Total probability and bayes theorem in decision theory

Probabilidad Total y Teorema de
Bayes en la Toma de Decisiones.
G. Edgar Mata Ortiz

“You can use all the quantitative data
you can get, but you still have to distrust
it and use your own intelligence and
judgment.
Alvin Tofler
Puedes emplear todos los datos cuantitativos que puedas conseguir, pero aún así
debes desconfiar de ellos y aplicar tu inteligencia y buen juicio.

Conocimientos previos
Experimento aleatorio
Espacio muestral
Evento
Probabilidad de un evento
Asignación de probabilidades
Probabilidad condicional
Para la mejor comprensión de este material
es necesario revisar los siguientes
conceptos.

Probabilidad Total y Teorema de Bayes
El artículo que contiene dicho teorema
fue publicado después de la muerte de
Bayes y, probablemente, no imaginó el
impacto tan grande que tendría en el
desarrollo de la teoría de probabilidades.
Estos conceptos son fundamentales en la toma de
decisiones, especialmente el Teorema de Bayes
porque permite determinar la probabilidad de las
causas a partir de los efectos observados.
http://www.amazon.com/Theory-That-Would-Not-Die/dp/0300169698/?tag=viglink20784-20

Probabilidad Total
Si se conocen las probabilidad condicionales P(S|Ei)
de un suceso S, entonces la probabilidad de
ocurrencia del suceso S, conocida como probabilidad
total, se determina con la siguiente expresión:
Cuando se sabe que el espacio muestral está
formado por un conjunto de eventos mutuamente
excluyentes E1, E2, E3, ..., EN.
𝑷 𝑺 = 𝑷 𝑬 𝟏 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝟏 + 𝑷 𝑬 𝟐 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝟐 + ⋯ , +𝑷 𝑬 𝒏 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝒏

Teorema de Bayes
 Si se conocen las probabilidad de los eventos Ei y las
probabilidades condicionales P(S|Ei), entonces se puede
determinar la probabilidad condicional de que haya ocurrido
uno de los eventos Ei dado que ocurrió el suceso S mediante
la fórmula:
Cuando se sabe que el espacio
muestral está formado por un
conjunto de eventos mutuamente
excluyentes E1, E2, E3, ..., EN.
𝑷 𝑬𝒊|𝑺 =
𝑷 𝑬𝒊 × 𝑷 𝑺|𝑬𝒊
𝑷 𝑬 𝟏 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝟏 + 𝑷 𝑬 𝟐 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝟐 + ⋯ , +𝑷 𝑬 𝒏 × 𝑷 𝑺 𝑬 𝒏

𝐄𝒏𝒖𝒏𝒄𝒊𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎𝒂.

Ejemplo (continuación):
Por datos históricos sabemos que la máquina 1
tiene una probabilidad de piezas defectuosas
del 2.4%; la máquina 2, del 1.5%; y la máquina 3,
del 0.5%.

Ejemplo:
(Continuación)
1. ¿Cuál es la
probabilidad
de que una
pieza resulte
defectuosa?

Ejemplo: (Continuación)
1. Si una pieza está
defectuosa, ¿cuál es
la probabilidad de
que haya sido
manufacturada en la
máquina 1?
¿y en la máquina 2?
¿y en la 3?

Ejemplo: (Solución)
1. ¿Cuál es la probabilidad de
que una pieza resulte
defectuosa?
Esta pregunta corresponde
a probabilidad total y se
resuelve fácilmente
mediante un diagrama de
árbol.
𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒂𝒅 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒊𝒆𝒛𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒂.
𝑷 𝑫 = ?

Evento aleatorio M:
El producto puede
ser manufacturado
en cualquiera de las
tres máquinas:
M1, M2 ó M3.

La producción de
piezas defectuosas en
cada máquina, tambén
es un evento aleatorio.
En cada máquina se
pueden presentar dos
resultados posibles:
D = Pieza defectuosa
ND = Pieza no defectuosa

Anotamos las
probabilidades en las
líneas que unen los
nodos aleatorios:
La probabilidad de
que una pieza sea
manufacturada en la
máquina1 es del 55%;
en la máquina 2, del
28%, y en la máquina
3, del 17%.

𝑷𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒂𝒅 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒊𝒆𝒛𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒂 𝒆𝒏 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒎á𝒒𝒖𝒊𝒏𝒂.
Anotamos las
probabilidades de
defectos en cada
máquina:
La probabilidad de que
una pieza que se
manufactura en la
máquina1 resulte
defectuosa es del 2.4%;
en la máquina 2 y
defectuosa, del 1.5%; y
en la máquina 3,
defectuosa, del 0.5%.

El porcentaje puede
interpretarse como
una división entre
100.

𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒂𝒅 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒊𝒆𝒛𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒂.

𝑷 𝑫 = 𝑷 𝑴 𝟏 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟏 + 𝑷 𝑴 𝟐 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟐 + 𝑷 𝑴 𝟑 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟑
𝑷 𝑫 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟒𝟐 + 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟖𝟓
𝑷 𝑫 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟐𝟓
𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒂𝒅 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒊𝒆𝒛𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒆 𝒅𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒖𝒐𝒔𝒂.

2. Si una pieza está defectuosa,
¿cuál es la probabilidad de que haya
sido manufacturada en la máquina 1?
¿y en la máquina 2?
¿y en la 3?
Esta pregunta corresponde al
Teorema de Bayes.
𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔: 𝑷𝒆𝒓𝒎𝒊𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒖𝒔𝒂𝒔
𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒇𝒆𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒅𝒐𝒔.

𝑺ó𝒍𝒐 𝒆𝒔 𝒏𝒆𝒄𝒆𝒔𝒂𝒓𝒊𝒐 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒇ó𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝑻𝒆𝒐𝒓𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝑩𝒂𝒚𝒆𝒔.
𝑷 𝑴 𝟏|𝑫 =
𝑷 𝑴 𝟏 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟏
𝑷 𝑴 𝟏 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟏 + 𝑷 𝑴 𝟐 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟐 + 𝑷 𝑴 𝟑 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟑

𝑷 𝑴 𝟏|𝑫 =
𝟎. 𝟓𝟓 × 𝟎. 𝟎𝟐𝟒
𝟎. 𝟓𝟓 × 𝟎. 𝟎𝟐𝟒 + 𝟎. 𝟐𝟖 × 𝟎. 𝟎𝟏𝟓 + 𝟎. 𝟏𝟕 × 𝟎. 𝟎𝟎𝟓
=
𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟐
𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟐𝟓
𝑷 𝑴 𝟏|𝑫 =?

𝑷 𝑴 𝟏|𝑫 =
𝟎. 𝟓𝟓 × 𝟎. 𝟎𝟐𝟒
𝟎. 𝟓𝟓 × 𝟎. 𝟎𝟐𝟒 + 𝟎. 𝟐𝟖 × 𝟎. 𝟎𝟏𝟓 + 𝟎. 𝟏𝟕 × 𝟎. 𝟎𝟎𝟓
=
𝟎. 𝟎𝟏𝟑𝟐
𝟎. 𝟎𝟏𝟖𝟐𝟓
𝑷 𝑴 𝟏|𝑫 = 𝟎. 𝟕𝟐𝟑𝟐𝟖

Ejemplo (continuación):
Debido a una reducción de
la demanda, la producción
debe reducirse de la
capacidad máxima de
12,600 piezas a solamente
7,800.
¿Cómo debe distribuirse la
producción? Argumenta tu
respuesta.

Teorema de Bayes
La disminución de la produción debe hacerse de modo
que se utilice a plena capacidad la máquina 3, que
presenta un menor porcentaje de defectos.
Para determinar su capacidad de producción debemos
recordar que 12,600 piezas es la capacidad total de las tres
máquinas, y de ellas, la máquina 3 produce el 17%.
El 17% de 12,600 es: 𝟏𝟐𝟔𝟎𝟎 × 𝟎. 𝟏𝟕 = 𝟐, 𝟏𝟒𝟐

Teorema de Bayes
Posteriormente la máquina 2 debe emplearse a su máxima
capacidad o tanto como sea necesario para satisfacer la
demanda.
Para determinar su capacidad de producción aplicamos la
misma estrategia que con la máquina 3: 12,600 piezas es
la capacidad total de las tres máquinas, y de ellas, la
máquina 2 produce el 28%.
El 28% de 12,600 es: 𝟏𝟐𝟔𝟎𝟎 × 𝟎. 𝟐𝟖 = 𝟑, 𝟓𝟐𝟖

Teorema de Bayes
Finalmente la máquina 1, que es la que produce un mayor
porcentaje de defectos, se empleará solamente en caso
necesario para satisfacer el resto de la demanda.
La máquina 3 producirá: 2,142 piezas
La máquina 2 producirá: 3,528 piezas
Entre las dos máquinas producirán: 5,670 piezas
La máquina 1 producirá la cantidad faltante para satisfcer
la demanda: 7,800 – 5,670 = 2,130

Teorema de Bayes
Debemos determinar los porcentajes de producción de
cada máquina para modificar el diagrama de árbol.
Máquina 3: 2,142
Máquina 2: 3,528
Máquina 1: 2,130
Total: 7,800
Para determinar el
porcentaje de cada
máquina dividimos la
cantidad de piezas
producidas por cada
máquina, entre la
producción total.

Teorema de Bayes
Debemos determinar los porcentajes de producción de
cada máquina para modificar el diagrama de árbol.
Máquina 3: 2,142 𝟐, 𝟏𝟒𝟐 ÷ 𝟕, 𝟖𝟎𝟎 = 𝟐𝟕. 𝟓%
Máquina 2: 3,528 𝟑, 𝟓𝟐𝟖 ÷ 𝟕, 𝟖𝟎𝟎 = 𝟒𝟓. 𝟐%
Máquina 1: 2,130 𝟐, 𝟏𝟑𝟎 ÷ 𝟕, 𝟖𝟎𝟎 = 𝟐𝟕. 𝟑%
Total: 7,800
Estos porcentajes se
emplearán para modificar
el diagrama de árbol.

M
M1
M2
M3
D
ND
D
ND
D
ND
45.2%
𝑷 𝑴 𝟏 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟏 =
𝟎. 𝟐𝟕𝟑 × 𝟎. 𝟎𝟐𝟒 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟓𝟓𝟐
𝑷 𝑴 𝟐 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟐 =
𝟎. 𝟒𝟓𝟐 × 𝟎. 𝟎𝟏𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟕𝟖
𝑷 𝑴 𝟑 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟑 =
𝟎. 𝟐𝟕𝟓 × 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟑𝟕𝟓

M
M1
M2
M3
D
ND
D
ND
D
ND
45.2%
𝑷 𝑴 𝟏 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟏 =
𝟎. 𝟐𝟕𝟑 × 𝟎. 𝟎𝟐𝟒 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟓𝟓𝟐
𝑷 𝑴 𝟐 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟐 =
𝟎. 𝟒𝟓𝟐 × 𝟎. 𝟎𝟏𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟕𝟖
𝑷 𝑴 𝟑 × 𝑷 𝑫 𝑴 𝟑 =
𝟎. 𝟐𝟕𝟓 × 𝟎. 𝟎𝟎𝟓 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟑𝟕𝟓
𝑷 𝑫 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟒𝟕𝟎𝟕

M
M1
M2
M3
D
ND
D
ND
D
ND
45.2%
𝑷 𝑫 = 𝟎. 𝟎𝟏𝟒𝟕𝟎𝟕
𝑷 𝑴 𝟏|𝑫 =
𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟓𝟓𝟐
𝟎. 𝟎𝟏𝟒𝟕𝟎𝟕
= 𝟎. 𝟒𝟒𝟓𝟓
𝑷 𝑴 𝟐|𝑫 =
𝟎. 𝟎𝟎𝟔𝟕𝟖
𝟎. 𝟎𝟏𝟒𝟕𝟎𝟕
= 𝟎. 𝟒𝟔𝟏𝟎
𝑷 𝑴 𝟑|𝑫 =
𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟑𝟕𝟓
𝟎. 𝟎𝟏𝟒𝟕𝟎𝟕
= 𝟎. 𝟎𝟗𝟑𝟒

Gracias por su atención
licmata@hotmail.com
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