ALGEBRA LINEAL

1. Ramiro J. Saltos
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
Instituto de Ciencias Matemáticas
Algebra Lineal (B)
Deber # 15: Espacios con Producto Interno
Tema 1
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas justificando apropiadamente su respuesta.
a) Sea RxRRf 22
: una función con regla de correspondencia 1221
2
2
1
1
62 baba
b
a
b
a
f 











Entonces
f es un producto interno real en
2
R
b) La función 1 1:f P P R  con regla de correspondencia      0 0p q p q es un producto interno real en
el espacio vectorial 1P
c) La función 1 1:f P P R  con regla de correspondencia 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 12 3f a b x a b x a a b b a b a b     
es un producto interno real en 1P
d) Sea V un espacio vectorial real con producto interno. Sean Vvu , dos vectores ortonormales. Si los
vectores vu   y vu   son ortogonales, entonces  
e) Sea   ,V   un espacio vectorial con producto interno. Sean 1,u v y 2v vectores de V . Si
   1 2v u v u entonces 1 2v v
f) Sea 1 1:f PxP R una función con regla de correspondencia 1 1 2 2 1 2 2 13f a b x a b x a b a b    Entonces
f es un producto interno real en
2
R
g) Sea   ,V   un espacio vectorial con producto interno, entonces: , :v w V v w v w    
h) Sea el espacio euclidiano
3
R y   1 2 1H gen   un subespacio de
3
R . De todos los vectores de
H , el más cercano al vector  1 1 1v  es el vector  1 2 1
3 3 3

Tema 2
Determine si las siguientes funciones son un producto interno real en 1P
a)     bdadbcacdcxbax 2
b)     bdadbcacdcxbax 
c)     bdbcacdcxbax 2
d)     )0()0()()( qpxqxp 
e)     )1()1(2)0()0()()(  qpqpxqxp
f)     )1()1()1()1()0()0()()( qpqpqpxqxp 
Tema 3
Halle una base ortonormal y el complemento ortogonal del subespacio vectorial





















 02/3
zyxR
c
b
a
W

2. Ramiro J. Saltos
Tema 4
Sea
3
RV  y sea el subespacio de vectorial





















 02/3
cbaR
c
b
a
H
Determine:
a) Una base ortonormal para H
b) El complemento ortogonal de H
Tema 5
Sea
3
RV  y sea el subespacio de vectorial





















 cbaR
c
b
a
H 32/3
a) Determine una base ortonormal para

H
b) Exprese el vector












1
2
1
v como la suma de un vector Hh  con un vector

 Hp
Tema 6
Sea 22xMV  , considere el producto interno:
dhcgbfae
hg
fe
dc
ba












22
Sea












 Rca
cc
aa
H ,/ un subespacio de V
a) Determine el complemento ortogonal de H
b) Escriba la matriz 






43
21
C como la suma de dos vectores HA y

 HB tales que BAC 
c) Determine la medida del ángulo entre los vectores C e I si se sabe que 






10
01
I
Tema 7
Sea el espacio vectorial 1V P con producto interno:
           1 1 1 1p x q x p q p q   
Sea el subespacio de V
 1 / 2W a bx P b a   
a) Encuentre una base y determine la dimensión del subespacio W 
b) Si 3v x V   , encuentre un par único de vectores w W y p W 
 tales que v w p 

3. Ramiro J. Saltos
Tema 8
Sea el espacio vectorial 2V P con producto interno:
       
1
1n
p x q x p n q n

 
Sea el subespacio de V
      2 / 1 2 1W p x P p p   
a) Encuentre una base y determine la dimensión del subespacio W 
b) Si
2
1v x x V    , encuentre un par único de vectores w W y p W 
 tales que v w p 
Tema 9
Sea el espacio vectorial real 2 2xV M , con el producto interno real:
2 2, xA B M   T
A B traza AB
Sea el subespacio de V :
2 2 / 2 3x
a b
W M a c d b c d
c d
  
         
  
a) Encuentre una base y determine la dimensión del subespacio W 
b) Si
1 2
3 4
v V
 
  
 
, encuentre un par único de vectores w W y p W 
 tales que v w p 
Tema 10
Sea el espacio vectorial 2P donde está definido el siguiente producto interno:
)1()1()0()0()1()1())(/)(( qpqpqpxqxp 
Y sea  032/2
 cbacxbxaH
Determine:
a)

H
b) La proyección de
2
5)( xxr  sobre H
Tema 11
En el espacio vectorial 1P está definido el siguiente producto interno:
)1()1()0()0()1()1())(/)(( qpqpqpxqxp 
a) Encuentre un vector )(xp tal que su norma sea igual a 30 y la medida del ángulo con el vector
xxq  1)( sea
2

radianes.
b) Sea el subespacio de  0/:1  babxaWP ¿Cuál es el vector de W que está “más cerca” de
xxr 21)(  ?