Este documento trata sobre los conceptos fundamentales de sistemas y confiabilidad. Explica la función estructural de un sistema y cómo están formados por partes que funcionan juntas para lograr un objetivo. También define la confiabilidad de un sistema como la probabilidad de que funcione bajo ciertas condiciones y durante un período determinado. Finalmente, describe los métodos para calcular la confiabilidad exacta de un sistema mediante el uso de distribuciones de probabilidad y funciones matemáticas.

2. 7.1 Función estructural de un sistema.
7.2 Confiabilidad del sistema.
7.3 Cálculo de confiabilidad exacta del sistema.
7.4 Toma de decisiones sin experimentación.
7.5 Toma de decisiones con experimentación.
7.6 Función de utilidad.

3. FUNCIÓN ESTRUCTURAL DE UN SISTEMA
Los sistemas están formados por partes que son puestas en funcionamiento juntas de
una forma particular para obtener un objetivo. La relación entre las partes determina
lo que el sistema hace y como funciona en general. Por lo tanto, las relaciones en el
sistema son normalmente mas importantes que cada parte individualmente. En
general, los sistemas que son construidos como bloques de otros sistemas se llaman
subsistemas.
¿QUÉ ES UN SISTEMA?
Un sistema que no cambia es un sistema estático (es decir, determinístico.) Muchos de
los sistemas a los cuales pertenecemos son sistemas dinámicos, los cuales cambian a
través del tiempo. Cuando nos referimos a que cambian a través del tiempo es de
acuerdo al comportamiento del sistema. Cuando el desarrollo del sistema sigue un
patrón típico decimos que él mismo tiene un patrón de comportamiento. El sistema
será estático o dinámico dependiendo del horizonte temporal que se escoja y de las
variables en las cuales está concentrado. El horizonte temporal es el periodo de
tiempo dentro del cual se estudia el sistema. Las variables son valores cambiables
dentro del sistema.
DINÁMICA DE UN SISTEMA

4. CONFIABILIDAD DE UN SISTEMA
La fiabilidad de un sistema es la probabilidad de que ese sistema funcione o
desarrolle una cierta función, bajo condiciones fijadas y durante un período
determinado.
Asociamos fiabilidad a la capacidad de depender con seguridad de algo o
alguien. Es deseable que los sistemas diseñados sean fiables, en el sentido de
que el usuario pueda operarlos sin que exista un elevado riesgo de fallo. El
nivel de fiabilidad, o seguridad de operación satisfactoria, dependerá de la
naturaleza del objetivo del sistema. El que un sistema tenga cierta fiabilidad
llevara un coste y un esfuerzo asociado, por lo que la exigencia de fiabilidad
para un sistema debe adecuarse a su objetivo y transcendencia.

5. CÁLCULO DE LA CONFIABILIDAD EXACTA DEL SISTEMA
Dado a que la fiabilidad es la probabilidad de funcionamiento satisfactorio a lo
largo del tiempo, la extensión de las medidas de fiabilidad para incluir el tiempo
implica la especificación de las distribuciones de probabilidad, las cuales deben ser
modelos razonables de la dispersión de duración de vida.
Se define la variable aleatoria T como la vida del bien o componente, es decir,
que la variable aleatoria que define el concepto de fiabilidad es el tiempo de
duración o vida del dispositivo. La función de distribución sobre la duración de
vida se basa en estos cuatro conceptos: Estos son F (t), (t), la función de densidad y
la función de riesgo. Se supone que T tiene una función F(t) de distribución
acumulada expresada por:

6. CÁLCULO DE LA CONFIABILIDAD EXACTA DEL SISTEMA
La función de fiabilidad R(t), también llamada función de supervivencia, se
define como:
En otras palabras, R(t) es la probabilidad de que un componente nuevo sobreviva
más del tiempo t. Por lo tanto, F(t) es la probabilidad de que un componente nuevo
no sobreviva más del tiempo t.
Por otra parte, la probabilidad de que un componente nuevo falle entre t y t+s (s es
un incremento de tiempo respecto a t) es igual a:

7. CÁLCULO DE LA CONFIABILIDAD EXACTA DEL SISTEMA
Dividiendo entre s y haciendo que s tienda a cero:
λ(t) es la función de tasa de fallos o función de riesgo o tasa instantánea
de fallos , y es una característica de fiabilidad del producto.
La función de tasa de fallos no tiene interpretación física directa, sin embargo,
para valores suficientemente pequeños de t se pude definir como
la probabilidad de fallo del componente en un tiempo infinitamente
pequeño dt cuando en el instante t estaba operativo. La función de riesgo es
una cantidad fundamental en el análisis de fiabilidad. Es bastante común que
el comportamiento de fallos de dispositivos sea descrito en términos de sus
funciones de riesgo.

8. ALGUNAS RELACIONES MATEMÁTICAS

9. ALGUNAS RELACIONES MATEMÁTICAS

10. TOMA DE DECISIONES SIN EXPERIMENTACIÓN
El Análisis de Decisiones Sin Experimentación considera la información
inicial e histórica con que cuenta el tomador de decisiones para
seleccionar una alternativa.
La experimentación, hace relación cuando se realizan pruebas, ensayos o
experimentos y se lleva a un resultado, ya sea positivo o negativo, pero el
fin es concluir algo.
Los elementos básicos a considerar son:
Tomador de decisiones: persona (s) o entidad encargado de la toma de
decisiones.
Acciones o alternativas a tomar: Conjunto de Posibles alternativas
disponibles para la toma de decisiones, de acuerdo a la información dada.
Las acciones se denotan por a1, a2,.... am ó A1, A2,....Am (ai, i = 1....m)

11. TOMA DE DECISIONES SIN EXPERIMENTACIÓN
Eventos o situaciones futuras: Conjunto de posibles situaciones que
se puedan presentar, son inciertas, por lo tanto se le asigna una
probabilidad de ocurrencia. Se denotan por ϴ1,ϴ2,...ϴn ó S1,
S2,....Sn ( θj , j = 1 , ....n)
Probabilidades a priori: Son las probabilidades relacionadas con los
eventos que se presentaran, de acuerdo a los sucesos históricos
relacionados con los datos del problema. Pj, P1, P2, ...Pn.
Matriz de pagos: Es la matriz donde se condensan las acciones (filas, i)
y los eventos (columnas, j) y los valores relacionados a cada par de
acciones y eventos. En la fila inferior se colocan las probabilidades. Los
valores se denotan por Vij ó gij .

12. TOMA DE DECISIONES CON EXPERIMENTACIÓN
Para mejorar las estimaciones preliminares de las probabilidades
cada uno de los estados de la naturaleza, es frecuente realizar
pruebas experimentales, que arrojen mayor información acerca
de la posibilidad de que ocurran los estados de la naturaleza,
según los resultados de las pruebas.
A partir de la información obtenida, realizamos los cálculos de las
probabilidades posteriores (“A posteriori”). Para esto, utilizamos
el análisis Bayesiano. Finalmente con esta información podremos
encontrar los pagos esperados con información muestral y a su
vez, diseñar una estrategia óptima de decisión.

13. TOMA DE DECISIONES CON EXPERIMENTACIÓN
TEOREMA DE BAYES

14. TOMA DE DECISIONES CON EXPERIMENTACIÓN

15. FUNCIÓN DE UTILIDAD
En lo que hemos visto siempre hemos supuesto que las alternativas tienen pagos
cuantificables, sin embargo, no siempre es cierto. Valoraciones de tipo calidad,
prestigio, etc. no son valores numéricos. Por otra parte, aunque los pagos sean
numéricos el valor que nosotros damos a una cantidad, que es personal, no
siempre es proporcional a ella.
Para reflejar esta valoración de los pagos, no por el pago en sí, sino por el valor
que tiene éste para el decisor, se utiliza la utilidad, que es una valoración personal
de una cantidad que no varía proporcional al importe de esa cantidad. La utilidad
se plasma en la función de utilidad que es una función que resume la
importancia que esa persona asocia a diferentes cantidades. Se trata de un índice
o escala personal del decisor, y por lo tanto, diferente para cada persona que lo
plantee, que ha de ser no decreciente (a mayor importe, mayor utilidad). La
formalización de lo que ha de cumplir una función para poder ser una función de
utilidad, se hace axiomáticamente.

16. FUNCIÓN DE UTILIDAD
No hay una única forma de establecer los axiomas que ha de cumplir una función
de utilidad. A continuación, se presenta la axiomática planteada por Von
Neumann y Morgenstern cuando introdujeron este concepto. Para ello
definiremos lo que son:

17. FUNCIÓN DE UTILIDAD
Una gráfica de una posible función de utilidad es la que se tiene a continuación. Las
zonas cóncavas (en la gráfica las extremas) suponen zonas de aversión al riesgo ya
que dados dos puntos la cuerda que los une, que representaría la neutralidad queda
por debajo, lo que supone valorar más la cantidad que su propio valor. Sin embargo
las zonas convexas representan preferencia por el riesgo ya que valoran por debajo
las cantidades.
Es muy habitual aplicar todos los conceptos de
decisión vistos previamente con utilidades más que
con las cantidades reales para reflejar claramente el
carácter del decisor.
Utilidad
Valor real