Unidad 3 interes compuesto

MATEMATICAS PARA LAS
FINANZAS
Unidad 2 Interés compuesto
Carlos Mario Morales C

Finanzas del proyecto – Carlos Mario Morales C © 2017
 Concepto de interés compuesto
 Modelo matemático de interés compuesto
 Tasas de interés
 Conversión entre tasas de interés
 Ecuación de valor (Equivalencia)
 Depósitos a termino fijo
 Inflación y devaluación
 Tasas combinadas
 Tasas deflactadas
 Tasas referenciadas
 Aceptaciones Bancarias y financieras

Al finalizar la unidad los estudiantes estarán
en capacidad de conceptuar sobre el interés
compuesto, deducir los modelos
matemáticos que lo soportan y aplicar estos
en las principales operaciones financieras

Interés Compuesto
En general las operaciones financieras de largo
plazo (más de un año) se realizan utilizando la ley
financiera de interés compuesto
Bajo esta régimen cada vez que se liquidan los
intereses, éstos se acumulan al capital para
formar un nuevo capital, sobre el cual se vuelven
a liquidar los intereses.
Concepto

Se invierte un capital de $1000 al 10% trimestral, durante un
año.
$1000
1
10%
2 3 4
10% 10% 10%
100 100 100 100
1000
Trimestres
Interés Simple
Interés Compuesto
Ilustración

$1000
1 2 3 4
1000
1100
1331
1210
1464,1
Trimestres
Interés Compuesto
Al final del primer trimestre se
liquidan los primeros intereses
(1000x0,1 = 100) y se acumulan
al capital para obtener el primer
monto 1.100; al final del 2do
periodo se liquidan los segundos
intereses sobre el monto anterior
(1100x0,1 = 110 y el acumulado
será 1210; y así sucesivamente el
cuarto trimestre donde se obtiene
$1464,10
Interés Compuesto
Ilustración

Periodo Capital Inicial Interés Capital Final
1 𝑉𝑃 𝑉𝑃𝑖 𝑉𝐹1 = 𝑉𝑃 + 𝑉𝑃𝑖 = 𝑉𝑃(1 + 𝑖)
2 𝑉𝑃(1 + 𝑖) 𝑉𝑃 1 + 𝑖 𝑖 𝑉𝐹2 = 𝑉𝑃 1 + 𝑖 𝑉𝑃 1 + 𝑖 𝑖
= 𝑉𝑃(1 + 𝑖)2
3 𝑉𝑃(1 + 𝑖)2 𝑉𝑃(1 + 𝑖)2
𝑖 𝑉𝐹3 = 𝑉𝑃(1 + 𝑖)2 𝑉𝑃(1 + 𝑖)2 𝑖
= 𝑉𝑃(1 + 𝑖)3
…. ….. ….. …….
n 𝑉𝑃(1 + 𝑖) 𝑛−1 𝑉𝑃(1 + 𝑖) 𝑛−1
𝑖 𝑉𝐹𝑛 = 𝑉𝑃(1 + 𝑖) 𝑛
Interés Compuesto
Modelo Matemático

La formula básica del interés compuesto, relaciona el valor
futuro (𝑉𝐹), con el capital inicial (𝑉𝑃), la tasa de Interés (𝑖) y
el número de periodos (𝑛)
𝑉𝐹 = 𝑉𝑃(1 + 𝑖) 𝑛
𝑉𝑃 =
𝑉𝐹
(1+𝑖) 𝑛
Interés Compuesto
Modelo: Valor Futuro y Valor Presente

Dados el valor presente y futuro y el número de periodos de conversión se puede determinar la tasa de
interés a partir de la formula, despejando i.
𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 1 + 𝑖 𝑛
𝑉𝐹
𝑉𝑃
= 1 + 𝑖 𝑛
(𝑃𝑎𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎)
𝑛 𝑉𝐹
𝑉𝑃
= 1 + 𝑖 (𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛)
𝑛 𝑉𝐹
𝑉𝑃
− 1 = 𝑖 (𝑝𝑎𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎)
𝑛 𝑉𝐹
𝑉𝑃
− 1 = 𝑖
Interés Compuesto
Modelo: tasa de interés

Dados el valor presente y futuro y el número de periodos de conversión se puede determinar la tasa de
interés a partir de la formula, despejando i.
𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 1 + 𝑖 𝑛
𝑉𝑓
𝑉𝑝
= 1 + 𝑖 𝑛 (𝑃𝑎𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎 𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟)
log
𝑉𝑓
𝑉𝑝
= log 1 + 𝑖 𝑛
(𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠)
log
𝑉𝑓
𝑉𝑝
= 𝑛 log 1 + 𝑖 (𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠)
log
𝑉𝑓
𝑉𝑝
log(1 + 𝑖)
= 𝑛
Interés Compuesto
Modelo: tiempo

La tasa efectiva, a diferencia de la tasa nominal, señala la tasa de interés que
efectivamente se está pagando por un capital, para los periodos de conversión
pactados
La tasa del periodo (𝑛), la denominamos tasa efectiva y se representa por 𝑖.
Si “𝑛” son trimestres, entonces: X% Efectivo trimestral (ET)
Si “𝑛” son meses, entonces: X% Efectivo Mensual (EM)
Si “𝑛” son semestres, entonces: X% Efectivo semestral (ES)
Si “𝑛” es anual se puede omitir el calificativo, es decir: X% Efectivo (E o EA)
Tasa de Interés
Tasas efectivas

La tasa del año la denominaremos tasa nominal y se representa por la
letra j; ya que en el año pueden haber varias liquidaciones, es
necesario indicar el periodo de liquidación
Denominación:
Si 𝑖 = 10% ET (Efectiva trimestral) ya que el año tiene 4 trimestres
entonces se puede nombrar la Tasa Nominal como: 𝑗 = 40% N-t
Tasa de Interés
Tasa Nominal

La tasa Nominal es igual a la efectiva multiplicada por el
número de periodos (m) que hay en un año.
𝑗 = 𝑖 × 𝑚 𝑖 =
𝑗
𝑚
Tasa de Interés
Relación entre la Tasa Efectiva y Nominal

Dos o más tasas efectivas de interés son equivalentes, si con diferente periodicidad
producen el mismo interés efectivo al final de cualquier periodo.
Modelo Matemático
𝑖2 tasa efectiva desconocida
𝑖1 tasa efectiva conocida
𝑛1 Periodo de capitalización de la tasa conocida
𝑛2 Periodo de capitalización de la tasa desconocida
Tasas de Interés
𝑖2 = 1 + 𝑖1
𝑛1
𝑛2 − 1
Equivalencia entre tasas de interés efectivas

En contraste con el interés 𝑖 (vencido), el interés anticipado se denomina 𝑖 𝑎.
Cuando no hay una referencia específica, se supone que la tasa de interés será
siempre vencida
Modelo matemático
𝑖 =
𝑖 𝑎
1 − 𝑖 𝑎
Despejando 𝑖 𝑎 en función de 𝑖 entonces se obtiene:
𝑖 𝑎 =
𝑖
1 + 𝑖
Tasas de Interés
Equivalencia entre tasas efectivas anticipadas y vencidas

Conversión entre tasa de Interés
Existen innumerables situaciones de la vida cotidiana donde se hace necesario
convertir la tasa de interés dada a otra denominación con el fin de poder
comparar para la toma de decisiones o simplemente realizar cálculos.
Se pueden tener varias posibilidades, pasar de:
1. Una tasa nominal a otra
2. Nominal a Efectiva vencida
3. Nominal a efectiva anticipada
4. Efectiva vencida a Nominal
5. Efectiva anticipada a Nominal
6. Efectiva a efectiva
7. Efectiva vencida a efectiva anticipada
8. Efectiva anticipada a efectiva vencida

Conversión entre tasas de Interés
Utilizando los modelos matemáticos vistos previamente se puede convertir
cualquier tasa a cualquier base siguiendo los pasos que se ilustran en las
siguientes graficas:
j1
i1 i2
j2
1
2 3
4
𝑖2 = 1 + 𝑖1
𝑛1
𝑛2 − 1

Conversión entre tasa de Interés
j11
2 3
4
i1
i2
j2
i1aj1a i2a
j2a
5 6 7 8𝑖2 = 1 + 𝑖1
𝑛1
𝑛2 − 1
𝑖1𝑎 =
𝑗1𝑎
𝑚
𝑗2𝑎 = 𝑖2𝑎 × 𝑚

Considerando el concepto de equivalencia entre valores financieros de una
operación financiera; es posible igualar los valores de la operación en una fecha
determinada, la cual se denomina fecha focal (ff).
Fecha Focal: es una fecha cualquiera en la cual se da la igualdad entre ingresos
y egresos. La fecha focal se define libremente a criterio del analista; en las
ecuaciones se representan como ff, y gráficamente como una línea interrumpida
perpendicular a la línea del tiempo, cruzando por el periodo escogido
Principio Fundamental: se establece que para toda operación financiera la
sumatoria de los Ingresos debe ser igual a la sumatoria de los egresos en la
fecha focal; o lo que es igual la suma de las obligaciones igual a la suma de los
pagos
Ecuaciones de Valor

∑ Ingresos = ∑ Ingresos (en ff)
∑ Obligaciones = ∑ Pagos (en ff)
Ecuaciones de Valor
Ingresos
Egresos
Fecha Focal
ff

Los intermediarios financiero son personas jurídicas que tiene por función
captar el ahorro del público y prestarlo a otras personas que lo requieren
para la inversión o el consumo a una tasa de interés mayor.
La tasa de interés a la cual un intermediario capta recursos se denomina
tasa de captación y a la cual presta el dinero se le denomina tasa de
colocación. La diferencia de estas dos tasas se denomina margen de
intermediación
Los CDT (Certificados de Depósito) son uno de los muchos productos con
los que cuenta el sector financiero para captar el ahorro del publico. En los
depósitos a término fijo es necesario considerar que la ganancia obtenida
por concepto de intereses es gravada con un impuesto que se cobra al
momento de la liquidación, denominado retención en la fuente
Depósitos a termino fijo
Aplicaciones de interés compuesto

DTF: se define como el promedio ponderado semanal de las tasas
de captación de los certificados de depósito a 90 días pagando los
intereses por anticipado; en los bancos, corporaciones financieras,
compañías de financiamiento y corporaciones de ahorro y vivienda.
TCC: es el promedio ponderado de las tasas de captación de los
certificados a 90 días solo en las corporaciones financieras
CDAT: depósitos a término fijo de menos de un mes
Depósitos a termino fijo

La inflación es el fenómeno económico que representa el alza general de los
precios de una economía; por su parte, cuando se presenta una baja
generalizada de precios el fenómeno se denomina deflación. La inflación se
simboliza con la letra “𝑓”; la deflación estará representada por inflación
negativa “ − 𝑓”
La devaluación (𝐷𝑣) es la perdida de valor de una moneda frente a otra. Por
ejemplo, hay devaluación del peso frente al dólar cuando hoy hay que pagar
$1.800 pesos por un dólar y un tiempo más tarde su valor es $1.900 pesos
Inflación y Devaluación

La inflación se calcula con base en los aumentos de los productos de la
canasta familiar, la cual es un conjunto de artículos previamente
seleccionados que representan la totalidad de los productos de consumo.
Todos los cambios de la canasta familiar se miden a través del IPC –Índice de
Precios al Consumidor-
En el sector empresarial la canasta familiar en vez de bienes de consumo
incluye materias primas, salarios, servicios y demás materiales e insumos
necesarios para la producción, en este caso la inflación de los productos se
mide de acuerdo a las variaciones del IPP –Índice de precios al productor- el
cual varía de acuerdo sector económico.
La inflación se mide como una tasa efectiva anual
Calculo de la Inflación

La devaluación es la perdida de valor de una moneda frente a otra. Por ejemplo, hay devaluación
del peso frente al dólar cuando hay que pagar $1.800 pesos por un dólar y un tiempo más tarde
hay que pagar $1.900 pesos por el mismo dólar; para calcular la devaluación se procede como
sigue:
𝐷𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =
1.900 − 1.800
1.800
= 0,0555 = 5,55%
En este caso, se dice que hubo una devaluación del 5,5% del peso con respecto al dólar
En general la 𝐷𝑣 se calcula como:
𝐷𝑣 =
𝑇𝐶𝑓 − 𝑇𝐶𝑖
𝑇𝐶𝑖
= 𝐷𝑣%
Calculo de la Devaluación

En el ejemplo anterior, la inversión gana dos tasas de interés por un lado la tasa de interés reconocida por el banco y
por otro lado la tasa de devaluación del peso con respecto al dólar. En estos casos cuando se combina una tasa i1 y
una tasa i2, se puede determinar una tasa combinada que reúne ambas tasa de interés. A continuación se deduce la
formula del interés combinado: Para un peso sometido a una tasa de interés i1, durante un periodo, el valor final será:
1 + 𝑖1
Si este valor resultante se somete a una tasa de interés i2, también durante de un periodo, el valor final será:
1 + 𝑖1 × 1 + 𝑖2
El monto final, aplicando una tasa de interés combinada, durante un periodo, se tiene:
1 + 𝑖 𝑐
Igualando las dos expresiones anteriores, se tiene:
1 + 𝑖 𝑐 = 1 + 𝑖1 × 1 + 𝑖2
Al despejar 𝑖 𝑐, se obtiene:
𝑖 𝑐 = 𝑖1 + 𝑖2 + 𝑖1 × 𝑖2
Tasas combinadas

En los proyectos de inversión la rentabilidad real se ve afectada por la
inflación. para calcular la rentabilidad real se puede hacer uso de la formula de
tasas combinadas, considerando que la tasa combinada se compone de la
tasa real y la tasa causada por la inflación
𝑖 = 𝑖 𝑟 + 𝑓 + 𝑖 𝑟 × 𝑓
Despejando 𝑖 𝑟, se obtiene:
𝑖 𝑟 =
𝑖 − 𝑓
1 + 𝑓
𝑖 𝑟 se conoce como tasa deflactada
Tasas deflactadas

Muchos de los créditos que se adquieren en el sector financiero
comúnmente se pactan a una tasa de interés principal más unos
puntos adicionales; a estos puntos adicionales se les denomina
“SPREAD”.
Cuando la tasa de interés principal esta dada por una tasa efectiva,
para calcular la tasa pactada, es decir la principal más el SPREAD, se
utiliza la formula de tasas combinadas; por su parte, cuando la tasa
principal se expresa como un interés nominal, entonces simplemente
se suman la tasa principal y el SPREAD.
En general la inflación se expresa como una tasa efectiva anual, el
DTF y el TCC como un interés nominal
Tasas Referenciadas

Son letras de cambio, respaldadas por una
entidad financiera, con cargo a un
proveedor de bienes; a través de ellas la
entidad asegura el pago al momento del
vencimiento. En general, su plazo es menor
a un año; no son divisibles y no son
gravables en el mercado primario. Las
Aceptaciones reciben el nombre de
bancarias cuando son respaldadas por los
bancos, y financieras cuando su respaldo
proviene de otras entidades financieras
Aceptaciones Bancarias y financieras
Banco /Entidad
Expide aceptacion a
solicitud de un
Comerciante
Comerciante
recibe la aceptación
del Banco
Proveedor
recibe aceptacion del
comerciante como
respaldo a una compra
OTC
mercado extrabursatil;
donde se puede
descontar Aceptación
Bolsa
Mercado Bursatil donde
se puede descontar la
aceptacion

1. Una empresa realiza inversiones por $100´000.000 y $300´000.000 en
Enero y Mayo respectivamente del año 2005; como rendimiento a dicha
inversión recibe a partir de Enero del 2006, cada seis meses durante ocho
años, la suma de $55´000.000. A través de una gráfica de flujo de caja
ilustre la operación financiera
2. Un concesionario de vehículos, que utiliza interés exacto, ofrece su último
modelo que tiene un valor de $80´000.000 con el siguiente plan de
financiación: la mitad de contado y el resto se paga dentro de un año. ¿Qué
tasa de interés está cobrando el concesionario a un cliente que compra el
vehículo el 1 de agosto del 2011, si este debe pagar $52´000.000 al cabo
del año?
Ejercicios

3. Un empresario establece una fiducia por $65´000.000 el 15 de septiembre
del 2011 ¿Durante cuánto deberá mantenerla establecida, para al final
recibir $72´000.000; si la entidad reconoce interés exacto y una tasa de
interés simple del 1,4% mensual.
4. ¿Cuánto deberá ahorrar una familia el día de hoy en una entidad bancaria,
para pagar la cuota inicial de un apartamento, $18´000.000, el 25 de
octubre del 2012, si la entidad reconoce una tasa de interés simple del
0,8% mensual?
5. Una persona compra una cocina a crédito; si la tasa de interés simple que
cobra el comerciante es 1,2% mensual ¿Cuál será el valor de la cocina de
contado, si la persona paga al cabo de tres meses la suma de $2´850.000?
Ejercicios

Unidad 3 interes compuesto

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Unidad 3 interes compuesto

Similar a Unidad 3 interes compuesto (20)

Más de Escuela Negocios (EDUN)

Más de Escuela Negocios (EDUN) (20)

Último

Último (20)

Unidad 3 interes compuesto