Este documento presenta una serie de problemas relacionados con la diagonalización ortogonal de matrices. Se proporcionan varias matrices y se piden determinar las matrices ortogonales que las diagonalizan ortogonalmente. También se piden clasificar algunas proposiciones como verdaderas o falsas y encontrar bases ortonormales respecto a las cuales la representación matricial de ciertas transformaciones lineales sean matrices diagonales.

1. Ramiro J. Saltos
ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
Instituto de Ciencias Matemáticas
Algebra Lineal (B)
Deber # 17: Diagonalización Ortogonal
Tema 1
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas justificando apropiadamente su respuesta.
a) La matriz ortogonal
1 1
2 2
1 1
2 2
Q 
 
  
 
diagonaliza ortogonalmente a la matriz simétrica
4 1
1 4
A
 
  
 
b) Para cualquier valor de  la matriz    
   
1 0 0
0
0
Q Sen Cos
Cos Sen
 
 
 
 
  
 
 
es ortogonal
c) :, Rtr  







)()(
)()(
trSentCos
tCostrSen
A es ortogonal
d) Si Q es una matriz ortogonal, entonces  det 1Q 
e) Si A es una matriz ortogonal simétrica, entonces
2
A I
f) Sea nxnA M una matriz ortogonal. Si  es un valor propio de A , entonces 1 
Tema 2
Determine la matriz ortogonal Q que diagonaliza ortogonalmente a la siguiente matriz:
3 9 7
9 7 3
7 3 9
A
 
 
   
 
 
Tema 3
Determine la matriz ortogonal Q que diagonaliza ortogonalmente a la siguiente matriz:
5 3 2
3 5 2
2 2 4
A
  
 
    
   
Tema 4
Determine la matriz ortogonal Q que diagonaliza ortogonalmente a la matriz simétrica













5108
1022
8211
A
Y compruebe que AQQD T
 , donde D es la matriz diagonal semejante a la matriz A

2. Ramiro J. Saltos
Tema 5
Sea la transformación lineal
33
: RRT  con regla de correspondencia:
























cba
ca
cba
c
b
a
T
324
22
423
Encuentre una base ortonormal de
3
R respecto de la cual la representación matricial de T sea una matriz diagonal
Tema 6
Sea la transformación lineal
33
: RRT  con regla de correspondencia:
8 2 4
2 8
4 4
a a b c
T b a b c
c a b c
     
   
      
        
Encuentre una base ortonormal de
3
R respecto de la cual la representación matricial de T sea una matriz diagonal
Tema 7
Sea la transformación lineal
33
: RRT  con regla de correspondencia:
4 5 5
5 2 3
5 3 2
a a b c
T b a b c
c a b c
     
   
     
       
Encuentre una base ortonormal de
3
R respecto de la cual la representación matricial de T sea una matriz diagonal
Tema 8
Sea 2PV  el espacio vectorial con producto interno estándar y VVT : un operador lineal con matriz asociada
respecto a la base canónica de V :











202
422
523
TA
Determine:
a) Una base ortonormal B del )(TNu
b) Una base ortonormal de V que contenga a B