1) Se resumen los pasos para calcular el área bajo cuatro curvas diferentes. 2) Se explican los métodos utilizados (discos, arandelas y cortezas cilíndricas) para calcular tres volúmenes de revolución. 3) Se calcula la longitud arco de dos curvas utilizando la fórmula general.

1. Actividad Virtual
- Félix Hernández ; CI: 21.295.441
Cabe destacar que el siguiente símbolo 푥 푦 significa: evaluado desde "x" hasta "y"
1) Hallar el área de la región encerrada por los gráficos
a) 퐟 퐱 =퐱ퟐ−ퟒ, 퐠 퐱 =퐱−ퟒ
Puntos de intersección de las gráficas (ver gráfica #1 en anexos)
푥2−4=푥−4 푥 푥−1 =0 Se interceptan en x = 0 y x = 1 퐴= 푥−4 − 푥4−4 푑푥= 푥−4−푥2+4 푑푥=( 12 푥2− 13 푥3) 10 1010 퐴= 16
b) 풚=풙ퟑ, 풚=ퟒ풙
Puntos de intersección entre las gráficas (ver gráfica #2 en anexos) 푥3=4푥 푥2=4 Se interceptan en 푥=±2 퐴푇=퐴1+퐴2 퐴1= 푥3−4푥 푑푥=( 14 푥4− 42 푥2) 0−2=4 0−2 퐴2= 4푥−푥3 푑푥=(2푥2− 14 푥4) 20=4 20 퐴푇=퐴1+퐴2=4+4=8
c) 풙= ퟏퟐ 풚 , 풙=ퟎ, 풚=ퟏ, 풚= 풆ퟐ (ver gráfica #3 en anexos) A= 12ydy=12 1ydy=12ln(y) e21=12ln2 e21e21

2. d) 풇 풙 =퐭퐚퐧 풙 ퟐ ,풆풍 풆풋풆 풙 풚 풍풂풔 풓풆풄풕풂풔 풙=ퟎ, 풙= ퟏ ퟐ 흅 (ver gráfica #4 en anexos)
푥=2tan−1푦 퐴= 2tan−1푦푑푦=2 tan−1푦 1010 Integrando por parte 푢=tan−1푦 푑푣=푑푦 푑푢= 11+푥2푑푢 푣=푦 tan−1푦푑푦=(푦tan−1푦) 10 − 푦 1+푦2푑푦 1010
Resolviendo aparte 푦 1+푦2푑푦 10 por cambio de variable 푤=1+푦2 → 푑푤=2푦푑푦 → 푦푑푦= 푑푤 2 푦 1+푦2푑푦= 12 푑푤 푤 = 12ln푤= 12ln 1+푦2 10= 12ln2 1010 Así 퐴= 2tan−1푦푑푦=2 푦tan−1푦 10 − 12ln2 =2 휋 4− 12ln2 10
2) Hallar el volumen del solido de revolución generado por la región encerrada por las curvas dadas (utilice el método del disco, arandelas y cortezas cilíndricas)
a) Un arco de y=cos2x, alrededor del eje x Resolviendo mediante el método de los discos (ver gráfica #5 en anexos)
푉= 휋cos2푥푑푥=휋( 휋 4012sin2푥) 휋 40 = 휋 2
b) 풙=ퟒ풚, 풙= 풚ퟑ, 풂풍풓풆풅풆풅풐풓 풅풆 풍풂 풓풆풄풕풂 풙=ퟖ Resolviendo mediante el método de las arandelas (ver gráfica #6 en anexos) Hallemos los puntos de intersección entre las gráficas
4푦= 푦3 → 64푦3=푦 → 64푦3−푦=0 → 푦3− 푦 64=0 → 푦 푦2− 164 → 푦 푦+ 18 푦− 18 =0
Se interceptan en y = 0 ; y = 1/8 ; y = -1/8

3. 푉= 휋 (8−4푦)2−(8− 푦3)2 푑푦=휋 64−64푦+16푦2−(64−16 푦3+푦 32) 푑푦 180180
푉=휋 64−64푦+16푦2−64+16 푦3−푦 32 푑푦 180 푉=휋 −64푦 푑푦+ 휋 16푦2푑푦+휋 16 푦3−휋 푦 32푑푦 1/801/801/80180 푉=−64휋( 12 푦2) 1 80 +16휋 13 푦3 1 80 +16휋 34 푦 43 1 80 −휋 25 푦 52 1 80 =0.81118
c) Hallar el volumen del sólido que se genera al rotar alrededor del eje x la elipse 풙ퟐ 풂ퟐ+ 풚ퟐ 풃ퟐ=ퟏ
Resolviendo mediante el método de capas cilíndricas (ver gráfica #7 en anexos) Se dejará la elipse en función de "y" y se calculará el volumen de solo el pedazo positivo de la función despejada, luego se multiplica ese volumen por 2 para hallar el volumen total 푉푖=2휋푥푖∗ 푎 1− 푦2 푏2 ∗Δ푥푖 → 0<푥푖<푏 푉=2휋푎 푦 1− 푦2 푏2 푑푦 푏 0 Resolviendo por cambio de variable 푢=1− 푦2 푏2 → 푑푢= −2푦 푏2푑푦 → 푦푑푦= −푏2푑푢 2 푉=2휋푎 ( −푏2푑푢 2) 푢 푏 0=−푏2푎휋 푢 푏 0 푑푢=−푏2푎휋 23 푢 32 =−푏2푎휋( 23∗( 1− 푦2 푏2 ) 32) 푏 0 푉=− 2푎휋푏23∗ (1− 푏2 푏2 ) 32−(1− 0 푏2)3/2 = 2휋푎푏23 푉푇= 4휋푎푏23
d) Hallar el volumen del sólido que genera la región encerrada por 풚=ퟒ−풙ퟐ,풆풋풆 풙,풂풍 품풊풓풂풓 풂풍풓풆풅풆풅풐풓 풅풆 풍풂 풓풆풄풕풂 풙=ퟑ
Resolviendo por el método de las arandelas (ver gráfica #8 en anexos) Se deja la curva en función de "y" y se hallará el volumen usando solo la parte positiva de la curva despejada 푉=휋 (3)2−(3− 4−푦)2 푑푦 40=휋 9− 9−6 4−푦+4−푦 푑푦 40

4. 푉=휋 6 4−푦−4+푦 푑푦= 휋 6 4−푦푑푦−휋 4푑푦 40+휋 푦푑푦 404040
Resolviendo por cambio de variable 휋 6 4−푦푑푦 40 푢=4−푦 → 푑푢=−푑푦 6휋 − 푢푑푢=−6휋( 23 푢3/2) 40=−6휋( 23∗(4−푦)3/2) 40=32휋 40 푉=32휋−휋 4푑푦 40+휋 푦푑푦 40=32휋−4휋푦 40+휋 12 푦2 40=32휋−16휋+8휋=24휋
3) Hallar la longitud de la curva dada
a) 풚= 풙ퟑ ퟔ + ퟏ ퟐ풙 ,풅풆풔풅풆 풙=ퟏ 풉풂풔풕풂 풙=ퟑ 푦′= 12 푥2− 12푥2= 12 푥4−1 푥2 (푦′)2= 14∗( 푥4−1 푥2 )2 퐿= 1+ 14∗( 푥4−1 푥2 )231 푑푥 Resolviendo lo que está adentro de la raíz y llevándolo a su mínima expresión tenemos 퐿= 12푥2 (푥4+1)2푑푥= 12푥2∗(푥4+1)2푑푥 31=1/2 푥2푑푥 31+ 311/2 1 푥2푑푥 31 퐿= 12∗( 13 푥3) 31+ 12∗ − 1 푥 31 = 143
b) 풚=풍풏풔풆풄풙,풅풆풔풅풆 풙=ퟎ,풉풂풔풕풂 풙= 흅 ퟑ 푦′= 1sec푥 sec푥tan푥=tan푥 (푦′)2=(tan푥)2 퐿= 1+ tan푥 2푑푥= sec푥 2푑푥 휋 30= sec푥 휋 30 푑푥 휋 30 퐿=ln(sec푥+tan푥) 휋 30 =푙푛(2+ 3)