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Transformación de Momentos de Inercia
- 1. Mecánica de los Sólidos I FIA UES FUERZAS DISTRIBUIDAS Transformación de Momentos de Inercia Ing. Mario Roberto Nieto Lovo Escuela de Ingeniería Civil Facultad de Ingeniería y Arquitectura Universidad de El Salvador
- 2. Mecánica de los Sólidos I FIA UES Transformación de momentos de inercia. El momento de inercia de un área puede tener muchos valores, depende de la posición de los ejes con respecto a los cuales se calculan. Otro detalle muy importante a considerar, es la orientación de los ejes con respecto a los que el área tendrá sus valores máximos y mínimos de momento de inercia, no necesariamente los ejes estarán orientados en la dirección horizontal y vertical. Los ejes, con respecto a los cuales el área posee sus máximos y mínimos valores de momento de inercia se llaman “Ejes Principales de Inercia” y su orientación con respecto a los ejes rectangulares se conoce como “Ángulo principal de Inercia”. Para calcular la orientación de los ejes principales de inercia, es necesario definir una nueva clase de segundo momento de área, llamado Producto de Inercia.
- 3. Mecánica de los Sólidos I FIA UES Producto de Inercia de un área. 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝐴 𝑦 𝑥 Definición: 𝐼𝑥𝑦 = න 𝑥𝑦𝑑𝐴 El producto de inercia puede entenderse como el momento del área calculado simultáneamente con respecto a los ejes x, y. Dependiendo de la concentración del área con respecto a los ejes, el producto de inercia, a diferencia del momento de inercia, puede ser negativo, dependiendo del signo de los brazos de momento del área.
- 4. Mecánica de los Sólidos I FIA UES 𝑦 𝑥 𝑑𝐴 𝑑𝐴 −𝑥 𝑥 Si uno o ambos ejes son de simetría, el producto de inercia calculado con respecto a esos ejes es cero. Vemos cómo la suma de los momentos del área con respecto al eje de simetría "𝑦" se cancelan. 𝐼𝑥𝑦 = න 𝑥𝑦 𝑑𝐴 = 0 Muchas secciones poseen áreas que son simétricas con respecto a uno o ambos ejes centroidales, por ejemplo las secciones rectangulares, circulares, etc, entonces sus productos de inercia con respecto a sus ejes centroidales son cero.
- 5. Mecánica de los Sólidos I FIA UES Teorema de Ejes Paralelos para Producto de Inercia 𝐼𝑥𝑦 = ҧ 𝐼𝑥′𝑦′ + ҧ 𝑥 ത 𝑦𝐴 𝐼𝑥𝑦: Producto de inercia del área con respecto a los ejes 𝑥, 𝑦. ҧ 𝐼𝑥′𝑦′ ∶ Producto de inercia del área con respecto a sus ejes centroidales ҧ 𝑥, ത 𝑦 ∶ Coordenadas del centroide del área con respecto a los ejes 𝑥, 𝑦. 𝑥′ 𝑦′ : Ejes centroidales del área.
- 6. Mecánica de los Sólidos I FIA UES 𝑦 300 mm 100 mm 100 mm 300 mm 𝑥 ① ② 𝑦2 ′ 𝑦1 ′ 𝑥2 ′ 𝑥1 ′ Producto de inercia de áreas compuestas. 𝑚𝑚2 𝑚𝑚4 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚𝑚4 Figura Área ҧ 𝐼𝑥′𝑦′ ҧ 𝑥 ത 𝑦 ҧ 𝑥 ത 𝑦𝐴 ① 30000 0 150 50 2.25 × 108 ② 20000 0 50 200 2.0 × 108 Σ 0 4.25 × 108 ത 𝑦1 ҧ 𝑥1 ത 𝑦2 ҧ 𝑥2 𝐼𝑥𝑦 = Σ ҧ 𝐼𝑥′𝑦′ + Σ ҧ 𝑥 ത 𝑦𝐴 Puede observarse que los productos centroidales de inercia de las áreas rectangulares básicas es cero, pues sus ejes centroidales son ejes de simetría. ҧ 𝑥 , ത 𝑦 , son las distancias de los ejes centroidales de cada área básica a los ejes 𝑥 , 𝑦 , de la figura compuesta. 𝐼𝑥𝑦 = Σ ҧ 𝐼𝑥′𝑦′ + Σ ҧ 𝑥 ത 𝑦𝐴 0 𝐼𝑥𝑦 = 4.25 × 108 𝑚𝑚4
- 7. Mecánica de los Sólidos I FIA UES EJES PRINCIPALES DE INERCIA Muchas veces se desea conocer los momentos y producto de inercia de un área con respecto a nuevos ejes que se obtienen rotando los ejes originales alrededor del origen a través de un ángulo 𝜃. Particularmente, se hace necesario conocer la orientación que tendrán los ejes con respecto a los cuales el área posee sus máximos momentos de inercia, llamados Momentos Principales de Inercia, y su correspondiente ángulo 𝜃𝑚 llamado Ángulo Principal de Inercia. Estudiaremos dos formas para encontrar los momentos principales de inercia, un método analítico y otro basado en el llamado Círculo de Möhr.
- 8. Mecánica de los Sólidos I FIA UES Suponer que para un área se conoce: 𝐼𝑥 = න 𝑦2 𝑑𝐴 ; 𝐼𝑦 = න𝑥2 𝑑𝐴 𝐼𝑥𝑦 = න 𝑥𝑦𝑑𝐴 Se desea conocer: 𝐼𝑥′ = න 𝑦′2 𝑑𝐴 ; 𝐼𝑦′ = න 𝑥′2 𝑑𝐴 ; 𝐼𝑥′𝑦′ = න𝑥′ 𝑦′ 𝑑𝐴 ① ② ③
- 9. Mecánica de los Sólidos I FIA UES Observar en la figura que: 𝑦′ = 𝑦 cos 𝜃 − 𝑥 sin 𝜃 𝑥′ = 𝑥 cos 𝜃 + 𝑦 sin𝜃 Sustituyendo en ①,② y ③ e integrando: 𝐼𝑥′ = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 2 + 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦 2 cos 2𝜃 − 𝐼𝑥𝑦 sin2𝜃 𝐼𝑦′ = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 2 − 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦 2 cos 2𝜃 + 𝐼𝑥𝑦 sin 2𝜃 𝐼𝑥′𝑦′ = 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦 2 sin 2𝜃 + 𝐼𝑥𝑦 cos 2𝜃 ④ ⑤ ⑥ 𝜃
- 10. Mecánica de los Sólidos I FIA UES En las ecuaciones 4, 5 y 6 anteriores, bastaría con darle el valor al ángulo y se obtienen los momentos y producto de inercia con respecto a los nuevos ejes 𝑥′ , 𝑦′ girados 𝜃 grados con respecto a los ejes 𝑥, 𝑦. Notemos que 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝐼𝑥′ + 𝐼𝑦′ = 𝐽𝑜 ya que el momento polar de inercia 𝐽𝑜, se calcula con respecto al mismo eje O donde se cortan los ejes 𝑥, 𝑦 , así como los ejes 𝑥′ , 𝑦′. Las ecuaciones 4, 5 y 6, aunque nos dan una solución para el cálculo de los momentos de inercia con respecto a ejes rotados, no son una herramienta práctica, ya que deberíamos de memorizarlas para su aplicación. Afortunadamente existe una forma práctica con la que resolveremos el problema de la rotación de ejes, y es a través del uso del Círculo de Möhr.
- 11. Mecánica de los Sólidos I FIA UES Transponiendo el término 𝐼𝑥+𝐼𝑦 2 al lado izquierdo de la ecuación 4, elevando al cuadrado ambos miembros de las ecuaciones 4 y 6, y sumando miembro a miembro las dos ecuaciones, se obtiene: Círculo de Möhr para momentos de inercia. 𝐼𝑥′ − 𝐼𝑥+𝐼𝑦 2 2 + 𝐼𝑥′𝑦′ 2 = 𝐼𝑥−𝐼𝑦 2 2 + 𝐼𝑥𝑦 2 𝐼 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝐼𝑥+𝐼𝑦 2 ; 𝑅 = 𝐼𝑥−𝐼𝑦 2 2 + 𝐼𝑥𝑦 2 Llamando: ⑦ Y sustituyendo en la ecuación 7:
- 12. Mecánica de los Sólidos I FIA UES Círculo de Möhr para momentos de inercia. 𝐼𝑥′ − 𝐼𝑝𝑟𝑜𝑚 2 + 𝐼𝑥′𝑦′ 2 = 𝑅2 ⑧ La ecuación 8 es la ecuación de un círculo, llamado Círculo de Möhr, que tiene su centro en 𝐼𝑝𝑟𝑜𝑚 , su radio es 𝑅 y sobre él se localizan todos los valores de momentos y productos de inercia del área con respecto a ejes que se corten en el mismo origen. Para dibujar el Círculo, se necesitará resolver primero los momentos y el producto de inercia del área con respecto a ejes rectangulares, ubicar su centro dado por 𝐼𝑝𝑟𝑜𝑚 y usando el radio 𝑅 para trazarlo, las coordenadas 𝑥, 𝑦 del centro del círculo serán, respectivamente: 𝐼𝑝𝑟𝑜𝑚 , 0 Obtenemos:
- 13. Mecánica de los Sólidos I FIA UES Círculo de Möhr 𝐼 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 𝐼𝑥+𝐼𝑦 2 ; 𝑅 = 𝐼𝑥−𝐼𝑦 2 2 + 𝐼𝑥𝑦 2 𝐼𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑋 𝑌 𝐴 𝐵 𝐼𝑦 𝐼𝑥 𝐼𝑥 , 𝐼𝑦 𝐼𝑥𝑦 2𝜃𝑚 𝐼𝑥𝑦 −𝐼𝑥𝑦 𝐶: 𝐼𝑝𝑟𝑜𝑚 ,0 Coordenadas del centro: 𝐼𝑚á𝑥 𝐼𝑚í𝑛 Coordenadas de X: 𝑋: 𝐼𝑥 ,𝐼𝑥𝑦 Coordenadas de Y: 𝑌: 𝐼𝑦 , −𝐼𝑥𝑦 𝐶
- 14. Mecánica de los Sólidos I FIA UES Ángulo principal de Inercia. Hay dos maneras para encontrar el ángulo principal de inercia 𝜃𝑚 ∶ 1.) Leyendo directamente del Círculo una vez graficado los puntos X,Y que representan los ejes X, Y respectivamente: tan2𝜃 = 𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑥 − 𝐼𝑝𝑟𝑜𝑚 También observando la posición en el círculo del eje X se girará a partir de éste en sentido horario para localizar el eje principal de inercia. 𝐼𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑋 𝑌 𝐴 𝐵 𝐼𝑦 𝐼𝑥 𝐼𝑥 , 𝐼𝑦 𝐼𝑥𝑦 2𝜃𝑚 𝐼𝑥𝑦 −𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑚á𝑥 𝐼𝑚í𝑛 Eje principal de inercia
- 15. Mecánica de los Sólidos I FIA UES 𝐼𝑝𝑟𝑜𝑚 𝑋 𝑌 𝐴 𝐵 𝐼𝑦 𝐼𝑥 𝐼𝑥 , 𝐼𝑦 𝐼𝑥𝑦 2𝜃𝑚 𝐼𝑥𝑦 −𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑚á𝑥 𝐼𝑚í𝑛 2.) También podemos encontrar el ángulo principal de inercia haciendo uso de la ecuación 6: Ángulo principal de Inercia. 𝐼𝑥′𝑦′ = 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦 2 sin2𝜃 + 𝐼𝑥𝑦 cos 2𝜃 Si 𝐼𝑥′𝑦′ = 0 y dividiendo entre cos 2𝜃 : tan2𝜃 = − 2𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑥 − 𝐼𝑦 Si el ángulo resulta positivo, debe girarse en sentido antihorario a partir del eje X para localizar el eje principal de inercia, y si es negativo se girará en sentido horario, siempre a partir del eje X.
- 16. Mecánica de los Sólidos I FIA UES En la exposición del tema “Teorema de Ejes Paralelos”, se determinaron los momentos de inercia centroidales de la figura mostrada, ahora encontraremos el Producto de Inercia del área con respecto a sus ejes centroidales, y además hallaremos los momentos principales centroidales de inercia y la orientación de los ejes principales. ത 𝑋 ത 𝑌 𝑦 1.0 " 3.8 " 0.5 " 3.6 " 1.3 " 0.5 " 𝑥 ③ ② ① 2.25 " 0.912" Se conoce: ҧ 𝐼𝑥 = 18.13 𝑝𝑢𝑙𝑔4 ҧ 𝐼𝑦 = 4.51 𝑝𝑢𝑙𝑔4 Hallar: ҧ 𝐼𝑥𝑦 ҧ 𝐼𝑚á𝑥 , ҧ 𝐼𝑚í𝑛 ҧ 𝐶 Ejemplo:
- 17. Mecánica de los Sólidos I FIA UES ҧ 𝑥 ത 𝑦 𝑦 1.0 " 3.8 " 0.5 " 3.6 " 1.3 " 0.5 " 𝑥 ③ ② ① 𝑥1 ′ 𝑦3 ′ 𝑦2 ′ 𝑦1 ′ 𝑥3 ′ 𝑥2 ′ 2.25 " 0.912" −2.0" 0.888" −0.662" 0.15" −0.262" 2.55" Calculando el producto de inercia: 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟒 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟐 𝒑𝒖𝒍𝒈 𝒑𝒖𝒍𝒈 𝒑𝒖𝒍𝒈𝟒 𝐹𝐼𝐺 𝐼𝑥𝑖 ′ 𝑦𝑖 ′ 𝐴𝑖 ҧ 𝑥𝑖 ത 𝑦𝑖 ҧ 𝑥𝑖 ത 𝑦𝑖𝐴𝑖 ① 0 1.8 0.888 −2.0 −3.197 ② 0 1.9 −0.662 0.15 −0.189 ③ 0 1.3 −0.262 2.55 −0.869 Σ 0 −4.25 ҧ 𝐼𝑥𝑦 = Σ𝐼𝑥′𝑦′ + Σ ҧ 𝑥𝑖 ത 𝑦𝑖𝐴𝑖 0 ҧ 𝐼𝑥𝑦 = −4.25 𝑝𝑢𝑙𝑔4
- 18. Mecánica de los Sólidos I FIA UES Círculo de Möhr. Graficar: ത 𝑋: ҧ 𝐼𝑥 , ҧ 𝐼𝑥𝑦 ; ത 𝑌: ҧ 𝐼𝑦 , − ҧ 𝐼𝑥𝑦 ത 𝑋: 18.13 , −4.25 ത 𝑌: 4.51 , 4.25 ത 𝑋 ത 𝑌 18.13 4.25 −4.25 4.51 ҧ 𝐼𝑝𝑟𝑜𝑚 ҧ 𝐴 ത 𝐵 Observando el círculo: ҧ 𝐼𝑝𝑟𝑜𝑚 = 18.13 + 4.51 2 = 11.32 𝑝𝑢𝑙𝑔4 𝑅 = 4.25 2 + 18.13 − 11.32 2 𝑅 = 8.03 𝑝𝑢𝑙𝑔4 ҧ 𝐼𝑚á𝑥 = ҧ 𝐼𝑝𝑟𝑜𝑚 + 𝑅 = 11.32 + 8.03 = 19.35 𝑝𝑢𝑙𝑔4 ҧ 𝐼𝑚í𝑛 = ҧ 𝐼𝑝𝑟𝑜𝑚 − 𝑅 = 11.32 − 8.03 = 3.29 𝑝𝑢𝑙𝑔4 tan 2𝜃𝑚 = 4.25 18.13 − 11.32 2𝜃𝑚 = 31.97° 𝜃𝑚 = 15.98° ↶ 𝑅 2𝜃𝑚 ҧ 𝐼𝑚á𝑥 ҧ 𝐼𝑚í𝑛 Ángulo a utilizar en el área verdadera de la figura.
- 19. Mecánica de los Sólidos I FIA UES 𝑦 1.0 " 3.8 " 0.5 " 3.6 " 1.3 " 0.5 " 𝑥 ҧ 𝑥 𝑦 ത 𝑎 ത 𝑏 𝜃𝑚 Momentos Principales de Inercia: ҧ 𝐼𝑚á𝑥 = 19.35 𝑝𝑢𝑙𝑔4 ҧ 𝐼𝑚í𝑛 = 3.29 𝑝𝑢𝑙𝑔4 Orientación de los ejes principales: 𝜃𝑚 = 15.98° ↶ ҧ 𝐶 ത 𝑎 Eje de máxima inercia ത 𝑏 Eje de mínima inercia Por la función doble ángulo en las ecuaciones 4,5 y 6, los ángulos en el Círculo están multiplicados por dos. En el Círculo, los ejes AB están separados 180° y en el área verdadera, la separación es de 90°
- 20. Mecánica de los Sólidos I FIA UES “ No juzgues cada día por lo que cosechas, sino por las semillas que plantas.- Robert Louis Stevenson.. HACIA LA LIBERTAD POR LA CULTURA