El documento presenta 14 ejercicios de derivadas que incluyen calcular tasas de variación media e instantánea, derivar funciones utilizando la definición de derivada, hallar ecuaciones de rectas tangentes y puntos de corte con ejes, y calcular velocidades para funciones de posición. Se proporcionan las soluciones detalladas a cada uno de los ejercicios planteados.

1. ACTIVIDADES DE REFUERZO
14 Derivadas
1. Halla la tasa de variacio´n media de la funcio´n f(x) ϭ x2
Ϫ 4 en los intervalos [0, 2] y [Ϫ2, 0].
2. Halla la tasa de variacio´n media de las siguientes funciones en el intervalo [a, a ϩ h].
a) f(x) ϭ x ϩ 3 b) f(x) ϭ x2
ϩ 2x
3. Halla la tasa de variacio´n instanta´nea de las siguientes funciones en los puntos que se indica:
a) f(x) ϭ 3x ϩ 2 en x ϭ 2 y x ϭ Ϫ1 c) f(x) ϭ en x ϭ Ϫ2 y x ϭ 2
x
x ϩ 1
b) f(x) ϭ x2
Ϫ 1 en x ϭ 0 y x ϭ 3 d) f(x) ϭ en x ϭ 1 y x ϭ 4x͙
4. Halla la tasa de variacio´n instanta´nea de las siguientes funciones en el punto gene´rico x ϭ a:
a) f(x) ϭ x2
Ϫ 3 b) f(x) ϭ x Ϫ 1͙
5. Calcula el valor de la derivada de las siguientes funciones en los puntos que se indican:
a) f(x) ϭ 3x ϩ 2 en x ϭ 2 b) f(x) ϭ x2
ϩ x Ϫ 1 en x ϭ 1 c) f(x) ϭ en x ϭ Ϫ1
2
x ϩ 3
6. Halla la funcio´n derivada de las siguientes funciones utilizando la definicio´n:
a) D(3x) b) D(x ϩ 3) c) D(x2
ϩ 3)
7. Halla la funcio´n derivada de las siguientes funciones utilizando la definicio´n:
a) D
x
x ϩ 1
b) D 3x͙ c) D x ϩ 3͙
8. Halla la ecuacio´n de la recta tangente a f(x) ϭ x2
ϩ 2x Ϫ 1 en el punto de abscisa x ϭ 1.
9. Halla el punto de corte del eje OX con la recta tangente a f(x) ϭ x2
Ϫ 2x en el punto de abscisa x ϭ Ϫ1.
10. ¿En que´ punto de la gra´fica de la funcio´n f(x) ϭ x2
Ϫ 5x ϩ 8 la recta tangente es paralela a la bisectriz del
primer cuadrante? Escribe la ecuacio´n de dicha recta tangente.
11. El espacio en metros recorrido por un mo´vil viene dado por la funcio´n s(t) ϭ 3t2
Ϫ 1, t en segundos.
a) Halla la velocidad media del mo´vil en el intervalo temporal [1, 4].
b) Obte´n la velocidad instanta´nea para t ϭ 2 segundos.
Algoritmo Matema´ticas I – 1.o
Bachillerato Actividades de refuerzo

2. SOLUCIONES
1. TVM[0, 2] ϭ ϭ ϭ 2
f(2) Ϫ f(0) 0 Ϫ (Ϫ4)
2 Ϫ 0 2
TVM[Ϫ2, 0] ϭ Ϫ2
2. a) TVM[a, aϩh] ϭ ϭ ϭ 1
(a ϩ h) ϩ 3 Ϫ (a ϩ 3) h
h h
b) TVM[a, aϩh] ϭ 2a ϩ 2 ϩ h
3. a) TVI(2) ϭ ϭ ϭ 3
3(2 ϩ h) ϩ 2 Ϫ 8 3h
lim lim
h hhA0 hA0
TVI(Ϫ1) ϭ ϭ ϭ 3
3(Ϫ1ϩh)ϩ2Ϫ(Ϫ1) 3h
lim lim
h hhA0 hA0
b) TVI(0) ϭ ϭ h ϭ 0
2
h Ϫ 1 Ϫ (Ϫ1)
lim lim
hhA0 hA0
TVI(3) ϭ ϭ (h ϩ 6) ϭ 6
2
(3ϩ h) Ϫ1Ϫ8
lim lim
hhA0 hA0
c) TVI(Ϫ2) ϭ ϭ ϭ 1
h Ϫ 2
Ϫ 2
h Ϫ 1 Ϫ1
lim lim
h (h Ϫ 1)hA0 hA0
TVI(2) ϭ ϭ
h ϩ 2 2
Ϫ
h ϩ 3 3 1 1
lim lim ϭ
h 3(h ϩ 3) 9hA0 hA0
d) TVI(1) ϭ ϭ
1 ϩ h Ϫ 1 1 1͙lim lim
h 1 ϩ h ϩ 1 2hA0 hA0 ͙
TVI(4) ϭ ϭ
4 ϩ h Ϫ 2 1 1͙lim lim
h 4 ϩ h ϩ 2 4hA0 hA0 ͙
4. a) TVI(a) ϭ ϭ
2 2
(a ϩ h) Ϫ 3 Ϫ (a Ϫ 3)
lim
hhA0
(h ϩ 2a) ϭ 2aϭ lim
hA0
b) TVI(a) ϭ ϭ
a ϩ h Ϫ 1 Ϫ a Ϫ 1͙ ͙lim
hhA0
ϭ ϭ
1 1
lim
a ϩ h Ϫ 1 ϩ a Ϫ 1 2 a Ϫ 1hA0 ͙ ͙ ͙
5. a) Df(2) ϭ ϭ ϭ 3
3(2 ϩ h) ϩ 2 Ϫ 8 3h
lim lim
h hhA0 hA0
b) Df(1) ϭ ϭ
2
(1 ϩ h) ϩ (1 ϩ h) Ϫ 1 Ϫ 1
lim
hhA0
ϭ (3 ϩ h) ϭ 3lim
hA0
c) Df(Ϫ1) ϭ ϭ ϭ Ϫ
2
Ϫ 1
h ϩ 2 Ϫ1 1
lim lim
h h ϩ 2 2hA0 hA0
6. a) D(3x) ϭ ϭ ϭ 3
3(x ϩ h) Ϫ 3x 3h
lim lim
h hhA0 hA0
b) D(x ϩ 3) ϭ ϭ 1
(x ϩ h ϩ 3) Ϫ (x ϩ 3)
lim
hhA0
c) D(x2
ϩ 3) ϭ ϭ
2 2
(x ϩ h) ϩ 3 Ϫ (x ϩ 3)
lim
hhA0
(2x ϩ h) ϭ 2xϭ lim
hA0
7. a) D ϭ ϭ
x ϩ h x
Ϫ
x x ϩ h ϩ 1 x ϩ 1 1
lim 2
x ϩ 1 h (x ϩ 1)hA0
b) D ϭ ϭ
3(x ϩ h) Ϫ 3x 3͙ ͙3x lim͙ h 2 3xhA0 ͙
c) D( ) ϭ ϭ
x ϩ h ϩ 3 Ϫ x ϩ 3͙ ͙x ϩ 3 lim͙ hhA0
ϭ
1
2 x ϩ 3͙
8. y Ϫ f(1) ϭ fЈ(1) · (x Ϫ 1)
f(1) ϭ 2; fЈ(x) ϭ 2x ϩ 2; fЈ(1) ϭ 4
y Ϫ 2 ϭ 4 · (x Ϫ 1)
9. y Ϫ f(Ϫ1) ϭ fЈ(Ϫ1) · (x ϩ 1);
f(Ϫ1) ϭ 3; fЈ(x) ϭ 2x Ϫ 2; fЈ(Ϫ1) ϭ Ϫ4
y Ϫ 3 ϭ Ϫ4 · (x ϩ 1)
El punto es .
1
Ϫ , 0΂ ΃4
10. La pendiente debe ser m ϭ 1.
fЈ(x) ϭ 2x Ϫ 5 2x Ϫ 5 ϭ 1 x ϭ 3
El punto es (3, 2).
La ecuacio´n de la tangente es x Ϫ y Ϫ 1 ϭ 0.
11. a) vm ϭ ϭ ϭ 15 m/s
s(4) Ϫ s(1) 47 Ϫ 2
4 Ϫ 1 3
b) vi ϭ ϭ (3h ϩ 12) ϭ
s(2 ϩ h) Ϫ s(2)
lim lim
hxA0 xA0
ϭ 12 m/s
Actividades de refuerzo Algoritmo Matema´ticas I – 1.o
Bachillerato