Este documento presenta varios ejemplos de sistemas de ecuaciones y cómo resolverlos y representarlos gráficamente. Explica que dos ecuaciones pueden ser equivalentes si una es una consecuencia de la otra. También muestra que un sistema es incompatible si sus ecuaciones son contradictorias, como cuando representan rectas paralelas. Finalmente, resuelve algunos sistemas y analiza geométricamente las soluciones.
Este documento presenta varios ejemplos de sistemas de ecuaciones con dos o más incógnitas. Explica cómo representar estos sistemas gráficamente y analizar si tienen solución o no. También muestra cómo resolver sistemas escalonados de dos o tres ecuaciones mediante el método de sustitución o eliminación de Gauss.
Este documento presenta un resumen de tres temas clave sobre sistemas de ecuaciones lineales: 1) la definición de sistemas de ecuaciones lineales y ejemplos, 2) tres métodos para resolver sistemas (sustitución, igualación y reducción), ilustrando cada uno con ejemplos, 3) cómo resolver problemas mediante la traducción a sistemas y su resolución.
1) El documento presenta dos ejemplos resueltos de sistemas de ecuaciones. En el primer ejemplo, se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y se obtiene la solución (3/8, 7/4). En el segundo ejemplo, se resuelve un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas usando el método de Gauss y se obtiene la solución (3/5, -6/35, -1/35).
Este documento describe los sistemas de ecuaciones y varios métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, incluyendo sustitución, igualación, reducción y gráficamente. Los sistemas de ecuaciones involucran encontrar valores para las incógnitas que satisfagan todas las ecuaciones simultáneamente.
Este documento presenta los conceptos básicos sobre límites de funciones en el cálculo diferencial. Introduce la definición formal de límite y explica cómo calcular límites mediante tablas asignando valores cada vez más cercanos al valor al que tiende la variable. También define límites laterales y presenta teoremas clave para el cálculo directo de límites como el uso de límites de funciones constantes, sumas, productos y cocientes. El documento contiene ejemplos resueltos demostrando la aplicación de estos conceptos
Copia de cedart por fin termine 3er parcialLuisa González
El documento presenta información sobre el bachillerato de arte y humanidades de la escuela CEDART DAVID ALFARO SIQUEIROS. Incluye una lección sobre álgebra que cubre temas como factorización, fracciones algebraicas y ecuaciones lineales.
Solucionario de matematicas para administracion y economoaEdgar Quispe Ccora
Este documento presenta el resumen de un libro de matemáticas para administración y economía. El libro contiene la solución de problemas de conjuntos, relaciones, funciones, representación gráfica de rectas y curvas, cálculo diferencial e integral de funciones de una y más variables, ecuaciones diferenciales y en diferencias. El autor espera que este libro sirva de ayuda para los estudiantes en sus cursos de matemáticas y contribuya a su formación científica.
Este documento presenta un quiz de cálculo vectorial con 5 preguntas. Cada pregunta contiene 1 o 2 partes y vale 1 punto. Se pide resolver las preguntas y sustentar las respuestas con procesos matemáticos para obtener la máxima puntuación. Se da una hora y media para completar el quiz.
Este documento presenta varios ejemplos de sistemas de ecuaciones con dos o más incógnitas. Explica cómo representar estos sistemas gráficamente y analizar si tienen solución o no. También muestra cómo resolver sistemas escalonados de dos o tres ecuaciones mediante el método de sustitución o eliminación de Gauss.
Este documento presenta un resumen de tres temas clave sobre sistemas de ecuaciones lineales: 1) la definición de sistemas de ecuaciones lineales y ejemplos, 2) tres métodos para resolver sistemas (sustitución, igualación y reducción), ilustrando cada uno con ejemplos, 3) cómo resolver problemas mediante la traducción a sistemas y su resolución.
1) El documento presenta dos ejemplos resueltos de sistemas de ecuaciones. En el primer ejemplo, se resuelve un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y se obtiene la solución (3/8, 7/4). En el segundo ejemplo, se resuelve un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas usando el método de Gauss y se obtiene la solución (3/5, -6/35, -1/35).
Este documento describe los sistemas de ecuaciones y varios métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, incluyendo sustitución, igualación, reducción y gráficamente. Los sistemas de ecuaciones involucran encontrar valores para las incógnitas que satisfagan todas las ecuaciones simultáneamente.
Este documento presenta los conceptos básicos sobre límites de funciones en el cálculo diferencial. Introduce la definición formal de límite y explica cómo calcular límites mediante tablas asignando valores cada vez más cercanos al valor al que tiende la variable. También define límites laterales y presenta teoremas clave para el cálculo directo de límites como el uso de límites de funciones constantes, sumas, productos y cocientes. El documento contiene ejemplos resueltos demostrando la aplicación de estos conceptos
Copia de cedart por fin termine 3er parcialLuisa González
El documento presenta información sobre el bachillerato de arte y humanidades de la escuela CEDART DAVID ALFARO SIQUEIROS. Incluye una lección sobre álgebra que cubre temas como factorización, fracciones algebraicas y ecuaciones lineales.
Solucionario de matematicas para administracion y economoaEdgar Quispe Ccora
Este documento presenta el resumen de un libro de matemáticas para administración y economía. El libro contiene la solución de problemas de conjuntos, relaciones, funciones, representación gráfica de rectas y curvas, cálculo diferencial e integral de funciones de una y más variables, ecuaciones diferenciales y en diferencias. El autor espera que este libro sirva de ayuda para los estudiantes en sus cursos de matemáticas y contribuya a su formación científica.
Este documento presenta un quiz de cálculo vectorial con 5 preguntas. Cada pregunta contiene 1 o 2 partes y vale 1 punto. Se pide resolver las preguntas y sustentar las respuestas con procesos matemáticos para obtener la máxima puntuación. Se da una hora y media para completar el quiz.
El documento describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: sustitución, igualación y reducción. También discute casos especiales como sistemas compatibles determinados, incompatibles e indeterminados. Explica cada método con ejemplos paso a paso para ilustrar cómo aplicarlos para encontrar las soluciones a sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta los métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y la ecuación de Bernoulli. Explica que para resolver ecuaciones lineales se utiliza el método de separación de variables o el factor integrante. También cubre la existencia y unicidad de soluciones y proporciona ejemplos resueltos de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden.
Este documento presenta un libro de problemas resueltos de cálculo para estudiantes de primer año. El libro contiene soluciones detalladas a problemas comunes de álgebra, funciones, límites, derivadas y aplicaciones de la derivada para ayudar a los estudiantes a comprender mejor los conceptos básicos del cálculo. El autor espera que este texto facilite el estudio y la comprensión de los estudiantes en su primer curso de cálculo.
Ecuaciones lineales y reducibles a estas ejerciciosDERORI
El documento presenta 8 ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Cada ejercicio comienza con la ecuación diferencial dada y luego se aplican métodos como factores integrantes, sustituciones y cambios de variables para reducirla a una forma lineal o separable que puede integrarse. Las soluciones finales se expresan en términos de funciones elementales como exponenciales, logaritmos y potencias.
Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre límites de funciones y continuidad. En la primera sección, se calculan límites de funciones racionales cuando el denominador se hace cero. Luego, se analiza la continuidad de cuatro funciones mediante su representación gráfica. Más adelante, se comprueba que una función se aproxima a una recta cuando x tiende a infinito. Finalmente, se calculan varios límites de funciones racionales, polinómicas y trigonométricas en diferentes puntos.
Este documento describe cómo encontrar trayectorias ortogonales a una familia de curvas dadas. Explica que las trayectorias ortogonales son aquellas cuyas curvas se cortan perpendicularmente. Muestra cómo obtener la ecuación diferencial asociada a una familia de curvas y luego usarla para encontrar la ecuación diferencial de la familia ortogonal. Resuelve este proceso para varios ejemplos numéricos y gráficamente representa tanto las familias originales como las ortogonales. Finalmente, propone algunos ejercicios para que el estudiante los
1) El documento presenta aplicaciones geométricas de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo trayectorias isogonales y ortogonales, y problemas de persecución.
2) Se define formalmente trayectorias isogonales y se dan ejemplos de hallar dichas trayectorias.
3) Se presentan ejemplos de problemas de persecución entre objetos que se mueven a lo largo de ejes de coordenadas.
El documento presenta 4 ejemplos de funciones racionales y analiza su continuidad y tipo de discontinuidades en puntos donde anula el denominador. El primer ejemplo muestra una discontinuidad evitable. El segundo y tercer ejemplo presentan discontinuidades salto infinito. El cuarto ejemplo analiza discontinuidades salto infinito en dos puntos y tiene una asíntota horizontal.
Este documento presenta los conceptos básicos de relaciones y funciones matemáticas. Define términos como par ordenado, producto cartesiano, dominio, rango e inversa de una relación. También explica cómo graficar ecuaciones mediante la identificación de intersecciones con los ejes, asíntotas, simetrías y extensión del dominio y rango. Finalmente, incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
Este documento presenta información sobre funciones racionales. Introduce el concepto de función racional como una función que se expresa como el cociente de dos polinomios. Explica cómo graficar funciones racionales y determinar sus asíntotas. También cubre operaciones como suma, resta, multiplicación y división de funciones racionales. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar conceptos como evaluación, simplificación y operaciones con funciones racionales.
Este documento presenta un resumen de los conceptos clave de límites matemáticos. Define un límite como el número L al que se aproximan los valores de una función f(x) cuando x se acerca a un valor a. Incluye propiedades como que el límite de una suma es la suma de los límites individuales y el límite de un producto es el producto de los límites. También cubre métodos para calcular límites como sustituir el valor límite directamente en la función o usar reglas para límites de funciones racionales, raíz cu
Este documento presenta un resumen del Capítulo 3 sobre la derivada. Explica la definición de derivada como el límite de la pendiente de la recta secante cuando el intervalo se hace más pequeño. También cubre temas como la velocidad instantánea, diferentes formas de calcular derivadas, reglas de derivación y derivadas de funciones hiperbólicas. El objetivo es definir la derivada y usarla para calcular ecuaciones de rectas tangentes y normales.
Este documento presenta un resumen de los conceptos fundamentales de límites de funciones. Introduce los límites de forma intuitiva a través de ejemplos y tablas de valores. Luego define el límite formalmente como la aproximación del valor de una función cuando la variable independiente se aproxima a un punto. Finalmente, muestra cómo demostrar límites formalmente mediante la desigualdad ε-δ.
Este documento trata sobre funciones polinomiales. Define funciones polinomiales y monomiales, y explica cómo realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división con polinomios y monomiales. También cubre conceptos como grado de un polinomio/monomio, reducción de términos semejantes, y ordenar polinomios en forma creciente y decreciente. Finalmente, presenta ejemplos y ejercicios para practicar estas operaciones con polinomios.
Este documento presenta un método tabular para resolver integrales mediante la técnica de integración por partes. El método involucra elegir las funciones u y dv basado en una palabra mnemotécnica, y organizar la aplicación repetida de la fórmula de integración por partes en una tabla con tres columnas para u, los productos diagonales, y las integrales sucesivas de v. El método se ilustra con varios ejemplos.
Este documento presenta una introducción a los números, incluyendo su clasificación, propiedades y operaciones. Se divide los números en enteros, racionales, irracionales y reales. Explica cómo convertir números decimales periódicos a fracciones y representar números reales en una recta numérica. También describe las propiedades de las operaciones de suma, multiplicación, y define qué es una operación binaria.
Estrategias de comunicación en medios digitales - Sesión 3Omar Vite
Este documento presenta un módulo de marketing digital que enseña sobre el análisis del consumidor digital, las herramientas de marketing digital y la planificación de estrategias de marca. El objetivo del curso es que los participantes creen estrategias de marketing digital a corto plazo utilizando las herramientas más útiles para sus objetivos. Una sesión cubre la generación de modelos de negocio y describe elementos como segmentos de mercado, propuestas de valor, canales y relaciones con clientes.
El documento describe varios modelos de negocio de empresas de medios digitales y tecnología como Flickr, Google, iPod/iTunes, Skype, Lego Factory e InnoCentive. Explica cómo estas empresas generan ingresos a través de publicidad, suscripciones, venta de hardware y software, comisiones u honorarios por resolver problemas científicos.
Este documento describe dos métodos para calcular el volumen de sólidos de revolución: el método del disco y el método de la arandela. El método del disco divide la región giratoria en discos delgados y suma sus volúmenes. El volumen total se aproxima como una integral de Riemann. El método de la arandela se usa cuando la región giratoria no toca el eje; en este caso las secciones transversales son arandelas en lugar de discos. El documento proporciona fórmulas para calcular el volumen
Caderno Educação Ambiental do Governo do Estado de SP - Resíduos Sólidos - Tainá Bimbati
Este documento apresenta um resumo sobre políticas de resíduos sólidos no Brasil e em São Paulo e sobre a gestão desses resíduos. Aborda a Política Nacional de Saneamento Básico, a Política Nacional de Resíduos Sólidos e a Política Estadual de Resíduos Sólidos de São Paulo, incluindo seus instrumentos e categorias. Também discute os eixos e aspectos inovadores da gestão de resíduos sólidos, como logística reversa e análise do ciclo de
El documento describe tres métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales: sustitución, igualación y reducción. También discute casos especiales como sistemas compatibles determinados, incompatibles e indeterminados. Explica cada método con ejemplos paso a paso para ilustrar cómo aplicarlos para encontrar las soluciones a sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta los métodos para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y la ecuación de Bernoulli. Explica que para resolver ecuaciones lineales se utiliza el método de separación de variables o el factor integrante. También cubre la existencia y unicidad de soluciones y proporciona ejemplos resueltos de diferentes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden.
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Ecuaciones lineales y reducibles a estas ejerciciosDERORI
El documento presenta 8 ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales de primer orden. Cada ejercicio comienza con la ecuación diferencial dada y luego se aplican métodos como factores integrantes, sustituciones y cambios de variables para reducirla a una forma lineal o separable que puede integrarse. Las soluciones finales se expresan en términos de funciones elementales como exponenciales, logaritmos y potencias.
Este documento presenta ejemplos y ejercicios sobre límites de funciones y continuidad. En la primera sección, se calculan límites de funciones racionales cuando el denominador se hace cero. Luego, se analiza la continuidad de cuatro funciones mediante su representación gráfica. Más adelante, se comprueba que una función se aproxima a una recta cuando x tiende a infinito. Finalmente, se calculan varios límites de funciones racionales, polinómicas y trigonométricas en diferentes puntos.
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1) El documento presenta aplicaciones geométricas de ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo trayectorias isogonales y ortogonales, y problemas de persecución.
2) Se define formalmente trayectorias isogonales y se dan ejemplos de hallar dichas trayectorias.
3) Se presentan ejemplos de problemas de persecución entre objetos que se mueven a lo largo de ejes de coordenadas.
El documento presenta 4 ejemplos de funciones racionales y analiza su continuidad y tipo de discontinuidades en puntos donde anula el denominador. El primer ejemplo muestra una discontinuidad evitable. El segundo y tercer ejemplo presentan discontinuidades salto infinito. El cuarto ejemplo analiza discontinuidades salto infinito en dos puntos y tiene una asíntota horizontal.
Este documento presenta los conceptos básicos de relaciones y funciones matemáticas. Define términos como par ordenado, producto cartesiano, dominio, rango e inversa de una relación. También explica cómo graficar ecuaciones mediante la identificación de intersecciones con los ejes, asíntotas, simetrías y extensión del dominio y rango. Finalmente, incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El documento presenta una introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales de primer orden, segundo orden y de orden superior. Explica métodos como separables, coeficientes indeterminados y variación de parámetros para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales. También aborda la resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos ordinarios usando series de Taylor.
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Este documento describe los conceptos clave del modelo de negocio, incluyendo segmentos de mercado, propuesta de valor, canales, relaciones con clientes, recursos clave y actividades clave. Explica diferentes tipos de cada elemento y proporciona preguntas para ayudar a las empresas a analizar sus propios modelos de negocio.
Globalization is occurring across multiple dimensions including economic, cultural, political and financial spheres. Key aspects of globalization include the merging of national markets into a global marketplace, the dispersal of production activities across countries, and the increasing flow of ideas, culture and information enabled by advances in technology. Both opportunities and challenges arise from globalization, such as more competitive prices for consumers but also potential job losses and increased cultural homogenization.
Reglamento interior derecho de huelga derecho laboral.Vero Pacheco
El documento trata sobre el reglamento interior de trabajo. Explica que es un conjunto de disposiciones obligatorias para trabajadores y patrones. Detalla los requisitos de contenido que debe tener como horarios, normas de seguridad y disciplina. Además, explica que debe depositarse ante la Junta de Conciliación y Arbitraje para ser obligatorio.
Human resource management is one of the key functions within the broader scope of human resource development. If you are or want to become a manager in the health services, you will in all likelihood have some responsibility for managing people.
Author: Uta Lehmann
Institution: University of the Western Cape
This resource is part of the African Health Open Educational Resources Network: http://www.oerafrica.org/healthoer. The original resource is also available from the authoring institution at http://freecourseware.uwc.ac.za/
Creative Commons license: Attribution-Share Alike 3.0
Este documento es un certificado de ingresos y retenciones de un empleado. Proporciona instrucciones sobre quiénes están obligados a presentar una declaración de impuestos y quiénes no, dependiendo de los ingresos y el patrimonio del empleado. También especifica que para los empleados no obligados a declarar, el impuesto es igual a las retenciones realizadas y que este certificado sustituye su declaración de impuestos.
Este documento presenta un proyecto formativo para diseñar un plan de mejoramiento que fomente el fortalecimiento de las mipymes del sistema moda en Cúcuta y su área metropolitana. El proyecto consta de varias fases que incluyen realizar un análisis situacional y diagnóstico de las mipymes, elaborar un plan de trabajo, implementar acciones de mejora, y evaluar los resultados. El objetivo general es diseñar un plan de mejoramiento para las mipymes que mejore su gestión, productividad y competitividad.
Este documento presenta información sobre la segmentación de mercados. Explica que la segmentación de mercados es un proceso clave en la estrategia de marketing que consiste en dividir el mercado total en subgrupos más homogéneos de acuerdo a variables como geográficas, demográficas y psicográficas. La segmentación permite a las empresas desarrollar estrategias de marketing específicas para cada segmento identificado y satisfacer de mejor manera las necesidades de los consumidores. También describe los objetivos, beneficios, requisitos y criter
Este documento proporciona instrucciones para conectarse a una base de datos de Access y realizar consultas desde Visual Studio.NET. Explica cómo crear la conexión a la base de datos, ejecutar consultas SQL y mostrar los resultados en un DataGridView. También incluye el código para llenar una tabla con datos de la base de datos y mostrarla en el formulario.
Este documento presenta una guía de aprendizaje para enseñar a los aprendices a realizar diagnósticos de mercado. La guía comienza con una introducción que explica la importancia de entender las necesidades de los clientes y los cambios en el entorno empresarial. Luego, detalla las actividades de aprendizaje, que incluyen conceptualizar mercados, identificar segmentos de mercado, y analizar factores internos y externos que afectan el negocio. Finalmente, la guía lista los recursos necesarios como materiales, ambientes de aprend
Este documento presenta el manual de procedimientos del sistema de cadena de custodia de la Fiscalía General de la Nación de Colombia. El manual describe los procedimientos para el manejo adecuado de las evidencias físicas desde su recolección en la escena del crimen hasta su disposición final, con el fin de garantizar la integridad de la cadena de custodia y preservar la validez probatoria de las evidencias en los procesos penales. El manual también establece los objetivos, marco normativo y los actores involucrados en la implementación del sistema de cadena de custodia
Jill gives birth to triplets named Renata, Carlisle, and Aro. Edward is doing homework that involves math with an ice cream cone and watermelon. Jill is no longer pregnant and enjoys using the pool slide. Bella crawls out of the doghouse on her birthday.
El documento presenta una introducción al manual de estudios de mercado. Explica que la investigación de mercados proporciona datos sobre el mercado para ayudar a la dirección a adoptar una orientación al mercado. Luego describe brevemente los diferentes tipos de investigación (exploratoria, descriptiva y causal) y sus objetivos respectivos. Finalmente, indica que la investigación de mercados es una herramienta poderosa para la toma de decisiones a corto y largo plazo cuya misión principal es obtener información para reducir riesgos.
This chapter follows Christie as she marries Zeeshan under a deal that allows her to later divorce him and marry Grady. At their dysfunctional wedding, fights break out between Amylu and Sadie. After just five minutes of marriage, Christie divorces a heartbroken Zeeshan to pursue Grady, leaving Zeeshan devastated.
Curso Gestión de Procesos FEB.2014 - Dr. Miguel Aguilar SerranoMiguel Aguilar
Este documento trata sobre la planeación operativa con visión estratégica en el gobierno estatal. Describe los componentes organizacionales que deben considerarse como parte de la administración del cambio, incluyendo la planeación estratégica, procesos, tecnología, presupuesto por resultados, rediseño organizacional, factor humano y evaluación de la gestión pública. También habla sobre la necesidad de alinear estratégicamente los objetivos operativos con los objetivos estratégicos para lograr resultados e impactos a través de la ejecuc
Este documento presenta una serie de ejercicios y problemas resueltos sobre sistemas de ecuaciones. Incluye ejemplos resueltos de sistemas de ecuaciones lineales representados gráficamente y algebraicamente, así como problemas de la vida real que se pueden resolver usando sistemas de ecuaciones.
La programación lineal es un método para encontrar la solución óptima cuando se quiere optimizar una función objetivo lineal sujeta a restricciones lineales. Se representan las restricciones como semiplanos y la intersección de éstos da la región de validez. La solución óptima se encuentra en un vértice de dicha región.
Este documento presenta varios ejercicios y problemas relacionados con sistemas de ecuaciones. Incluye ejemplos de verificar si puntos dados son soluciones de sistemas, completar sistemas para que tengan soluciones específicas, representar sistemas gráficamente y encontrar sus soluciones, y resolver sistemas mediante sustitución, igualación y reducción.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones, incluyendo igualdades, identidades, ecuaciones de primer y segundo grado, ecuaciones equivalentes, ecuaciones incompletas, resolución de ecuaciones y aplicaciones de ecuaciones de segundo grado.
Este documento presenta conceptos básicos sobre ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Introduce las nociones de igualdad, identidad y ecuación, y explica cómo resolver ecuaciones de primer y segundo grado, incluyendo ecuaciones completas, incompletas e irracionales. También cubre temas como ecuaciones equivalentes, descomposición de trinomios cuadrados perfectos y aplicaciones de ecuaciones de segundo grado.
Este documento presenta una unidad didáctica sobre ecuaciones con dos incógnitas. Explica que la expresión general de una ecuación con dos incógnitas es F(x,y)=0, donde F es una función. Se centra en ecuaciones que pueden despejarse para dar y=f(x) o x=g(y). Cubre ecuaciones lineales, cuadráticas, exponenciales y circulares, resolviendo ejemplos como 2x-y+1=0, x-y^2+4y-8=0 y x^2+(y+1
Este documento presenta una lección sobre sistemas de ecuaciones lineales. Explica cuatro métodos para resolver sistemas de ecuaciones: eliminación, sustitución, igualación y gráfico. Proporciona ejemplos detallados de cada método y ejercicios para practicar. El objetivo es introducir a los estudiantes en los sistemas de ecuaciones como una base para el álgebra.
Este documento presenta 7 ejemplos de derivadas e integrales de funciones. En los ejemplos 1-4 se muestran derivadas de funciones logarítmicas y raíces cuadradas utilizando propiedades básicas. Los ejemplos 5-6 evalúan integrales mediante sustituciones de variables. El último ejemplo desarrolla una integral trigonométrica mediante un cambio de variable.
El documento describe conceptos básicos sobre ecuaciones como identidades, ecuaciones, soluciones de ecuaciones, ecuaciones equivalentes y métodos para resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Explica que una identidad siempre es verdadera mientras que una ecuación sólo lo es para ciertos valores de las incógnitas, y cómo usar reglas algebraicas para transformar ecuaciones en formas equivalentes y así poder resolverlas.
Este documento presenta tres ejercicios relacionados con ecuaciones diferenciales para ser resueltos por estudiantes de ingeniería. El primer ejercicio pide determinar si ciertas funciones son soluciones de ecuaciones diferenciales dadas. El segundo ejercicio pide resolver ecuaciones diferenciales de primer orden usando diferentes métodos. El tercer ejercicio pide resolver ecuaciones diferenciales de orden mayor según el método correspondiente.
Este documento presenta una serie de ejercicios y problemas relacionados con ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden. Se piden determinar si ciertas funciones son soluciones de ecuaciones diferenciales dadas y resolver ecuaciones diferenciales usando métodos como separación de variables, factores integradores y anuladores.
Este documento introduce conceptos básicos de álgebra lineal como sistemas de ecuaciones lineales, matrices y operaciones con matrices. Explica que las matrices permiten representar sistemas de ecuaciones lineales de forma compacta y definir operaciones como suma, producto por un escalar y producto de matrices que permiten resolver sistemas. También define conceptos como matriz cuadrada, triangular, nula, diagonal e identidad.
Este documento introduce conceptos básicos de álgebra lineal como sistemas de ecuaciones lineales, matrices y operaciones con matrices. Explica cómo los sistemas de ecuaciones pueden representarse mediante tablas de números llamadas matrices. Define conceptos como suma, producto y transposición de matrices. También introduce tipos especiales de matrices como matrices nulas, diagonales, unitarias y triangulares.
1) El documento presenta una serie de ejercicios resueltos de ecuaciones de primer, segundo, tercer y cuarto grado. Incluye ecuaciones lineales, cuadráticas, bicuadradas, irracionales y de resolución mediante factorización previa.
2) Los ejercicios están organizados en cuatro secciones y concluye proponiendo una serie de nuevos ejercicios para resolver.
3) El documento ofrece una explicación detallada de cada paso para llegar a la solución de cada ecuación planteada.
Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 1ºbach.ccssMatemolivares1
Este documento presenta una serie de ejercicios relacionados con exponentes y logaritmos. Incluye la resolución de ecuaciones, sistemas de ecuaciones y expresiones logarítmicas, así como el cálculo de logaritmos en diferentes bases.
Este documento explica las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Define las ecuaciones, el grado y cómo resolverlas. Explica el procedimiento para resolver ecuaciones, que incluye eliminar denominadores, paréntesis y términos, y despejar la incógnita. También cubre la equivalencia de ecuaciones y cómo resolver problemas usando ecuaciones de primer grado. Incluye ejemplos resueltos de ecuaciones y problemas.
Este documento explica las ecuaciones de primer grado con una incógnita, incluyendo cómo resolverlas mediante el despeje de la incógnita y comprobando la solución. También incluye ejemplos de ecuaciones equivalentes y no equivalentes, y problemas resueltos que implican plantear y resolver ecuaciones de primer grado.
Este documento explica cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante tres métodos: representación gráfica, sustitución y reducción. Se describen los pasos para cada método y se proporcionan ejemplos resueltos.
El documento habla sobre los sistemas de ecuaciones lineales de 2 variables. Explica que un sistema 2x2 consiste en dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Presenta diferentes métodos para resolver sistemas de ecuaciones como igualación, sustitución, reducción por suma y resta y método gráfico. Como ejemplo, explica cómo resolver un sistema usando el método de sustitución.
Este documento contiene 26 problemas de álgebra que incluyen ecuaciones y sistemas de ecuaciones de primer y segundo grado, ecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales y cuadráticas, factorización de polinomios, divisibilidad de polinomios y operaciones con fracciones algebraicas. Los problemas deben resolverse para practicar conceptos matemáticos de primero de bachillerato.
Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
SEMIOLOGIA DE HEMORRAGIAS DIGESTIVAS.pptxOsiris Urbano
Evaluación de principales hallazgos de la Historia Clínica utiles en la orientación diagnóstica de Hemorragia Digestiva en el abordaje inicial del paciente.
Presentación de proyecto en acuarela moderna verde.pdf
U1 sol
1. 1 SISTEMAS DE ECUACIONES.
MÉTODO DE GAUSS
Página 27
REFLEXIONA Y RESUELVE
Ecuaciones e incógnitas. Sistemas de ecuaciones
1. ¿Podemos decir que las dos ecuaciones siguientes son dos “datos distintos”?
¿No es cierto que la segunda dice lo mismo que la primera?
° 2x + y = 5
¢
£ 4x + 2y = 10
■ Represéntalas gráficamente y obser-
va que se trata de la misma recta.
Se trata de la misma recta.
1
1
4x + 2y = 10
2x + y = 5
■ Escribe otro sistema de dos ecuacio-
nes con dos incógnitas en el que la
segunda ecuación sea, en esencia,
igual que la primera. Interprétalo
gráficamente.
x + y = 1°
¢ 1
3x + 3y = 3 £
1
Gráficamente son la misma recta.
x+y=1
3x + 3y = 3
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
1
2. 2. Observa las ecuaciones siguientes:
° 2x + y = 5
§
¢ x– y=1
§
£ x + 2y = 4
■ Represéntalas gráficamente y observa
que las dos primeras rectas determi- x–y=1
nan un punto (con esos dos datos se x + 2y = 4
responde a las dos preguntas: x = 2,
y = 1). Comprueba que la tercera rec-
ta también pasa por ese punto.
1 (2, 1)
1 2
2x + y = 5
■ Da otra ecuación que también sea
“consecuencia” de las dos primeras. x–y=1
x + 2y = 4
Por ejemplo:
2 · (1.ª) + 3 · (2.ª)
Represéntala y observa que también 1 (2, 1)
pasa por x = 2, y = 1.
1 2
2 · 1.a + 3 · 2.a 8 7x – y = 13
2x + y = 5
7x – y = 13
3. Considera ahora estas ecuaciones:
° 2x + y = 5
¢
£ 2x + y = 7
Observa que lo que dice la segunda
ecuación es contradictorio con lo que
dice la primera.
■ Represéntalas y observa que se trata 1
de dos rectas paralelas, es decir, no
1 2
tienen solución común, pues las rec-
2x + y = 7
tas no se cortan en ningún punto.
2x + y = 5
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
2
3. UNIDAD 1
■ Modifica el término independiente de la segunda ecuación del sistema que in-
ventaste en el ejercicio 1 y representa de nuevo las dos rectas.
Observa que lo que dicen ambas ecuaciones es ahora contradictorio y que se
representan mediante rectas paralelas.
x + y = 1° 1
¢ Rectas paralelas:
3x + 3y = 0 £
1
x+y=1
3x + 3y = 0
Página 29
1. Sin resolverlos, explica por qué son equivalentes los siguientes pares de siste-
mas:
° x+y=5 °x+y–z=5
a) ¢ b) ¢
£ 2x – y = 7 £x+y–z=7
° x+y= 5 ° z=2
¢ ¢
£ 3x – y = 12 £ x+y–z=7
° x+ y–z= 5
§ ° x + y – z = 11
c) ¢ x + y – z = 7 d) ¢
§ £ x + 2y – z = 7
£ 2x + 2y – z = 12
° z=2 ° x + y – z = 11
¢ ¢
£ x+y–z=7 £ y – z = –4
a) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de sumar las dos que tenía-
mos.
b) Hemos sustituido la primera ecuación por el resultado de restarle a la segunda
ecuación la primera.
c) En el primer sistema, la tercera ecuación se obtiene sumando las dos primeras. El
resto es igual que en b).
d) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de restarle a la segunda
ecuación la primera.
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
3
4. Página 31
1. Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas:
° 2x + y = 1 °x+ y+z=6 ° x+y+z=6 °x+y+z=6
§ § § §
a) ¢ 3x + 2y = 4 b) ¢ y–z=1 c) ¢ x + y + z = 0 d) ¢ y–z=1
§ § § §
£ x+ y=3 £ x + 2y + z = 7 £x y– z=0 £ z=1
a) 2x + y = 1 ° 8 y = 1 – 2x °
§ §
3x + 2y = 4 ¢ ¢ 1 – 2x = 3 – x 8 x = –2, y = 3 – (–2) = 5
§ §
x+ y= 3£ 8 y= 3 – x £
Veamos si cumple la 2.a ecuación: 3 · (–2) + 2 · 5 = –6 + 10 = 4
Solución: x = –2, y = 5. Son tres rectas que se cortan en el punto (–2, 5).
b) x + y + z = 6 °
§ a
y – z = 1 ¢ La 3. ecuación se obtiene sumando las dos primeras;
§ podemos prescindir de ella.
x + 2y =7£
x + y = 6 – z ° x = 6 – z – y = 6 – z – 1 – z = 5 – 2z
¢
y=1+z£ y=1+z
Solución: x = 5 – 2l, y = 1 + l, z = l. Son tres planos que se cortan en una recta.
c) x + y + z = 6 ° Las dos primeras ecuaciones son contradictorias.
§
x+ y+z=0¢ El sistema es incompatible.
§ Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.
x –z=0£
d) x + y + z = 6° z = 1
§
y–z= 1¢ y = 1 + z = 2
§
z= 1£ x = 6 – y – z = 6 – 2 – 1 = 3
Solución: x = 3, y = 2, z = 1. Son tres planos que se cortan en el punto (3, 2, 1).
° x + 2y = 3
2. a) Resuelve este sistema: ¢
£ x– y=4
b) Añade una tercera ecuación de modo que siga siendo compatible.
c) Añade una tercera ecuación de modo que sea incompatible.
d) Interpreta geométricamente lo que has hecho en cada caso.
° –1
3 – 2y = 4 + y 8 –1 = 3y 8 y = —
a) x + 2y = 3 ° x = 3 – 2y § 3
¢ ¢
x– y=4 £ x=4+ y § 1 11
£ x=4+y=4– —=—
3 3
11 –1
Solución: x = , y=
3 3
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
4
5. UNIDAD 1
b) Por ejemplo: 2x + y = 7 (suma de las dos anteriores).
c) Por ejemplo: 2x + y = 9
d) En a) 8 Son dos rectas que se cortan en ( 11 , –1 ).
3 3
La nueva recta también pasa por ( ,
3 3 )
11 –1
En b) 8 .
La nueva recta no pasa por ( ,
3 3 )
11 –1
En c) 8 . No existe ningún punto común a
las tres rectas. Se cortan dos a dos.
Página 32
1. Reconoce como escalonados los siguientes sistemas y resuélvelos:
° 2x + y + 3z = 6
° 3x – 2y = 7 §
a) ¢ b) ¢ x + y + 3z = 7
£ x – 2y = 5 §
£ 5x + y – z = 4
° 2x + + 3z – 2t = 6 ° 2x + 3y + 3z = 0
§ §
c) ¢ x + y + 3z– 2t = 7 d) ¢ x + 3y – z = 7
§ §
£ 5x + y – 3z + t = 4 £ 4x + 3y + 3z = 4
° x= 7 °
—
a) 3x =7 § 3 § 7 –4
Solución: x = , y=
x – 2y = 5 ¢ x–5 –4 ¢ 3 3
§ y= ——— = — §
£ 2 3 £
b) 2x = 6 ° 2x = 6° x=3
§ §
x + y + 3z = 7 ¢ 5x – z = 4¢ z = 5x – 4 = 11
§ §
5x – z = 4 £ x + y + 3z = 7 £ y = 7 – x – 3z = 7 – 3 – 33 = –29
Solución: x = 3, y = –29, z = 11
c) 2x – 2t = 6 ° 2x = 6 + 2t ° x=3+t
§ §
x + y + 3z = 7¢ 5x – z=4–t ¢ z = 5x – 4 + t = 11 + 6t
§ §
5x – z+ t = 4£ x + y + 3z = 7 £ y = 7 – x – 3z = –29 – 19t
Soluciones: x = 3 + l, y = –29 – 19l, z = 11 + 6l, t = l
° x=1
d) 2x + 3z = 0 ° 4x =4 §§ –2x –2
§
x + 3y – z = 7 ¢ 2x + 3z = 0 § z = —— = —
¢ 3 3
§ §
7 – x + z 16
4x =4£ x + 3y – z = 7 §
§ y = ———— = —
3 9
£
16 –2
Solución: x = 1, y = , z=
9 3
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
5
6. 2. ¿Son escalonados estos sistemas? Resuélvelos:
° z+ t=3
° 2y + z = 1 §
§ ° x+y+z=7 °x + y + z = 3 § y + 3z – 2t = 4
a) ¢ 2y + 2z = 1 b) ¢ c) ¢ d) ¢
§ £ 2x + y – z = 4 £ x–y–z=2 § 2z + 2t = 2
£ x + 2y + 2z = 1 §
£ x + y – z + 2t = 5
1
a) 2y + z = 1 ° 2y = 1° y = —
§
§ 2
2y =1¢ 2y + z = 1 §
¢ z = 1 – 2y = 0
§
x + 2y + 2z = 1 £ x + 2y + z = 1 §
§ x = 1 – 2y – z = 0
£
1
Solución: x = 0, y = , z=0
2
° z
b) x + y + z = 7 ° 2x =4+z§ x=2+— 2
¢ ¢
2x –z=4£ x+y=7–z§ 3z
y = 7–z–x= 5 – —
£ 2
Soluciones: x = 2 + l, y = 5 – 3l, z = 2l
c) x + y + z = 3 ° x =2+y° x=2+y
¢ ¢ z = 3 – y – 2 – y = 1 – 2y
x–y =2£ x+z=3–y£
Soluciones: x = 2 + l, y = l, z = 1 – 2l
d) z+ t = 3 ° 2z = 2° z = 1
§ §
y + 3z – 2t = 4 § z+ t = 3§ t = 3 – z = 2
¢ ¢
2z = 2 § y + 3z – 2t = 4 § y = 4 – 3z + 2t = 5
§ §
x – z + 2t = 5 £ x – z + 2t = 5 £ x = 5 + z – 2t = 2
Solución: x = 2, y = 5, z = 1, t = 2
Página 33
3. Transforma en escalonados y resuelve:
° 2x – 3y = 21 ° 5x – 4y = 23
a) ¢ b) ¢
£ 3x + y = 4 £ 3x + 2y = 27
a) 2x – 3y = 21 ° 2x – 3y = 21 ° x = 3 °
(1.ª) §
¢ ¢ 21 – 2x
3x + y = 4 £ 3 · (2.ª) + (1.ª) 11x = 33 £ y = — = –5 ¢§
–3 £
Solución: x = 3, y = –5
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
6
7. UNIDAD 1
b) 5x – 4y = 23 ° 5x – 4y = 23 ° x = 7 °
(1.ª) §
¢ ¢ –23 + 5x
3x + 2y = 27 £ 2 · (2.ª) + (1.ª) 11x = 77 £ y = — = 3 ¢ §
4 £
Solución: x = 7, y = 3
4. Transforma en escalonados y resuelve:
° x – y + 3z = – 4
§
a) ¢ x + y + z = 2
§
£ x + 2y – z = 6
° x+y+z= 6
§
b) ¢ x – y – z = – 4
§
£ 3x + y + z = 8
a) x – y + 3z = –4 ° (1.ª)
x – y + 3z = –4 ° (1.ª)
x – y + 3z = –4 °
§ § §
x+ y+ z= 2¢ (2.ª) – (1.ª) 2y – 2z = 6 ¢ (2.ª) : 2 y– z= 3¢
§ (3.ª) – (1.ª) § (3.ª) §
x + 2y – z = 6 £ 3y – 4z = 10 £ 3y – 4z = 10 £
(1.ª)
x – y + 3z = –4 ° z = –1 °
§ §
(2.ª) y– z= 3 ¢ y=3+z=2 ¢
(3.ª) – 3 · (2.a) § §
–z = 1 £ x = –4 + y – 3z = 1 £
Solución: x = 1, y = 2, z = –1
b) x + y + z = 6 ° (1.ª)
x + y + z = 6°
§ § (1.ª) x + y + z = 6°
x – y – z = –4 ¢ (2.ª) – (1.ª) –2y – 2z = –10 ¢ ¢
(2.ª) : (–2) y + z = 5£
§ (3.ª) – 3 · (1.ª) §
3x + y + z = 8 £ –2y – 2z = –10 £
(Podemos prescindir de la 3.a, pues es igual que la 2.a).
x+y=6–z ° x=6–z–y=6–z–5+z=1
¢
y=5–z £ y=5–z
Soluciones: x = 1, y = 5 – l, z = l
Página 36
1. Resuelve estos sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss:
° x+ y+ z=2 ° 3x – 4y + 2z = 1 ° x – 2y = –3
§ § §
a) ¢ 3x – 2y – z = 4 b) ¢ –2x – 3y + z = 2 c) ¢ –2x + 3y + z = 4
§ § §
£ –2x + y + 2z = 2 £ 5x – y + z = 5 £ 2x + y – 5z = 4
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
7
8. ( ) ( )
a) x + y + z = 2° 1 1 1 2 (1.ª) 1 1 1 2
§
3x – 2y – z = 4 ¢ 3 –2 –1 4 8 (2.ª) – 3 · (1.a) 0 –5 –4 –2 8
§ –2 1 2 2 (3.ª) + 2 · (1.a) 0 3 4 6
–2x + y + 2z = 2 £
°
x + y + z = 2° z = 3
8
(1.ª)
(2.ª) · (–1)
(3.ª) · 5 + (2.a) · 3 ( 1 1 1
0 5 4
0 0 8
2
2
24 ) 8
§
§
2 – 4z
5y + 4z = 2 ¢ y = ——— = –2
5
2z = 24 £ x = 2 – y – z = 1
§
§
¢
§
§
£
Solución: x = 1, y = –2, z = 3
( ) ( )
b) 3x – 4y + 2z = 1 ° 3 –4 2 1 –7 –2 0 –9
§ (1.ª) – 2 · (3.a)
–2x – 3y + z = 2 ¢ –2 –3 1 2 8 (2.ª) – (3.a) –7 –2 0 –3
§ 5 –1 1 5 (3.ª) 5 –1 1 5
5x – y + z = 5 £
Las dos primeras ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible.
( ) ( )
c) x – 2y = –3 ° 1 –2 0 –3 (1.ª) 1 –2 0 –3
§
–2x + 3y + z = 4 ¢ –2 3 1 4 8 (2.ª) + 2 · (1.a) 0 –1 1 –2 8
§ 2 1 –5 4 (3.ª) – 2 · (1.a) 0 5 –5 10
2x + y – 5z = 4 £
8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + 5 · (2.a) ( 1 –2 0
0 –1 1
0 0 0
–3
–2
0 ) 8
x – 2y = –3 ° x = –3 + 2y
¢
–y + z = –2 £ z = –2 + y
Soluciones: x = –3 + 2l, y = l, z = –2 + l
2. Resuelve mediante el método de Gauss:
° 2x – y + w=0 ° 2x – y + w= 9
° x – y + 2z = 2 § §
§ § x – 2y + z =0 § x – 2y + z = 11
a) ¢ –x + 3y + z = 3 b) ¢ c) ¢
§ § 5x – y + z + w = 0 § 5x – y + z + w = 24
£ x + y + 5z = 7 § §
£ 5x – 2y – z + 2w = 0 £ 5x – 2y – z + 2w = 0
( ) ( )
a) x – y + 2z = 2 ° 1 –1 2 2 (1.ª) 1 –1 2 2
§
–x + 3y + z = 3 ¢ –1 3 1 3 8 (2.ª) + (1.a) 0 2 3 5 8
§ 1 1 5 7 (3.ª) – (1.a) 0 2 3 5
x + y + 5z = 7 £
x – y + 2z = 2 ° x – y = 2 – 2z ° x = 2 – 2z + y
§
8 ¢ 5 – 3z 5 3z
2y + 3z = 5 £ 2y = 5 – 3z ¢ y = ——— = — – —
§ 2 2 2
£
5 3z 9 7z
x = 2 – 2z + – = –
2 2 2 2
9 5
Soluciones: x = –7l, y = – 3l, z = 2l
2 2
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
8
9. UNIDAD 1
( )
b) 2x – y + w =0 ° 2 –1 0 1 0
§ (1.ª)
x – 2y + z =0 § 1 –2 1 0 0 (2.ª)
¢ 8
5x – y + z + w =0 § 5 –1 1 1 0 (3.ª) – (1.ª)
§ 5 –2 –1 2 0 (4.ª) – 2 · (1.a)
5x – 2y – z + 2w =0 £
( ) ( )
2 –1 0 1 0 (1.ª) 2 –1 0 1 0
1 –2 1 0 0 (2.ª) 1 –2 1 0 0
8 8
3 0 1 0 0 (3.ª) + (4.ª) 4 0 0 0 0
1 0 –1 0 0 (4.ª) 1 0 –1 0 0
2x – y + w = 0° x = 0
§
x – 2y + z = 0§ z = 0
8 ¢
4x = 0§ y = 0
§
x –z = 0£ w = 0
Solución: x = 0, y = 0, z = 0, w = 0
( )
c) 2x – y + w= 9 ° 2 –1 0 1 9
§ (1.ª)
x – 2y + z = 11 § 1 –2 1 0 11 (2.ª)
¢ 8
5x – y + z + w = 24 § 5 –1 1 1 24 (3.ª) – (1.ª)
§ 5 –2 –1 2 0 (4.ª) – 2 · (1.a)
5x – 2y – z + 2w = 0 £
( ) ( )
2 –1 0 1 9 (1.ª) 2 –1 0 1 9
1 –2 1 0 11 (2.ª) 1 –2 1 0 11
8 8
3 0 1 0 15 (3.ª) + (4.ª) 4 0 0 0 –3
1 0 –1 0 –18 (4.ª) 1 0 –1 0 –18
2x – y +w= 9 °
§
x – 2y + z = 11 §
8 ¢
4x = –3 §
§
x –z = –18 £
–3 69
x= ; z = x + 18 =
4 4
x + z – 11 11
y= =
2 4
53
w = 9 – 2x + y =
4
–3 11 69 53
Solución: x = , y= , z= , w=
4 4 4 4
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
9
10. Página 37
1. Discute, en función del parámetro k, estos sistemas de ecuaciones:
° 4x + 2y =k ° 4x + 2y =k
§ §
a) ¢ x + y – z = 2 b) ¢ x + y – z = 2
§ §
£ kx + y + z = 1 £ kx + y + z = 0
( ) ( )
a) 4x + 2y =k° 4 2 0 k (1.ª) 4 2 0 k
§
x + y–z=2¢ 1 1 –1 2 8 (2.ª) 1 1 –1 2 8
§ k 1 1 1 (3.ª) + (2.a) k+1 2 0 3
kx + y + z = 1 £
8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.a) ( 4 2 0
1 1 –1
k–3 0 0
k
2
3–k )
• Si k = 3, queda:
( 4 2 0
1 1 –1
0 0 0
k
2
0 ) 8
x+ y–z=2° x–z=2–y °
4x + 2y
¢
= 3 £ 4x
¢ 8
= 3 – 2y £
3 – 2y 3 y
8 x= = –
4 4 2
3 – 2y –5 + 2y –5 y
z=x–2+y= –2+y= = +
4 4 4 2
Sistema compatible indeterminado.
3 –5
Soluciones: x = – l, y = 2l, z = +l
4 4
• Si k ? 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:
x+ y – z = 2 °
§
4x + 2y =k ¢
§
(k – 3)x = (3 – k) £
3–k
x= = –1
k–3
k – 4x k+4 k
y= = =2+
2 2 2
k k
z = x + y – 2 = –1 + 2 + – 2 = –1 +
2 2
k k
Solución: x = –1, y = 2 + , z = –1 +
2 2
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
10
11. UNIDAD 1
( ) ( )
b) 4x + 2y =k° 4 2 0 k (1.ª) 4 2 0 k
§
x + y–z=2¢ 1 1 –1 2 8 (2.ª) 1 1 –1 2 8
§ k 1 1 0 (3.ª) + (2.a) k+1 2 0 2
kx + y + z = 0 £
8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (1.a) ( 4 2 0
1 1 –1
k–3 0 0
k
2
2–k )
• Si k = 3, queda:
( 4 2 0
1 1 –1
0 0 0
3
2
–1 ) El sistema es incompatible.
• Si k ? 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:
x+ y – z = 2 °
§
4x + 2y =k ¢
§
(k – 3)x = (2 – k) £
2–k
x=
k–3
k – 4x 2
y= = k +k–8
2 2k – 6
2–k 2 2
z=x+y–2= + k + k – 8 – 2 = k – 5k + 8
k–3 2(k – 3) 2k – 6
2–k 2 2
Solución: x = , y = k + k – 8 , z = k – 5k + 8
k–3 2k – 6 2k – 6
2. Discute estos sistemas de ecuaciones en función del parámetro k:
° kx + y – z = 8 °x+ y+ z=1
§ §
a) ¢ x + y + z = 0 b) ¢ y + kz = 1
§ §
£ 2x +z=k £ x + 2y =k
( ) ( )
a) kx + y – z = 8 ° k 1 –1 8 k – 1 0 –2 8
§ (1.ª) – (2.a)
x + y + z = 0¢ 1 1 1 0 8 (2.ª) 1 1 1 0 8
§ 2 0 1 k (3.ª) 2 0 1 k
2x +z=k£
8
(1.ª) + 2 · (3.a)
(2.ª)
(3.ª) ( k+3 0
1
2
1
0
0
1
1
8 + 2k
k
0
)
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
11
12. • Si k = –3, queda:
( 0 0 0
1 1 1
2 0 1
2
0
–3 ) Sistema incompatible.
• Si k ? –3, es compatible determinado. Lo resolvemos:
(k + 3)x = 8 + 2k °
§
x+y+z=0 ¢
§
2x +z=k £
8 + 2k
x=
k+3
2
z = k – 2x = k – k – 16
k+3
2
y = –x – z = –k – k + 8
k+3
8 + 2k 2 2
Solución: x = , y = –k – k + 8 , z = k – k – 16
k+3 k+3 k+3
( ) ( )
b) x + y + z = 1 ° 1 1 1 1 (1.ª) 1 1 1 1
§
y + kz = 1 ¢ 0 1 k 1 8 (2.ª) 0 1 k 1 8
§ 1 2 0 k (3.ª) – (1.a) 0 1 –1 k–1
x + 2y = k£
8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.a) (1 1
0 1
1
k
0 0 –1 – k
1
1
k–2 )
• Si k = –1, queda:
( 1 1 1
0 1 –1
0 0 0
1
1
–3 ) Sistema incompatible.
• Si k ? –1, es compatible determinado. Lo resolvemos:
x+y + z=1 °
§
y + kz = 1 ¢
§
(–1 – k)z = k – 2 £
k–2 2–k
z= =
–1 – k 1+k
y+k (1 + k ) = 1
2–
k
2 2
8 y = 1 – 2k – k = 1 + k – 2k + k = 1 – k + k
1+k 1+k 1+k
2
2 2–k 2 2
x=1–y–z=1–1–k+k – = 1 + k – 1 + k – k – 2 + k = –2 + 3k – k
1+k 1+k 1+k 1+k
2 2 2–k
Solución: x = –2 + 3k – k , y = 1 – k + k , z =
1+k 1+k 1+k
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
12
13. UNIDAD 1
Página 42
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
Resolución e interpretación geométrica de sistemas lineales
1 Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas:
° –x + 2y = 0 ° x + 2y = 5
§ §
a) ¢ 2x + y = –5 b) ¢ 3x – y = 1
§ §
£ (3/2)x – 3y = 0 £ 2x + 4y = 0
a)
( –1 2 0
2 1 –5
3/2 –3 0 ) 8
(1.ª)
(2.ª) + 2 · (1.a)
(2/3) · (3.ª) ( –1 2 0
0 5 –5
1 –2 0 ) 8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) + (1.ª) ( –1 2 0
0 5 –5
0 0 0 )
–x + 2y = 0 ° x = 2y = –2 °
¢ ¢
5y = –5 £ y = –1 £
Solución: (–2, –1)
Geométricamente, son tres rectas que se cortan en el punto (–2, –1).
b) ° x + 2y = 5
§
¢ 3x – y = 1
§
£ 2x + 4y = 0
Si dividimos la 3.a ecuación entre 2, obtenemos: x + 2y = 0. La 1.a ecuación es
x + 2y = 5. Son contradictorias, luego el sistema es incompatible.
La 1.a y la 3.a ecuación representan dos rectas paralelas; la 2.a las corta.
2 Halla, si existe, la solución de los siguientes sistemas e interprétalos geo-
métricamente:
° 3x + y = 2
§ ° x + 2y = –1
§ x– y=1 §
a) ¢ b) ¢ 2x – y = 3
§ 5x – y = 4 §
§ £ 5x + y = 8
£ 2x + 2y = 1
Los resolvemos por el método de Gauss:
( ) ( )
a) 3 1 2 (1.ª) – 3 · (2.ª) 0 4 –1
1 –1 1 (2.ª) 1 –1 1
8
5 –1 4 (3.ª) – 5 · (2.ª) 0 4 –1
2 2 1 (4.ª) – 2 · (2.a) 0 4 –1
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
13
14. Podemos prescindir de las dos últimas filas, pues coinciden con la primera.
Quedaría:
–1
4y = –1 8 y =
4
1 3
x–y=1 8 x=1+y=1– =
4 4
Solución: ( 3 , –1 )
4 4
El sistema representa cuatro rectas que se cortan en el punto ( 3 , –1 ).
4 4
(
b) 1 2
2 –1
5 1
–1
3
8
) 8
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) – 5 · (1.ª)
( 1 2
0 –5
0 –9
–1
5
13
)
–13
De la 2.a ecuación, obtenemos y = –1; de la 3.a ecuación, obtenemos y = .
9
Luego el sistema es incompatible.
El sistema representa tres rectas que se cortan dos a dos, pero no hay ningún
punto común a las tres.
3 Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas:
° x+y–z=2 ° 2x + y + z = 3
§ §
a) ¢ 2x + y + z = 2 b) ¢ x – y + z = 1
§ §
£ x–y+z=0 £ 3x + y + z = 4
a) ° x + y – z = 2
§
¢ 2x +z=2
§
£ x–y =0
Lo resolvemos por el método de Gauss:
( 1 1 –1
2 0 1
1 –1 0
2
2
0
) 8
(1.ª)
(2.ª) – 2 · (1.a)
(3.ª) – (1.ª)
( 1 1 –1
0 –2 3
0 –2 1
2
–2
–2
) 8
8
(1.ª)
(2.ª)
(3.ª) – (2.ª)
( 1 1 –1
0 –2 3
0 0 –2
2
–2
0
)
x + y – z = 2° x + y – z = 2° x + y = 2° x = 2 – y = 1 °
§ § § §
–2y + 3z = –2 ¢ –2y + 3z = –2 ¢ –2y = –2 ¢ y = 1 ¢
§ § § §
–2z = 0 £ z = 0£ z = 0£ z = 0 £
Solución: (1, 1, 0)
Geométricamente, son tres planos que se cortan en el punto (1, 1, 0).
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
14
15. UNIDAD 1
b) ° 2x + y =3
§
¢ x–y+z=1
§
£ 3x +z=4
Observamos que la 3.a ecuación es la suma de la 1.a y la 2.a: podemos prescin-
dir de ella.
2x + y = 3 ° 2x = 3 – y °
¢ ¢ 8
x – y + z = 1£ x + z = 1 + y £
° 3–y
§x = — 2
8 ¢
§ z = 1 + y – x = 1 + y – — = – — + 3y
3–y 1
—
£ 2 2 2
y
Hacemos l = .
2
Solución: x = ( 3
2
1
– l, y = 2l, z = – + 3l
2 )
Geométricamente, se trata de tres planos que se cortan en una recta que pasa por
( 3
2
, 0, – )
1
2
con dirección (–1, 2, 3).
4 Resuelve e interpreta geométricamente estos sistemas:
° x+y–z=5 ° 2x + y – z = 1
§ §
a) ¢ x – y + z = 3 b) ¢ 2x + y – z = 3
§ §
£ 2x – y + z = 0 £ y–z=0
a) x + y – z = 5 ° ° y–z=5
§ §
x – y + z = 3¢ 8 ¢ – y + z = 3
§ §
2x = 0£ £x =0
La 2.a ecuación contradice la opuesta de la 1.a. No tiene solución.
Geométricamente, se trata de tres planos que se cortan dos a dos.
b) ° 2x + y – z = 1
§
¢ 2x + y – z = 3
§
£ y–z=0
La 1.a y la 2.a ecuación son contradictorias. No tiene solución.
Geométricamente, se trata de dos planos paralelos que son cortados por un ter-
cero.
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
15
16. 5 Razona si estos sistemas tienen solución e interprétalos geométricamente:
° x + 2y – z = 3 ° –x + 3y + 6z = 3
a) ¢ b) ¢
£ 2x + 4y – 2z = 1 £ (2/3)x – 2y – 4z = 2
a) x + 2y – z = 3 °
¢ Si dividimos la 2.a ecuación entre 2, obtenemos:
2x + 4y – 2z = 1 £
1
x + 2y – z = , que contradice la 1.a.
2
El sistema es incompatible. Son dos planos paralelos.
b) –x + 3y + 6z = 3 ° 2
¢ Si multiplicamos por – la 1.a ecuación, obtenemos:
(2/3)x – 2y – 4z = 2 £ 3
2
x – 2y – 4z = –2, que contradice la 2.a ecuación.
3
El sistema es incompatible. Son dos planos paralelos.
Sistemas escalonados
6 Resuelve los siguientes sistemas reconociendo previamente que son escalo-
nados:
° –y+ z=1
° 2x – y = 7 §
a) ¢ b) ¢ 9z = 2
£ 23y = – 69 §
£ 3x – y + z = 3
° –2x + y – z = 0 ° 2x – 3y + z = 0
§ §
c) ¢ x + y – z = 9 d) ¢ 3x – y =0
§ §
£ x–y–z=2 £ 2y =1
a) 2x – y = 7 ° y = –3 °
§
¢ 7+y
23y = –69 £ x = — = 2 ¢
§
2 £
Solución: (2, –3)
b) –y+ z=1°
§
9z = 2 ¢ z = 2 y=z–1=
–7
x=
3+y–z
=
2
§ 9 9 3 3
3x – y + z = 3 £
Solución: ( 2 , –7 , 2 )
3 9 9
c) –2x = 0°
§
x + y – z = 9¢ x = 0 z = x – 2 = –2 y=9+z–x=7
§
x – z = 2£
Solución: (0, 7, –2)
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
16
17. UNIDAD 1
d) 2x – 3y + z = 0 °
§ 1 y 1 7
3x – y =0¢ y= x= = z = –2x + 3y =
§ 2 3 6 6
2y =1£
Solución: (1, 1, 7)
6 2 6
7 Resuelve los siguientes sistemas:
°x–y+z=2 ° 2x + y + z = 4
a) ¢ b) ¢
£ y+z=5 £ y+z=2
°x + y – z + t = 4 °x+y–t+z=2
§ §
c) ¢ y+z– t=3 d) ¢ y–t+z=4
§ §
£ z + 2t = 1 £ y+t–z=1
a) x – y + z = 2 ° y = 5
¢
y = 5£ x = 2 – z + y = 7 – z
Soluciones: (7 – l, 5, l)
y=2–z
b) 2x + y + z = 4 ° 2x + y = 4 – z °
¢ ¢ 4–z–y 4–z–2+z
y + z = 2£ y = 2 – z £ x = —— = —— = 1
2 2
Soluciones: (1, 2 – l, l)
c) x + y – z + t = 4 ° x + y – z = 4 – t °
§ §
y + z – t = 3¢ y + z = 3 + t¢
§ §
z + 2t = 1 £ z = 1 – 2t £
z = 1 – 2t y = 3 + t – z = 2 + 3t x = 4 – t + z – y = 3 – 6t
Soluciones: (3 – 6l, 2 + 3l, 1 – 2l, l)
d) x + y – t = 2° y = 4 – z
§
y + z = 4 ¢ t = 1 – y + z = 1 – (4 – z) + z = –3 + 2z
§
y + t – z = 1 £ x = 2 – y + t = 2 – (4 – z) – 3 + 2z = –5 + 3z
Soluciones: (–5 + 3l, 4 – l, l, –3 + 2l)
8 Transforma en escalonados y resuelve los sistemas siguientes:
° 3x – 2y = 5 ° x + 2y = 1
§ §
a) ¢ x + y = 0 b) ¢ x + y = 0
§ §
£ x– y=2 £ 2x + y = 3
Unidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss
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