor de un lápiz, la lectura es:
a=0.60 cm
y el error asociado es ∆a=0.05 cm.
Luego, se anota como:
(0.60±0.05)cm
Esta notación nos dice que el valor real está contenido entre 0.65 cm y 0.55 cm. Vamos a
llamar error absoluto a cualquier error asociado a un valor. En el ejemplo el error absoluto es de
0.05 cm.
Definamos el error relativo como el cuociente entre el error asociado a la lectura y la lectura.
En el ejemplo, el error relativo es de:
∆a/a=0.083
Este tipo de error es muy útil. Nos da información de que tan grande es el error con respecto
a la lectura. Este es un buen criterio para tener en cuenta cuando queremos tener resultados
no mayores que cierta variación. Definamos un error complementario al anterior, error
porcentual: Es el error relativo multiplicado por 100.
Este error nos da información del tanto por ciento de error respecto a la lectura. Es equivalente
al error relativo. Calculemos el error porcentual en el ejemplo.
∆a/a*100=8.33%
Este resultado nos dice que porcentaje del error está contenido en la lectura. Ambos errores son
adimensionales.
Supongamos por un instante que conocemos una medida real de un objeto. Medimos el objeto
varias veces y nos da una lectura distinta del real. Obviamente estamos cometiendo un error. Este
tipo de error que se presenta repetitivamente se llama error sistemático. Este tipo de error
depende mucho del diseño experimental y del procedimiento para obtener los resultados.
Es necesario minimizar este error, previendo todos errores sistemáticos que pueden interferir en
la lectura, como la descalibración del instrumento, las mediciones no se tomaron a la temperatura
adecuada.
Se nos pide obtener el tiempo de caída de un objeto desde un metro de altura. Usaremos
para este propósito un cronómetro graduado hasta la centésima de segundo (el instrumento puede
asegurar dos decimales)
Procedemos a medir el tiempo dando los siguientes valores:
Datos de tiempos obtenidos de la caída
T={0.56,0.52,0.52,0.54,0.53,0.51,0.50,0.52,0.53,0.51,0.52,0.53,0.54,0.58,0.52,0.51}
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 15

16. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
Como se observa de los datos, no existe un único valor para la medida, aunque el cronómetro
esté graduado en centésima de segundos.
Estos errores se deben a factores difíciles de controlar, como es el tiempo de reacción humano
Calculemos el histograma de los datos en intervalos de 0.01.
0
0
0
0
0
0
0
H is t o g r a m a d e la s M e d id a s
0
1
2
3
4
5
6
0 4 8 9 1 0 9
0 , 4 8 0 , 5 0 , 5 2 0 , 5 4 0 , 5 6 0 , 5 8
Frecuencia
Como observamos en el gráfico, no existe un único valor. La dispersión de los datos es mayor que
el error del instrumento. No podemos asociar el error instrumental. Entonces la pregunta lógica es:
¿Qué valor debo tomar como verdadero? y ¿qué error le asocio?
He aquí que debemos usar cierto modelos estadísticos: La distribución normal y la distribución
de Poisson.
Distribución Normal o de Gauss
Supongamos que obtenemos un gran número de medidas de un determinado evento (100 datos)
En el histograma se observa una dispersión en torno a un número (Figura 1).
Claramente, se ve en el gráfico un número de veces de medidas que predomina y una dispersión.
Se observa una distribución equilibrada de las medidas en torno al máximo de frecuencias.
Cuando la distribución corresponde a una normal, tomamos como la medida el promedio de los
valores como el representante de toda la muestra. En este caso, el valor es:
m
i f i
f i
i
i
=
∑
∑
* ( )
( )
=3.04625
Si suponemos una distribución del tipo normal, la desviación estándar nos da información del
intervalo en donde está contenido el 90% de los valores. Calculemos la desviación estándar de
esta muestra.
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 16

17. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
σ =
−
− −
∑( )m t
N
N
N
t
N
2
1 1
1
2
=2.212
Gratifiquemos la distribución normal sobre la distribución de los datos.
La distribución normal está dada por:
N t e
m t
( ) *
( )
=
−
−
50
2
2σ
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8 10
Distribución Gaussiana
Distribución
Distribución de los datos
La distribución ajustada obedece bien a la distribución de puntos. El valor medio de este conjunto
de datos es:
t=3.0 ± 2.2
El error absoluto está dado por 2.2. El error relativo en este caso es:
σ
m
= 0 733.
Obviamente, según lo discutido anteriormente, el error que se tiene es muy grande. Es necesario
mejorar la forma de obtener los datos para poder disminuir la dispersión, que hace que aumente el
error
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 17
Figura 1. Histograma de distribución de los datos.

18. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
Algebra de Errores
Uno de los aspectos importantes en el tratamiento de los errores, es saber como debemos
operar aritmeticamente. Supongamos que queremos conocer el largo de un objeto, y no se puede
medir de una sola, ves, sino en dos tramos. Obviamente, la suma de las lecturas corresponde al
largo del objeto. Sin embargo, al usar mas de una ves el instrumento, el error se acumula. Esto se
debe a que la incerteza de cada medida se suma con la medida siguiente. Al restar dos medidas,
los errores no se restan, se suman; los errores se propagan , la incerteza crece. Por tanto es
ilógico pensar que si un instrumento tiene un error de ∆a, al restar va generar un error menor que
del propio instrumento. Usando este criterio, decimos que los errores se propagan. Cada ves que
haga una operación con errores, el error resultante de la operación debió haber crecido con
respecto a los errores relativos anteriores.
Definamos las operaciones de los errores:
Sean a±∆a y b±∆b, lecturas con sus errores.
• Suma
(a±∆a) +( b±∆b)=(a+b) ±(∆a+∆b)
• Resta
(a±∆a) -( b±∆b)=(a-b) ±(∆a+∆b)
Nótese que los errores se suman y las lecturas de las medidas se restan.
• Multiplicación
(a±∆a) *( b±∆b)=(a*b) ±(a*b(∆a/a+∆b/b))
Fíjese, que el error es el producto de la suma de errores relativos con el producto a*b
• División
(a±∆a)/( b±∆b)=(a/b) ±(a/b(∆a/a+∆b/b))
con b≠0. Nuevamente, el error asociado a la división es el producto de la suma de
los errores relativos con el resultado de la división.
Esto define las operaciones básicas en el álgebra de los errores. Sin embargo, ¿qué haríamos si
tenemos que evaluar una función con una cifra que tiene un error? Supongamos que tenemos una función
f(x), analítica y una medida a±∆a. Al evaluar la función nos quedará:
f(a±∆a)
Y esto, ¿qué quiere decir? En realidad esto es solo una notación. Para señalar que la evaluación de la función
debe llevar un error asociado. Entonces, ¿cómo calculamos el error?
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 18

19. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
En términos experimentales, podemos pensar que ∆a es pequeño comparado con a. Si es así,
podemos hacer una expansión de Taylor de la función f(x), en torno al punto a y usando un
diferencial ∆a. La expresión nos queda como:
f(a±∆a)=f(a)± ∆a|f’(a)|
No se expandió con mas términos, debido a que los términos superiores de la serie son pequeños en relación
al primero. El error asociado a la función en el punto f(a±∆a) es ∆af’(a) (f’(a), es la derivada en el punto
en a).
Veamos un ejemplo:
Sea f(x)=x3
. Se quiere evaluar en el punto 1.2±0.2.
f(1.2±0.2)=1.23
±0.2*3*(1.2)2
=1.728±0.864=1.7±0.96
Sea f(x)=sin(x). Evaluemos en el punto 1.2±0.2
f(1.2 ±0.2)=sin(1.2 ±0.2)=sin(1.2)+0.2*cos(1.2)=0.02 ±0.02
En el caso de una función de varias variables, el error asociado a tal cantidad se asocia de
la siguiente forma: El error de la función f(x1,x2,x3,..,xn) será
∆ ∆f x
f
x
i
i
≈ ∑ | |
∂
∂
Esta fórmula es consecuencia de la expansión de Taylor hasta un primer orden de una función de
varias variables.
Veamos un ejemplo:
Sea f(x,y)=x2
sin(y), evaluado en el punto (x,y)=(2.0±0.2,3.14±0.05)
f(2.0±0.2,3.14±0.05)=2.02
*sin(3.14)±(0.2*2*2.0*sin(3.14)+0.05*2.02
|cos(3.14)|)
f(2.0±0.2,3.14±0.05)=0.00637±0.2=0.0±0.2*
En caso de las constantes numéricas, estas no llevan error para efectos del calculo. Sólo
se recomienda que se tomen dos dígitos mas que el primer dígito afectado por el error. Por
ejemplo, multipliquemos 2.01±0.03 por π. En este caso, π se toma con los siguientes dígitos
3.1416. Al multiplicar por una constante se multiplica la lectura y el error:
3.1416*2.01±3.1416*0.03=6.314616±0.094248=6.31±0.09*
6
Criterio de aproximación. Ver siguiente página
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 19

20. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
Criterio de Aproximación
En el calculo con errores, vemos que los errores asociado afectan a una cifra dentro de la
lectura. Veamos en un ejemplo:
Se tiene la siguiente medición
3.012±0.002 pies
Nótese que el error 0.002 afecta sólo al 2 de la cifra, las restantes se dicen que son seguras, se
dicen que son las cifras significativas. La variabilidad va estar en la cifra que afecta el error (desde
3.010 a 3.014).
Supongamos ahora, que efectuamos un cálculo y se obtiene el siguiente resultado:
3.0114116±0.0007687
Tal como está escrito la cifra y su error, no corresponde. El número que está afectado en la
cifra es el 4. Los decimales restantes (1,1 y el 6) no contribuyen las cifras significativas. Del
mismo modo los decimales de mas allá del 7 en el error, tampoco contribuye a la cifra, es mas
estas cifras no contribuyen a la interpretación. Entonces, el criterio usado, es aproximar la medida
hasta el número que esta afectado por el error: En este caso el 4. Si el número siguiente del cuatro
está cercano a cambiar el dígito (5 a) el cuatro se aproxima a 5, en caso contrario, el 4 sobrevive.
En el ejemplo, el decimal siguiente es 1. Luego, la cifra es 3.0114. el error se aproxima hasta el
primer decimal distinto de cero. En este caso el 7. El número siguiente está mas cercano a 9; el
error se aproxima a 8. La cifra queda:
3.0114±0.0008
En el caso que cualquiera de las dos cifras termine en cinco, se plica el siguiente criterio:
• Si el número anterior al cinco es par, se redondea a la cifra siguiente (45 a 50)
• Si el número anterior es impar, se redondea a la cifra anterior (35 a 30)
La fundamentación es que existe una igual probabilidad de número pares e impares
anteriores al digito 5. (Obviamente el error debe afectar a la cifra anterior al 5). Entonces, subirá
una cantidad igual a la que bajará.
3.15±0.1=3.0±0.1 (Impar)
3.25±0.1=3.3±0.1 (Par)
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 20

21. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
Presentación Gráfica
Uno de los aspectos importantes de una discusión de los resultados es vislumbrar la
relación que existe entre las variables. Un método de encontrar la relación empírica de estas
variables es por medio de un gráfico. Se confeccionan gráficos que permitan la visualizar
directamente tendencias que siguen dichas variables y, por medio de un tratamiento matemático,
obtener la ley o ecuación que las relaciona.
Confección de un gráfico
Para elaborar un gráfico es necesario tener presente los siguientes aspectos:
1. Se deben seleccionar las escalas de los ejes es decir, se gradúan en intervalos de tal
manera que se ocupe la hoja o parte de ella, evitando que la gráfica quede reducida a
una pequeña porción de esta.
2. En el extremo final de cada eje se coloca el símbolo o nombre de la magnitud física
representada y el factor que podría amplificar las unidades de medida
correspondientes.
3. En el eje vertical va siempre la variable dependiente y en el horizontal, la
independiente.
4. Todo gráfica debe llevar un título claro, breve y con una referencia a la tabla de la que
provienen los datos. Junto al gráfico, no deben ir, ni cálculos, ni tablas, ni fórmulas.
5. Los puntos que representan los datos deben ser notorios. Estos pueden ser
simbolizados por puntos negros (•), cruces (×), u otros símbolos (⊕). En algunas
circunstancias, estos puntos deben ir con los errores para mostrar la relevancia de los
errores en la interpretación de los resultados.
6. La unión de los puntos se hacen por medio de una curva suave y continua (sin
cambios repentinos de pendientes) que se adapte lo mejor posible al conjunto de
puntos.
Observemos un gráfico de este tipo.
Nótese la disposición de los da la curva teórica.
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 21
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
0 2 4 6 8 10
Diámetro (cm)
Tiempo (seg)
Gráfico de Diámetro de una Gota v/s Tiempo
Datos experimentales
Curva teórica

22. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
Las graduaciones son muy importantes, permiten ver el rango de los datos.
Nótese, no se trazan líneas desde las ordenadas (x) y las coordenadas (y) al punto.
Veamos un gráfico en donde los errores están graficados:
Cómo vemos en el gráfico, los errores son bastante apreciables. Se pueden trazar
varios tipos de curva que representen al conjunto de puntos y que están dentro de los
errores.
Búsqueda de la relación funcional entre variables
Uno de los propósitos de confeccionar un gráfico de datos experimentales es para
encontrar la relación que existe entre dos variables. Es necesario partir de ciertos
supuestos:
• Dicha relación funcional existe
• Dicha relación se manifiesta en los datos experimentales obtenidos
• Dicha relación puede ser llevada, a través de manipulación matemática, a una relación
lineal que nos permitirá obtener los parámetros de la relación funcional buscada (Este
proceso se llama rectificación).
Los dos primeros supuestos son necesarios para que tenga sentido nuestro análisis, el
tercero es más discutible y se aceptará en lo que sigue, pues se cumple para la mayoría de
las experiencias que estudiaremos.
Para hallar la relación debemos proceder de la siguiente forma:
1. Primero se mide y se confecciona una tabla de datos.
2. Se procede a graficar los datos obtenidos. El comportamiento del conjunto de puntos puede
representar:
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 22
4
6
8
10
12
14
0 10 20 30 40 50 60
Disnatcia(cm)
Tiempo (seg)
Datos con errores graficados
Datos

23. Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.
2.1. Una relación lineal (Una recta)
2.2. Una relación no lineal (Una curva)
3. En el caso en que la relación obtenida sea una relación no lineal, se rectifica hasta obtener
una relación lineal (línea recta) entre las variables. Rectificar es el proceso de llevar una
relación no lineal a una lineal , operando el dominio y/o el conjunto imagen.
4. Sabemos ahora que la relación que muestra la gráfica es una recta y por tanto podemos
calcular las constantes o parámetros de dicha recta y encontrar la ecuación.
5. Se interpreta el valor de las constantes encontradas en términos de la física del problema.
6. Invertir el proceso de rectificación a fin de expresar la variable dependiente en términos de las
independientes.
Veamos un ejemplo explicado en los puntos previos
Relación Lineal:
Supongamos que obtenemos el siguiente conjunto
de datos de un experimento
Tabla 1.1 Flujo de agua a través de un tubo
Gradiente de Presión
(N m-3
)
Velocidad promedio
(mm seg –1
)
7.8 35
15.6 65
23.4 78
31.3 126
39.0 142
46.9 171
54.7 194
Elaboremos un gráfico con estos datos:
Cómo observamos, el conjunto de
puntos tiene una tendencia de comportamiento lineal
(una línea recta). Entonces se deben calcular los valores
de los parámetros de la recta Y(x)=mx+n, donde m y n
son los parámetros.
Relación no lineal
Tenemos el siguiente conjunto de datos de Voltaje de
una ampolleta en función de la corriente
Tabla 1.2 Voltaje de una ampolleta en función de la
corriente
Voltaje Ampere
0 0
0.25 5
1.00 10
2.25 15
4.00 20
6.25 25
8.56 30
Cómo se ve en el gráfico Voltaje v/s corriente, es una relación no lineal. Debemos llevar la
relación entre los puntos a una relación lineal. En este caso, por conocimiento previo, podemos
elevar al cuadrado los valores de la corriente I, y graficar el voltaje v/s la corriente al cuadrado.
Esto genera una línea recta. También se puede graficar la raíz cuadrada del voltaje v/s corriente.
Estas son forma de llevar una relación no lineal a una lineal. Enseguida el problema se
basa en poder calcular los parámetros m y n de la ecuación de la recta. Este procedimiento
lo estudiaremos enseguida.
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 23
Gráfico de Diferencia de Presión v/s
Velocidad
0
50
100
150
200
250
0 2 4 6 8
Velocidad (mm/seg)
Presiín(N/m3)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 5 10 15 20 25 30
voltaje(Volt)
Corriente (A)
Gráfico de Voltaje v/s Corriente
I**2*.010

24. Calculo de los parámetros de la Recta Y=mx+n
Cómo sabemos existen las relaciones lineales, que se rigen por la ecuación Y=mx+n. el
problema es conocer los valores de m y n a partir de los datos experimentales. Para este propósito
existen tres métodos básicos
1. El método gráfico
2. El método de los promedios
3. El método de la regresión lineal o mínimos cuadrados.
Todos estos métodos buscan conocer los valores de m y n. Sin embargo, los valores de
estos presentan variaciones dependiendo del procedimiento empleado. Veamos un
ejemplo:
Supongamos que tenemos la siguiente tabla de valores:
Tabla 2. Temperatura del agua en función del tiempo, al calentarse en la llama.
Tiempo (seg) Temperatura (ºC)
1.0 20.0
1.5 22.5
2.0 25.0
3.0 30.0
5.0 40.0
6.0 44.8
7.0 51.0
El gráfico que se obtiene es:
Cómo se observa en el gráfico tiene un comportamiento lineal. La ecuación en este caso
es: T=mt+n, donde T es la temperatura y t, el tiempo. Calculemos los valores de m y n por los
distintos métodos:
1.-Método gráfico
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 24
Temperatura v/s tiempo
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8
Tiempo (seg)
Temperatura(ºC)

25. El método gráfico depende fuertemente de la apreciación del observador. En el método, se traza
“la mejor recta “ que represente al conjunto de puntos. Una vez trazada la recta, se leen dos
pares de puntos, que sean distante uno del otro y se procede a calcular la pendiente m.
Sea el punto A=(1.0,20.0) y el punto B=(4,35). La pendiente está dado por:
seg
C
seg
C
xx
yy
m
º
5
)14(
)º2035(
12
12
=
−
−
=
−
−
=
Nótese que la pendiente tiene unidades. Para calcular n, podemos tomar un A ó B u otro
punto de la recta y despejar n. Así, n queda con la expresión:
Cmxyn º154*535 =−=−=
Luego la ecuación que rige este comportamiento es:
T=5*t+15 (ºC)
2.-Método de los promedios
Esencialmente se resuelve un sistema de ecuaciones n variable con n ecuaciones. En este caso,
son dos la variables a conocer: m y n. Para generar los dos sistema de ecuaciones, podemos
agrupar los datos en dos conjuntos. Cada conjunto debe cumplir con la condición:
yi=mxi+m
Tomemos el primer grupo de ecuaciones:
20.0=m*1.0+n
22.5=1.5*m+n
25=2.0*m+n
La suma da:
67.5=4.5*m+3n
El segundo grupo:
40=5*m+n
44.8=6*m+n
51.0=7*m+n
La suma da:
135.8=18*m+3n
Tenemos el sistema de ecuaciones:
67.5=4.5*m+3n
135.8=18*m+3n
Al restar las ecuaciones y despejar m, nos da un valor de m=5.059 ºC/seg. Y la constante
n=14.85 ºC. La ecuación de la recta queda de la forma:
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 25

26. T=5.059t+14.85 ºC
Método de los Mínimos cuadrados.
Este es uno de los mejores métodos numéricos para encontrar las incógnitas de la recta,
en base de los datos. Este método se basa en la siguiente definición:
La mejor curva de ajuste de todas las curvas de aproximación a una serie de datos
experimentales es la que hace mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones de la curva.
Definamos las desviaciones. Las anotamos como Di=yi-f(xi). Para una recta f(x)=mx+n.
Definamos una cantidad que es siempre mayor o igual a cero, S como:
∑=
=
N
i
iDS
0
2
donde N, es el número de pares de dato. La idea básica es hacer este número mínimo. Para esto
se minimiza con respecto a m y n, de tal modo que sea igual 0; esto es:
0=
∂
∂
m
S
y 0=
∂
∂
n
S
Despejando del sistema de ecuaciones los valores de m y n, obtenemos las siguientes
expresiones:
D
yxNyx
m i
ii
i
i
i
i ∑∑∑ −
=
)())((
y
donde D es igual a:
∑ ∑−=
i i
ii xNxD )()( 22
Con estos resultados podemos calcular los valores de m y n. En este caso nos da m=5.09
±.0.06 ºC/seg. y n=14.8±0.3 ºC. Sin embargo, existe otro parámetro que entrega este método, que
nos dice que tan buena es la recta con respecto al conjunto de puntos. Este parámetro se llama el
factor de correlación y lo anotaremos con la R. La expresión de R es:
y
x
mR
σ
σ
=
donde σx y σy están dados por las desviaciones estándares de cada variable. El módulo de R
siempre está contenido entre 0 y 1; pero se dice que una recta describe bien los puntos cuando R
es mayor que 0.9 (R>0.9). En el caso de la recta calculada con los datos nos dio: R=0.999595307.
Este método numérico está incorporado a la mayoría de las calculadoras científicas. En estas viene
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 26

27. bajo el nombre de LN (Linear Regreation) y entregan como resultados la pendiente, la constante y
el factor de correlación entre otros.
En una tabla resumen se presenta los resultados obtenidos por cada método:
Tabla de los resultados de pendiente y constante de la recta con los distintos métodos
Método Gráfico Promedio Mínimos cuadrados
M 5.00 5.06 5.09
N 15.0 14.85 14.80
. Cada método tiene una ventaja y una desventaja:
El método gráfico, se aplica básicamente para obtener un resultado rápido de una serie
de mediciones y probar que el procedimiento empleado está bien encaminado. Sin embargo, el
resultado que entrega, no es muy confiable numéricamente, ya que toma solo dos puntos del
conjunto.
El método de los promedios, es un mejor método que el anterior, ya que toma todos los
puntos de los datos obtenidos. Sin embargo, este método necesita de un conjunto de datos, que se
puedan agrupar (sobre 8) para lograr un resultado satisfactorio.
Es un buen método, pero no suficiente.
El método de los mínimos cuadrados (regresión lineal), es el mejor método de los tres.
Calcula los parámetros usando todos los puntos del conjunto de datos por un procedimiento en
donde encuentra la mejor recta posible. Los valores de m y n son los óptimos. Además, el
parámetro R nos indica que tan buena es esta recta para el conjunto. Cualquier conjunto se puede
ajustar una recta, aunque no se comporte como tal. Este índice diferencia este punto.
Veamos en un gráfico las rectas calculadas y los datos.
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 27

28. Cómo podemos observar, los ajustes siguen las tendencias de los datos. Esto
debido a que los resultados obtenidos están cercanos. En este ejemplo el conjunto de punto tenía
un comportamiento muy lineal.
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 28
Gráfico de Temperatura v/s Tiempo
Distintos métodos
0
10
20
30
40
50
60
0 2 4 6 8
Tiempo (seg)
Temperatura(§C)
Datos
Gr fico
Promedio
M¡nimos cuadrados

29. Gráficos no lineales
Veamos fenómenos no lineales. Para encontrar la relación entre las variables en un gráfico
no lineal, debemos rectificar. Para rectificar debemos basarnos en parte en la experiencia personal
en el tratamiento de los datos y en la teoría del problema. Supongamos que tenemos la siguiente
tablas de datos de un experimento del estudio del periodo un péndulo simple con respecto de su
largo.
Tabla. Periodo v/s el largo de un péndulo simple
Periodo (seg) Largo (m)
0.238 0.02
0.634 0.10
0.777 0.15
0.898 0.20
1.00 0.25
1.10 0.30
1.27 0.40
1.42 0.50
Al graficar los datos de la tabla, se observa el siguiente comportamiento:
Este no es un comportamiento lineal. Sin embargo, queremos que al operar sobre los datos
(Periodo y/o largo) tenga una comportamiento lineal. Sabemos que la teoría del problema señala
que el periodo de un péndulo es:
g
l
T π2= [1], donde l es el largo del péndulo; g, la
aceleración de gravedad y T, el periodo.
Según esta ecuación [1], si elevamos al cuadrado la igualdad, obtenemos una relación lineal entre
el cuadrado del péndulo y el largo de este. Esta relación es:
g
l
T 22
4π= . Observemos el nuevo
gráfico.
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 29
L,Largo del
péndulo
Largo v/s Periodo
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 0,5 1 1,5
Perido (seg)
Largo(m)

30. Observe el comportamiento es lineal. Es esta situación podemos aplicar los métodos de ajuste a
una recta.
Sin embargo, no es el único proceso de rectificado. Supongamos que graficamos los logaritmos de
ambas variables.
Observe que también tiene un comportamiento lineal. Sin embargo, el rectificado se
efectuó de forma distinta. Ambos casos se pueden aplicar los métodos de ajuste de la recta, pero
la diferencia va a estar en la interpretación de los valores de la pendiente y la constante.
En el primer caso, la pendiente da un valor equivalente a: gm /4 2
π= y la constante
debiera tener un valor de 0. Sin embrago, lo más probable es que sea distinto, por la dispersión de
los datos. Se debería esperar un valor Cercano.
En el segundo caso, al aplicar la función logaritmo a ambos lados de la ecuación nos da la
siguiente igualdad:
)ln(
2
1
)
2
()( l
g
LnTLn +=
π
En este caso el valor de la pendiente corresponde a m=½ y la constante a n=ln(2π/g 0.5
).
Nótese que la información depende fuertemente de la forma de tratar los datos. Estos dos forma de
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 30
Periodo al cuadrado v/s Largo
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 0,5 1 1,5 2 2,5
Periodo al cuadrado (seg^2)
Largo(m)
Logaritmo del Largo v/s Logaritmo del
Periodo
-5
-4
-3
-2
-1
0
-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5
Log(Periodo)
Log(Largo)

31. tratamiento no son las únicas formas; se pudo haber graficado periodo v/s la raíz cuadrada del
largo y obtener nuevamente una recta, pero cuya pendiente correspondería a 2π/g 0.5
y n debiera
tener un valor próximo a cero.
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 31

32. Calculo de ajuste de curvas a conjuntos de datos
En el laboratorio estudiamos un capítulo de gráfico donde se representa la
relación entre las variables experimentales. Como sabemos, existen varios métodos de
ajuste de recta. Dentro de estos métodos está ajuste de mínimos cuadrados. Las
calculadoras traen programados un conjunto de operaciones que permiten obtener el
ajuste a las curvas.
La primera en estudio, es una planilla excell ajuste del tipo Y=mx+n
1. Un peso se suspende del centro de una barra de acero apoyada en sus extremos; del
deflexión del centro se mide por medio de un indicador de alturas, cuyas lecturas se
indican por Y. Se obtienen los siguientes valores:
MASA (GR) Y µM
0.0 1642
0.5 1483
1.0 1300
1.5 1140
2.0 948
2.5 781
3.0 590
3.5 426
4.0 263
4.5 77
A) Represente los puntos sobre una gráfica y trazar a ojo la mejor línea recta.
Hágase una estimación del error típico de la pendiente, colocando una regla
transparente a lo largo de los puntos y observando cuáles deben ser los
límites razonables de la posición de la recta.
B) Calcule la mejor recta (valor de pendiente y constante) su error por el método
de los mínimos cuadrados. Compare su resultado con el anterior.
La representación gráfica es del tipo XY. Este tipo de representación ubica el
punto XY en el espacio (plano). Los otro tipos de gràficos, no tienen representación real
en el eje X, por tanto, la presentación del gráfico es más bien cualitativa. El gráfico
siempre debe ir con título y describir claramente con que tabla está relacionado
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 32
Tabla 1.1Tabla de elongación vertical en función de la carga
masa

33. Elongación v/s masa del alambre
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0 2 4 6 8 10 12
Masa (gr)
elongación(microm)
En este momento prodeceremos a ajustar una recta al conjunto de datos, ya estos
se comportan como una recta.. Obviamente, como se observa en el gráfico de la figura 1,
la pendiente debiera ser negativa.
En la planilla de EXCEl, existe una función que dentro de la funciones estadísticas
y que se denomina pendiente: Se selecciona la coluna correspondiente a los datos Y, y la
columna de los datos de X. El resultados da:
El resultado de la pendiente es m= -349,236364 microm/gr
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 33
Figura 1. Grafico de elongación v/s carga de masa. Tabla 1,1

34. Ahora debemos que calcular la constante n. Para eso se utiliza una función dentro de
las clasificadas es Intersecciòn.
Esta función calcula el valor de n de la ecuación de ajuste. El valor de la función es:
1650,78182 microm.
La ecuación de ajuste es: y= -349,236364x+ 1650,78182 microm. También la planilla excel
tiene una función que el parámetro de ajuste R pero su valor al cuadrado :coeficiente de
correlación
Este número es: -0,99990656
La representación gráfica es:
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 34

35. Elongación v/s masa del alambre
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0 1 2 3 4 5
Masa (gr)
elongación(microm)
Y (microm)
Ajuste
Ajuste del tipo de funciones: Y=a+bx+c*f(x), donde f(x) es una función y c es el
coeficiente constante.
Supongamos que tenemos un conjunto de datos que se presentan en la
siguiente tabla
X Y
1 6,469145
1,4 5,848504
1,5 5,680045
1,6 5,510172
1,7 5,340882
1,8 5,174169
1,9 5,011998
2 4,856290
2,1 4,708903
2,2 4,571609
2,3 4,446082
2,4 4,333875
2,5 4,236412
2,6 4,154966
2,7 4,090652
2,8 4,044413
La representación gráfica de estos datos es:
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 35
Figura 2. Este es la representación de los datos con el ajuste.

36. Grafico no lineal
0,000000
1,000000
2,000000
3,000000
4,000000
5,000000
6,000000
7,000000
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
X
Y
Sabiendo que la relación son del tipo Y=a+bx+cCOS(x).
Para obtener los valores de a,b y c se obtienen de la siguiente forma: Se utiliza la función
estimación.lineal().
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 36
Figura 3. Representación gráfica de los datos de funciones no lineales

37. Se generan valores con columnas de valores de x y cos(x).
x cos(x)
1 0,54030231
1,4 0,16996714
1,5 0,0707372
1,6 -0,02919952
1,7 -0,12884449
1,8 -0,22720209
1,9 -0,32328957
2 -0,41614684
2,1 -0,5048461
2,2 -0,58850112
2,3 -0,66627602
2,4 -0,73739372
2,5 -0,80114362
2,6 -0,85688875
2,7 -0,90407214
2,8 -0,94222234
Se selecciona en X todos los valores asociado a x. También se debe utilizar la función
INDICE() para invocar el valor de salida de matriz (ver ayuda de estimación lineal) El gráfico que
se obtiene es:
Grafico no lineal
0,000000
1,000000
2,000000
3,000000
4,000000
5,000000
6,000000
7,000000
8,000000
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
X
Y
Y
ajuste
El ajuste arroja los siguientes resultados:
c= 2,17429505
b= 0,39480598
a= 5,18180798
Recuerde que la función son F(x)=a+b*x+c*cos(x)
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 37

38. También existen otros programas como openoffice y gnuplot (Manual Gnuplot). Estos
programas gratuitos. En particular, gnuplot tiene un poder de despliegue de mejor desde
el aspecto científico.
Observe el gráfico siguiente:
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25
Temperatura(C)ﾺ
Tiempo (Horas)
Grafico de temperatura v/s Tiempo
Nótese los errores graficados en el eje Y.
Vamos a ajustar una función del tipo Y=asin(bt). Esto se realiza con la función fit.
El gráfico con ajuste se observa como:
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
0 5 10 15 20 25
Temperatura(C)ﾺ
Tiempo (Horas)
Grafico de temperatura v/s Tiempo
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 38

39. El resultado del ajuste da:
A = 1.0504 +/- 0.00515 (0.4903%)
B = 0.262197 +/- 0.0003268 (0.1247%)
Este un resultado esperado y bien presentado, tiene los errores asociados: porcentual y
absoluto.
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 39

40. Ejercicios de errores gráficos:
2. En los siguientes ejemplos , Z es una función dada de las cantidades A,B,C,... medidas
independiente. Calcular el valor de Z, con su error típico ∆Z a partir de los valores dados de
A±∆A, B ± ∆B, ...
a) Z(A)=A2
, A=25±1
b) Z=A-2B, A=100±3, B=45±2
c) Z=A/B(C2
+B2
), A=0.100±0.0003, B=1.00±0.05, C=50.0±0.5, D=100±8
3. Las cuatro mediciones más precisas de c, velocidad de la luz) dadas son:
299 793.1 m/seg
299 793.0 m/seg
299792.85 m/seg
299 792.50 m/seg
299 792.45 m/seg
Calcule el valor promedio y el error típico.
4. Una barra rectangular de latón de masa M tiene dimensiones a,b,c. El momento de inercia I
con respecto a un eje a un eje por el centro de la cara ab y perpendicular a a es :
)(
12
22
ba
M
I +=
Se hacen las mediciones y se obtienen los siguientes valores:
M=135.0±0.1 gr.
a= 80±1 mm
b= 10 ±1 mm
c= 20.00±0.001 mm
¿Cuál es el error porcentual típico en: a) La densidad, b) momento de inercia?
5. Un peso se suspende del centro de una barra de acero apoyada en sus extremos; del
deflexión del centro se mide por medio de un indicador de alturas, cuyas lecturas se indican
por Y. Se obtienen los siguientes valores:
MASA (GR) Y µM
0.0 1642
0.5 1483
1.0 1300
1.5 1140
2.0 948
2.5 781
3.0 590
3.5 426
4.0 263
4.5 77
C) Represente los puntos sobre una gráfica y trazar a ojo la mejor línea recta. Hágase una
estimación del error típico de la pendiente, colocando una regla transparente a lo
largo de los puntos y observando cuáles deben ser los límites razonables de la
posición de la recta.
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 40

41. D) Calcule la mejor recta (valor de pendiente y constante) su error por el método de los
mínimos cuadrados. Compare su resultado con el anterior.
6. A continuación se da una tabla de datos de radios de la órbitas de los planetas y su respectivo
periodo.
Planetas Radio orbital (m) Periodo
rcurio 5.79E7 8.80E1 días
Venus 1.084E8 2.25E2 días
Tierra 1.50E8 3.65E2 días
Marte 2.28E8 6.87E2 días
Júpiter 7.78E8 1.19E1 años
Saturno 1.43E9 2.95E01 años
Urano 2.87E9 8.40E1 años
Neptuno 4.50E9 1.65E2 años
Plutón 5.90E9 2.48E2 años
Grafique el periodo v/s el radio orbital. ¿Que observa? Esta relación no es parabólica. Encuentre la
relación entre las variables. Consulte los libros y busque “Leyes de Keppler”.
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 41

42. Preinforme de laboratorio.
Para entender mejor el experimento, se exigirá un preinforme. El Objetivo es preparar al
alumno en el desarrollo del experimento y análisis de los datos.
El documento que elabore es escueto e individual. El preinforme se compone de las siguientes
parte:
• Identificación: El alumno da su nombre, sección y número de matrícula.
• Tema: De que trata la sesión. No es el título, si de que versa el laboratorio. Un ejemplo
puede ser “Los cometas”.
• Título: El título del trabajo señala rápidamente el tema de que trata. Una descripción muy
general, Un ejemplo es: “Impactos de cometas en la superficie de la tierra”
• Hipótesis de Trabajo: Tal vez es la sección más importante del preinforme. Es la
suposición básica que es tomada como verdadera en el desarrollo del trabajo. Esta puede
ser falsa, pero demuestra al contrastar con los resultados obtenidos. Un ejemplo: “Los
cometas no pueden chocar con la tierra”.
• Antecedentes históricos: En la mayoría de las veces, existen antecedentes previos sobre
un tema. Alguien o algunos han enfrentado este problema antes. Es importante saber para
un trabajo, quienes fueron y como lo enfrentaron y saber que resultados obtuvieron. Es
bueno, esto debido a que el problema que usted enfrenta puede tener ya una solución y
sirve como comparación de sus resultados con anteriores. También se da el caso, que los
resultados anteriores sean distintos por metodologías distintas a la empleada por usted.
• Análisis teóricos: En las ciencias experimentales, es bueno tener un marco teórico cuyo
desarrollo está basado en las hipótesis. Esto porque, con el análisis podemos predecir un
posible resultado que debería observarse basado en la hipótesis.
• Procedimiento experimental: En este punto, debe relatar cómo va a lograr demostrar la
veracidad de la hipótesis en forma experimental. Recuerde que usted no ha hecho el
experimento, pero puede describir como lo haría.
• Resultados esperados: Sobre la base de la hipótesis y en análisis teórico usted puede
esperar cierto resultado. Debe expresar que espera, que tipo de resultado.
• Antecedentes Bibliográficos: Aquí debe presentarte de donde obtuvo la información para
realizar el trabajo, libros, revistas, INTERNET. La forma de presentar esta información esta
detallada en el capítulo de elaboración de un informe, sección bibliografía.
La filosofía es prepararlo en la presentación de pre-proyectos. Argumentar cada paso que va
hacer en el laboratorio. Recuerde que no es un informe. Esto preinforme no debe mas extenso que
una hoja. En la página se presenta el formato.
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 42

43. Preinforme de Laboratorio.
Tema (De que versa el experimento):
Título:
Hipótesis de Trabajo: ( Declarar claramente la hipótesis sobre la cual se trabajará el
experimento)
Antecedentes históricos del problema: (Revisión histórica de antecedentes del problema.
Presentación del problema).
Análisis teórico (Sí corresponde, Aspectos teóricos del problema que rigen el experimento).
Procedimiento Experimental: ( ¿Qué?, ¿Para Qué? Y ¿Cómo? Descripción de los materiales a
usar y cómo estos se usara en el desarrollo del experimento. Detallar las labores de cada uno de
los integrantes en el desarrollo del experimento y análisis de los datos)
Resultados esperados: (Previa discusión de los posibles resultados que deberían obtenerse en
base al análisis teórico y el procedimiento experimental)
Antecedentes Bibliográficos: (Bibliografía usada que respalde la forma de enfrentar los
problemas tanto teórico como práctico)
Confección de un informe
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 43
Nombre:
Matrícula: Fis 32* -Sección:

44. En el trabajo de laboratorio, una vez realizado los experimentos, es necesario informar los
resultados obtenidos. Esta información no va presentada en forma arbitraria, si no que existe un
orden de la presentación. Esta presentación debe ser ordenada, escueta y clara. Los informes no
son trabajo escritos extensos, pero deben revelar claridad en la exposición del problema, análisis
del problema y conclusiones de este.
Para tener un acuerdo de la presentación de los informes. Definiremos los puntos que se
deben poner:
• Título
• Autores (Direcciones, referencias)
• Resumen en ingles y español
• Introducción, tanto del problema como teórico
• Montaje y procedimiento experimental.
• Resultados experimentales.
• Discusión
• Conclusión
• Bibliografía.
• Apéndices
El informe debe ser confeccionado en papel tamaño carta, escrito en el computador, con
un margen izquierdo y un inferior de 3 cm/lado. Se usará doble espacio; el tipo de letra será Time
New Roman. Las figuras, tablas se identificarán con un número, que es del número correlativo.
Las tablas, el número en la parte superior seguido de un título de presentación. Los números que
identificarán las fórmulas se colocarán en el extremo derecho de las mismas y entre paréntesis.
Los números correspondiente a figuras se colocarán en la parte inferior de ellas seguido de un
comentario o título de la figura. En general las ilustraciones (gráficos, láminas, fotografías) no
deben ser pegados como pequeñas láminas intercaladas en el texto, o fotocopiados en hojas
separadas, sino quedar ubicadas dentro de la página que se cita.
En la hoja frontal, debe aparecer el Título, los Autores y los resúmenes (en español e
ingles) del trabajo. En páginas posteriores, se desarrollan los otros puntos. que se definirán.
Expliquemos mas en extenso cada punto.
Título:
El título del trabajo señala rápidamente el tema de que trata. Una descripción muy general.
Este debe ser escrito en letras negras de tamaño 18. Este no deber ser mas extenso, en
general, de tres líneas. Un ejemplo de un título sería:
“Medición de la aceleración de gravedad, usando
un péndulo simple.”
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 44

45. Como podemos leer, está claro que se mide la aceleración de gravedad (problema) y la
metodología empleada. Si alguien busca sobre la aceleración de gravedad, sabe
solamente con el título, que este trabajo trata sobre ello. Sin embargo, sí busca sobre los
valores de la medición de la aceleración, usando oscilaciones de un resorte, este trabajo
no le va ayudar en su investigación. Pero le va servir, como comparación con otros
métodos empleados.
Autores
Aquí se deben poner a los autores del trabajo. Generalmente los autores, se colocan dos
líneas bajo el título. El orden que se debe colocar, es el siguiente:
Nombre completo, Dirección postal (además email). Veamos un ejemplo de la disposición
de varios autores:
Espiridion Vermudes
Universidad de Catar
Fac. de Ingeniería
Av. Ossenband 245
Catar
email: evermude@yahoo.cl
Nótese que el primer autor, tiene sus referencias bajo del nombre; los otros dos, trabajan
en la misma Institución y ambos en el mismo departamento.
Resumen y/o abstract
El resumen es una descripción breve del trabajo, no más de 15 líneas. El objetivo del
resumen es dar un vistazo escueto sobre el objetivo del trabajo, procedimiento, resultado y
conclusión de este; de modo que un lector, con leer el resumen puede evaluar si el trabajo
es de su interés. El abstract, es el resumen en ingles.
Todos lo puntos discutidos están en la primera hoja, siendo lo primero que ve el lector. El resumen
va centrado en la página seguido del abstract (véase informe ejemplo).
En la página siguiente va la introducción.
Introducción
En la introducción se presenta el problema y se analiza los antecedentes históricos de
este. Se destaca su importancia y su relevancia en el medio. Esto no es un resumen del
informe, sino una presentación. Enseguida se analiza los aspectos teóricos del problema,
sus bases, implicancias y lo esperado por la teoría, si es que existe una teoría que describa
este fenómeno. Debe quedar claro en esta sección los supuestos usados para deducir la
solución teórica del problema.
Procedimiento y montaje experimental
Esta sección es una de las más importante: se describe el montaje, materiales y
procedimiento experimental. Es decir, que utilizó y como lo utilizó. Esta sección debe estar
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 45
Juan Lopez, Ana María Villagra
Centro de Investigación Nuclear
Depto. Combustibles
Av. Sotomayor 777
Moscú
Rusia

46. muy bien escrita y descrita, ya que es la base de todo el experimento, de tal forma que
otra persona pueda reproducir el experimento usando los mismo materiales.
Resultados experimentales
Se dan a conocer los resultados obtenidos en el experimento, según el procedimiento y
montaje experimental, generalmente en tablas numeradas, gráficos numerados. No es
anotan todos los datos obtenidos, sino los resultados que sirven para el análisis posterior.
Se comentan los resultados, además del error que tienen y se analiza su comportamiento
con respecto a lo esperado.
Conclusiones
Se obtiene las conclusiones del experimento respecto del análisis teórico y del
procedimiento experimental. Se discute las posibles implicaciones de lo encontrado, y se
extrapola a futuros eventos. La idea, es que una persona de realizar el experimento, llegue
a los mismos resultados y obtenga las mismas conclusiones.
Bibliografía
Este punto es un aspecto importante del informe, ya que señala de donde se obtuvo la
información preliminar para confeccionar el informe. Da la base que sustenta el trabajo. En
este punto se debe dar las referencias, de las revistas usadas, libros, direcciones de
internet. Toda referencia va señalado de un número en el texto, que indica la
correspondiente revista, libro o dirección en la red INTERNET. En el caso de citar un libro,
va el siguiente orden:
Nombre del Autor(es), Título del Libro, Edición, Nombre de la Editorial, Lugar, Año de
Publicación.
Ejemplo:
Kulhmann, J.M.: “Design of Electrical Apparatus”, 3º Edición, John Wiley and sons,
Inc., New York, 1980.
En el caso de una revista:
Nombre del Autor(es), Título del Artículo, Nombre de la Revista, Volumen, Número, Mes y
año de la Publicación, Páginas.
Ejemplo:
David Barnes, Gary Egan, “Characterization of Dinamic 3-D PET Imaging for
functional Brain Mapping”, IEEE Transactions on Medical Imaging,Vol. 16, Numero: 3, Junio,
1997,261-269.
En caso de las referencias de la red (INTERNET), debe ser enumerado al igual que los
otros, y dejar la dirección completa de internet, hora, día y año. En este caso, como las páginas
virtuales cambian, debe imprimir las referencias usadas. Es por eso que es importante que haya
una evidencia “física” de esa referencia. Ejemplo:
http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/astropix.html, 23 de Diciembre de 1997, 15:48 hora Chile.
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 46

47. Esta dirección muestra una página, donde presenta una foto.
M2-9: Wings of a Butterfly Nebula
Credit: B. Balick (U. Washington) et al., WFPC2, HST, NASA
Explanation: Are stars better appreciated for their art after they die? Actually, stars usually create their most
artistic displays as they die. In the case of low-mass stars like our Sun and M2-9 pictured above, the stars
transform themselves from normal stars to white dwarfs by casting off their outer gaseous envelopes. The
expended gas frequently forms an impressive display called a planetary nebula that fades gradually over
thousand of years. M2-9, a butterfly planetary nebula 2100 light-years away shown in representative colors,
has wings that tell a strange but incomplete tale. In the center, two stars orbit inside a gaseous disk 10 times
the orbit of Pluto. The expelled envelope of the dying star breaks out from the disk creating the bipolar
appearance. Much remains unknown about the physical processes that cause planetary nebulae.
Esta foto y explicación corresponden al día 23 de diciembre de 1997.
Veamos la misma dirección, pero en el día 21 de Diciembre de 1997.
A Winter Solstice
Credit: SOHO- EIT Consortium, ESA, NASA
Explanation: Today is the Winter Solstice, the shortest day of the year in the Northern Hemisphere. The yearly
cycle of Seasons on planet Earth once again finds the Sun at its lowest point in the Northern Sky. The Sun's
own 11 year cycle of activity is progressing toward a maximum which will occur in 2000-2001. This image of
the Sun in the light of ionized Helium was recorded by the space-based SOHO observatory only three days
ago and shows many prominences and active regions.
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 47

48. Como vemos, cambio la página y la evidencia de un día ya no existe.
Apéndices
Los apéndices son opcionales, y se usan cuando se quiere explayar en la deducción de
una fórmula usada en el informe. Escribiendo todo su desarrollo en el informe se pierde la
linealidad del tema. También se presentan datos o tablas o análisis que aclaren
contenidos que se van dentro del informe.
Estos puntos desarrollados, son los principales de un informe de laboratorio. Sobre la base
de estos se evaluará. Lo más importante que se debe tener en cuenta, es pensar que otra persona
que está igualmente preparado que usted, lea su informe pueda reproducir el experimento tal cual
como lo hizo y obtener los mismos resultados. Ese es el objetivo principal.
Anexo a este documento se presenta un informe modelo que servirá como ejemplo.
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 48

49. Formato de exposición
Introducción:
Este documento pretende entregar las normas para exposiciones de trabajos en público. Es
importante tener claro que en su vida estudiantil y profesional usted se verá enfrentado en más
de una vez en presentaciones frente de sus compañeros, profesores o superiores. En la vida
profesional una presentación puede ser la clave para ganar un proyecto, o presentar un proyecto.
Puntos importantes a considerar:
Vamos a suponer que usted cuenta con apoyo audiovisual (Power Point, retropreyectora).
Obviamente, usted conoce muy bien de lo que va a hablar, domina el tema.
• Presentación: Es buena educación, presentar a los integrantes del grupo (si que
trabaja grupo) y posteriormente usted (El expositor principal). Esta puede ser en la
primera diapositiva o transparencia.
• Título del trabajo: Posteriormente del presentación del grupo y de su persona
usted debe comenzar a presentar lo que trata la exposición. Es así que el título es
un parte importante de una exposición; un buen título aclara de que trata la
exposición. Un ejemplo es:
“Estimación del lugar aterrizaje de la estación espacial MIR.”
Nótese que el titular es claro y directo; un lector le basta con leer este título para saber si le
interesa el artículo.
• Posteriormente presentar el temario a desarrollar. Es importante que tenga una
secuencia lógica. Un ejemplo sería:
• Introducción al problema: “Era espacial en estos días”
• El problema: “La órbita de la estación MIR: Decadente”
• Análisis del problema.
• Discusión
• Conclusiones
Las transparencias posteriores, desarrollará los puntos expuestos.
En las diapositivas (o transparencias) cuando va un Título o un cuadro, tabla, gráfico deberá
ir sólo. Es importante que estos figuras, o gráficos se vean claramente. Usted debe describir con
palabras la transparencia presentada, claramente y pausado. La transparencia es un apunte muy
simplificado para invocar las ideas que debe exponer.
Al cerrar la presentación, debemos hacerlo con las conclusiones del trabajo Una
transparencia de apoyo es siempre bueno en este momento.. Y si es necesario, una nueva
transparencia con las proyecciones futuras.
Una presentación sale efectiva debido a:
• Conocimientos que demuestra el expositor del tema; haber meditado
cuidadosamente lo que se piensa decir ante el público.
• Hábitos mentales del expositor, en cuanto a seguridad personal ante un
grupo de ordenamiento de sus ideas.
• Conocimiento del público a quién se le expondrá la idea o de autoridad,
porqué estar ahí, que tanto tiempo esperan que Ud. Hable, si piensa en forma
positiva o negativa de usted.
• Ensayo de lo que expondrá para detectar y pulir defectos tanto de contenido
como lenguaje a usar.
• Evaluación de lo efectuado y de la reacción del auditorio luego de cada
presentación.
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 49

50. Los temores que normalmente se le presentan a cualquier persona al hacer una presentación
se pueden resumir:
• Falta de preparación en el tema para responder preguntas o reacciones no
previstas e la audiencia.
• Miedo a no tener éxito o no ser capaz de atraer la atención.
• Timidez a enfrentarse desde el estrado a un auditorio.
Algunos aspectos importantes a cuidar durante la presentación:
• Se recomienda el uso de guías (hojas o tarjetas discretas para no distraer). Esto
muestra el interés del expositor por prepararse y respecto a la audiencia. Pero
debe tratar de no parecer que solo las lee o las ha aprendido de memoria, porque al
depender de memorización le quita espontaneidad y gracia a la presentación y deja
la sensación de que lo que trata es de exhibirse.
• Cuidar la dicción: no tener muletillas ni usar folklorismos o vulgaridades; modular
todas las palabras.
• Hablar claro y calmado; no ser monótono, usando inflexiones de vez y expresión
corporal para dar importancia a algunas ideas
• No concentrar la vista en una zona o una sola persona.
• Ante una pregunta difícil no turbarse: no existe la obligación de saberlo todo; no
eludirla: ofrecer contestarla otro día o investigar si alguien del auditorio puede ser
una respuesta.
La mejor presentación resulta cuando se expone relajadamente y con la actitud en la forme
de charla o conversación.
3
Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante
Página 50

51. Informe Ejemplo
Fenómeno de Difusión de dircromato de
Potasio en Agar-Agar
Miguel Bustamante Sepúlveda.
Av. Santa Fe 948
Chile
Email:miguelbustamante@softhome.net
Resumen:
En este informe, se verifica el fenómeno de difusión para una gota de dicromato de
potasio, en una placa petri con Agar-Agar.
Desarrollándose las ecuaciones para este fenómeno, se pudo comprobar que estas
describen tal comportamiento, existiendo una constante D que caracteriza la sustancia y el medio
donde difunde.
Abstract:
In this report, is verified the phenomenon of difusion for a drop of dicromate if potassium, in
a Petri plate with Agar-Agar.
It being developed the equations for this phenomenon, it could be proven that describe
such behavior, existing a constant D that characterizes the substance and the means where
spreads.
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52. INTRODUCCION
En la naturaleza, se realizan muchos procesos físicos. Uno de estos, es el proceso de
difusión. A este, se debe el hecho que se sienta el olor de una gota de perfume a una distancia, ya
que las moléculas se difunden a través del medio gaseoso; o para un micro organismo, que está
imposibilitado de movimiento propio, asegura que le llegue cantidad de nutrientes para vivir. Es, por
tanto, un fenómeno importante y presente en todo instante [1].
Sí suponemos una partícula que se puede mover una distancia δ e un tiempo T, nos da
que la nueva posición:
δ

+= 0)( RTr
Si tomamos el módulo de este vector, nos da la distancia recorrida a partir de R0. El módulo al
cuadrado de r(t) es δδ

•++= 0
22
0
2
2)( RRtr (1)
Si obtenemos el promedio de la expresión para N partículas moviéndose en todas las
direcciones (N muy grande) en un tiempo T, la distancia recorrida promedio todas comenzando el
en punto R0 por estas N partículas sería:
( ) 22
0
0
22
0 2
)( δ
δδ
+=
•++
=
∑
R
N
RR
Tr
N
i


debido a que el producto interno, para una cantidad grande partículas que se mueven al azar
tienen todas la orientaciones posibles. La suma de las orientaciones es 0. Este es el radio
promedio de todas las partículas. Tomemos un tiempo de 2T, con movimiento al azar. En este caso
podemos sumar a la nueva distancia.
222
)()2( δ+= TrTr (2)
Esta distancia es el resultado de la suma vectorial y promedio de todas estas distancias.
Desarrollando (2), nos queda r(2T)2
=R2
0+2δ2
. Si repetimos la expresión una m veces, y tomando
como posición inicial el vector R0=0, tenemos que la distancia en un tiempo de mT es:
22
)( δmmTr = (3)
Si definimos δ como δ=(2DT)0.5
y suponiendo que T son tiempos muy pequeños, el tiempo t se
puede aproximar a mT , la expresión (3) quedaría de la forma:
Dttr 2)( = (4)
La expresión describe la distancia en función del tiempo de la mancha. D es una constante,
que en este caso caracteriza la difusión del dicromato en el Agar-Agar.
Montaje y Procedimiento Experimental
Para verificar el proceso de difusión, se procedió de la siguiente manera:
Se tiene una placa petri con Agar-Agar gelificada, como se ve en la figura 1
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53. Figura 1. Esquema del montaje experimental. Placa de Agar-Agar gelificada.
Depositamos en el centro del Agar-Agar, una gota de solución de dicromato de potasio
(K2Cr2O7). Desde el momento que se deposita la gota, se tomó el tiempo. En cada intervalo de
tiempo se midió el diámetro y el tiempo había transcurrido. Con los datos obtenidos se confeccionó
una tabla.
Resultados experimentales
Basado en el montaje y procedimiento se obtuvo la siguiente tabla:
Tabla 1: Datos obtenidos en la difusión del dicromato de potasio en el Agar-Agar
Tiempo (seg) Diámetro (mm) Radio (mm) Radio2
(mm2
)
0 2.0 1.0 1.00
320 5.0 2.5 6.25
722 8.0 4.0 16.00
1130 10.0 5.0 25.00
1560 11.0 5.5 30.25
1920 12.0 6.0 36.00
2430 15.0 7.5 56.25
3110 17.0 8.5 72.00
4295 20.0 10.0 100.00
Observemos los gráficos de Radio v/s el tiempo.
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Gotario
Gota de dicromato
de potasio
Gel Agar-Agar

54. Gráfico1. Radio v/s Tiempo Gráfico 2. Radio al cuadrado v/s Tiempo
Del gráfico 1 podemos observar un comportamiento de los datos que la teoría señala (Ecuación 4).
Para verificar esta relación, rectificamos los datos y graficamos el Radio al cuadrado v/s el tiempo
(Gráfico 2). Se observa un comportamiento lineal de los datos. Ajustamos una recta por el método
de los mínimos cuadrados. Se obtuvieron los siguientes resultados:
La pendiente m=0.023304±0.0009 mm2
/seg y valor de la constante n=-2±3 mm2
. El ajuste
tiene un factor de correlación de R=0.99506 que es un buen ajuste. Este valor nos señala que la
ecuación teórica describe bien el fenómeno, sin embargo el valor de la constante n nos da un
resultado ilógico. No puede ser lógico que para el tiempo t=0 seg, tenga un radio imaginario. La
gota en el momento depositarla en el plato ya posee un radio intrínseco real. Esta discrepancia es
atribuirle a la dispersión de los datos. Observe los gráficos y algunos puntos se salen un poco de la
tendencia general. Esto, en el cálculo, hace modificar el valor tanto de la constante como de la
pendiente. Sin embargo, el factor de correlación nos dice que aún esto la recta se ajuste bien a los
datos. Sobre la base de esto, podemos calcular el valor de la constante: D=0.011652±0.0004
mm2
/seg. Este valor es característico de para dicromato de potasio en Agar-Agar.
Presumiblemente, esta constante dependa de la temperatura en el medio, pues el movimiento
molecular está relacionado con esta variable. Con el montaje presentado no se puede concluir un
hecho de este tipo, no obstante queda la inquietud.
Conclusión
Con los resultados obtenidos podemos afirmar que para este caso, las ecuaciones
describen este fenómeno dentro de los errores experimentales.
Bibliografía
1. Gilbert W. Castellan: “FISICOQUIMICA”, segunda edición, Addison-Wesley Iberoamericana
Delaware, 1987.
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Gr ficoRadio v/s Tiempo
0
2
4
6
8
10
12
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
Tiempo(seg)
Radio(mm) Gr ficoRadio^2v/sTiempo
0
20
40
60
80
100
120
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
Tiempo(seg)
Radio^2(mm)
Datos Ajuste

55. Recomendaciones:
Se recomienda que el desarrollo del informe y del preinforme, comience el mismo día del
experimento. Es necesario tener en mente que el informe va dirigido a una persona que no sabe
que experiencia han hecho, pero puede y debe entender las bases teóricas, el cómo, los resultados
y conclusiones obtenidas.
Redacte el informe y el preinforme con sus propias palabras, cuidando la redacción y la
ortografía.
Existen delantales en el laboratorio de física, para aquellos que quieran usarlo.
Si algún alumno (o grupo de alumnos) está interesado en usar el laboratorio fuera del horario de
clases y un horario donde este no esté ocupado, debe contactase con encargado para que les
facilite el laboratorio, como los instrumentos requeridos y llenar la forma siguiente:
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56. Formulario de uso del Laboratorio de Física
Formulario
El siguiente documento tiene como propósito llevar un orden de los usuarios de laboratorio
de Física, en horas extraordinarias. Esto servirá para una mejor administración de este y sus
materiales.
Fecha:
Nombre del Profesor
Ramo:
Fecha:
Nombre del Alumno:
Ramo:
Matricula:
Materiales a usar:
Lapso de Tiempo a usar el laboratorio y los materiales:
Fecha de Inicio:
Hora de Inicio
Fecha de Término
Hora de Término:
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57. Apéndice 1
Existen páginas en la red de Internet, que pueden ser de utilidad:
• Física en el ordenador: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm
Esta página es excelente, tanto para el laboratorio como para el ramo. Creo que le va ser
de utilidad.
• http://www.universityphysics.com/
• http://www.mcasco.com/p1intro.html Introducción a la mecánica
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58. Presentación
Presentación de Teoría de errores y gráficos. Tiene espacio para anotar comentarios y
notas.
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