Este documento explica cómo demostrar identidades trigonométricas mediante la manipulación algebraica. Presenta tres formas de verificación: 1) Transformar un miembro de la igualdad en el otro mediante procesos algebraicos. 2) Hacer lo mismo en sentido inverso. 3) Trabajar ambos miembros por separado para llegar a un mismo resultado, lo que demuestra su equivalencia. Luego, guía al lector paso a paso en la demostración de varias identidades trigonométricas como ejemplos.

2. Una identidad trigonométrica es una igualdad que se
verifica para cualquier valor del ángulo, es decir ,
demostrar identidades significa transformar uno de
los miembros de la igualdad hasta encontrar el otro .

3. Formas de verificación
1) A -------> B
Partiendo de A a B mediante procesos de
manipulación algebraicos llegamos a B.
2) B -------> A
Otra manera seria su recíproco partiendo de B
utilizando procesos algebraicos se llega a A.
3) A --------> C
A = B
B --------> C

4. Se trabaja con la expresión “A” llegando a un resultado
“C”, luego se trabaja con “B” llegando al mismo
resultado “C”, dado que entre “A y B”,(luego de aplicar
procesos algebraicos), se obtiene el mismo resultado
“C” se puede decir que “A” y “B” son equivalentes.

6. Empecemos
demostrando el
primer ejemplo.

7. Como 1º paso debemos
verificar si se trata de una
identidad.
¿Cómo lo hacemos ?
Dándole un valor
arbitrario a α .
Por ejemplo α = 30º.
Remplazamos en la
identidad y debemos
llegar a la igualdad
numérica. Es decir:
Remplazamos
α=30ºUna vez hecho
esto ,
remplazamos
por los valores
numérico del
ángulo de 30º.
Aplicamos propiedad
distributiva del
producto con respecto
a la suma .

8. También aplicamos
propiedad de la raíz
de un producto.
Sumamos y
restamos.
Resolvemos la raíz.
Simplificamos la
expresión
fraccionaria.
Y obtenemos
la igualdad.

9. Una vez comprobada que se trata de una
identidad, procedemos a resolver
remplazando fórmulas equivalentes de
modo que lleguemos a la expresión
deseada.

10. Descomponemos la
identidad en función del
seno y del coseno. (Según
nos convenga)
Aplicamos propiedad
distributiva del producto con
respecto a la suma,
simplificamos con lo que nos
queda:
Aplicamos
propiedad
cancelativa, ya
que tenemos
dos elementos
iguales con
distinto signos.
De este modo aplicando métodos
algebraicos y remplazando por su
fórmulas equivalentes, obtuvimos la
igualdad.

11. ¿Pudieron
comprender?
Excelente!!!
Continuemos con
el ejemplo
número dos!.

12. Empecemos
comprobando si se
trata de una
identidad
remplazando en μ
por el ángulo de
45º
Remplazamos por los
valores numéricos del
ángulo de 45º. Y
simplificamos en el
miembro izquierdo la
potencia con la raíz.
Hacemos medio con
medio y extremo con
extremo en el
denominador.
Simplificamos según
corresponda.
Sumamos y
obtenemos la
igualdad.

13. Descomponemos en
función de seno y de
coseno.
Simplificamos en
el denominador
de la primera
fracción .
Sacamos común
denominador, y
remplazamos el
numerador por su
equivalente.
Volvemos a
remplazar por el
equivalente de
1/cos2 μ = sec2 μ
Llegando a la
igualdad.

14. Pasemos al
ejemplo
número
tres.

15. Desarrollo el
cuadrado de un
binomio en el
numerador.
Y en el denominador
descompongo en
seno y coseno.
En el numerador
remplazo seno y coseno
por la igualdad 1 . En el
denominador simplifico
según corresponda.Sacamos común
denominador y de
esta manera
llegamos a la
igualdad.

16. ¿ Pudiste
comprender?
Vamos con un
ejemplo más.

17. Antes de empezar
recuerden verificar que sea
identidad remplazando un
ángulo arbitrario . Si ya
manejan bien el
procedimiento pueden
hacerlo directo con la
calculadora.
Descomponemos en
las funciones seno y
coseno.
En el miembro
derecho
resolvemos la
multiplicación.
En el miembro
izquierdo en el
numerador sacamos
factor común . Hacemos
extremo con extremo y
medio con medio.

18. Simplificamos los
senos.De este modo
llegamos a la
igualdad.

19. Te dejo algunos
ejercicios para
que practiques lo
aprendido.
Llegamos al final
de este tutorial!!
Espero te haya
sido útil.

21. Autora : Quintana Daiana Anabel