Integracion racional 2016

1. CALCULO INTEGRAL
• Integración de funciones racionales
• Integración por fracciones parciales
•DR. VÍCTOR MORÁN CÁCERES MSc.

2. OBJETIVO DE LA CLASE
• Obtener las fracciones parciales de
una función racional, incluyendo
casos donde el denominador tiene un
factor lineal repetido o un factor
cuadrático irreducible

3. Integración de funciones
racionales
https://www.youtube.com/watch?v=sIJtWkE-t3w

4. Integrales que contienen polinomios cuadráticos
Muchas integrales que contienen una raíz cuadrada o una potencia
negativa de un polinomio cuadrático ax2
+ b x + c se pueden simplificar
mediante el proceso de completar el cuadrado.
Por ejemplo
y por tanto, con la sustitución u = x + 1, du = dx, se obtiene
En general, el objetivo es convertir
ax2
+bx+c en una suma o en una diferencia
de cuadrados
para que se pueda usar tablas
o 2222
-uaau +
−
1)1(22 22
++=++ xxx
∫ ∫ ++=+=
+
=
++
cxacua
u
du
xx
dx
)1tan()tan(
122 22

5. Integración de Funciones Racionales mediante
Fracciones Parciales
¿Cómo integrar una
función racional?
Expresándola como una suma de fracciones
más simples, llamadas fracciones parciales
Consideremos la función racional:
)(
)(
)(
xQ
xP
xf =

6. Integración de Funciones Racionales mediante
Fracciones Parciales
Es posible expresar f como una suma de fracciones más
sencillas, siempre que el grado de P sea menor que el
grado de Q. Esa función racional se llama propia.
Si f es impropia; esto es, si grad(P(x)) ≥ grad(Q(x)),
debemos dividir Q entre P hasta obtener un residuo
tal que
)(
)(
)(
)(
)(
)(
xQ
xR
xC
xQ
xP
xf +== Propia

7. El siguiente paso consiste en expresar la función
racional propia R (x) / Q (x) como una suma de
fracciones parciales, de la forma:
( ) j
cbxax
BAx
++
+
2
( ) i
bax
A
+
O bien

8. Caso I: El denominador. Q (x), es un producto
de factores lineales distintos.
En donde no hay factor que se repita. Es este caso, el
teorema de las fracciones parciales establece que existen
constantes, A1, A2 , ..... A k tales que
( )( ) ( )kk bxabxabxaxQ +++= ....)( 2211
)(
...
)()()(
)(
22
2
11
1
kk
k
bxa
A
bxa
A
bxa
A
xQ
xR
+
++
+
+
+
=
Esto significa que podemos escribir:

9. Ejercicio: Determine
( )( )∫ −+
dx
xx 212
5
∫ −+
−−
dx
xxx
xx
2
434
23
2
∫ −
dx
x 4
1
2

10. Considere que el primer factor lineal se repite r
veces; esto es, en la factorización de Q (x) se obtiene
Entonces, en lugar del término único
Emplearíamos:
)( 11 bxa +
r
bxa )( 11 +
r
rr
r
bxa
A
bxa
A
bxa
A
)(
...
)()( 2
22
2
11
1
+
++
+
+
+
)( 11
1
bxa
A
+
Caso II: Q (x) es un producto de factores lineales,
algunos de los cuales se repiten

11. Por ejemplo:
( ) 22
2
)1()1(1
22
−
+
−
+=
−
−+
x
C
x
B
x
A
xx
xx
CxxBxxAxx +−+−=−+ )1()1(22 22
x = 1: C = 1 x = 0: A = -2 x = -1: B = 4
( ) 22
2
)1(
1
)1(
42
1
22
−
+
−
+
−
=
−
−+
xxxxx
xx

12. ( )
dx
x
dx
x
dx
x
dx
xx
xx
∫∫∫∫ −
+
−
+
−
=
−
−+
22
2
)1(
1
)1(
42
1
22
( ) )1(
1
1ln
4
ln2
1
22
2
2
−
−
−
+−=
−
−+
∫ xx
xdx
xx
xx

13. Ejercicio: Determine
( )∫ −
−−
dx
xx
xx
1
142
( ) ( )∫ +−
−+
dx
xx
xx
3212
43
2
2
( )( )∫ +−
−
dx
xx
xx
3
23
356

14. Caso III: Q (x) contiene factores cuadráticos
irreducibles, ninguno de los cuales se repite
Si Q (x) tiene el factor ax2
+ b x + c, en donde b2
-4ac<0,
entonces la expresión R (x) / Q (x) tendrá un término de la
forma:
cbxax
BAx
++
+
2

15. Por ejemplo:
( )( ) 4141 2222
+
+
+
+
+
=
++ x
DCx
x
BAx
xx
x
( ) )1()4)(( 22
+++++= xDCxxBAxx
De la anterior igualdad: A = C = 0 ; B = 1/3 ; D = -1/3
( )( ) 4
3
1
1
3
1
41 2222
+
−
+
+
=
++ xxxx
x

16. ( )( ) 4
3
1
1
3
1
41 2222
+
−
+
+
=
++ xxxx
x
( )( ) ∫∫∫ +
−
+
+
=
++
dx
x
dx
x
dx
xx
x
4
3
1
1
3
1
41 2222






−=
2
tan
6
1
)tan(
3
1 x
axa
*
* Ver tabla

17. Obs: El término se puede integrar
completando el cuadrado y con la fórmula (tabla)
Ejercicio: Determine
cbxax
D
++2
c
a
x
a
a
dx
ax
+





=
+∫ tan
11
22
∫ +
−
dx
xx
x
)2(
2
2
2
∫ − )( 36
xx
dx

18. Caso III
•Si:
en donde n>1 y el grado de P(X) es menor
que 2n, entonces existen constantes reales
únicas A1, A2, … , An, B1, B2, …, Bn tales que:
n
cbxax
xP
xQ
xP
)(
)(
)(
)(
2
++
=
n
nn
cbxax
BxA
cbxax
BxA
cbxax
BxA
xQ
xP
)()()(
)(
222
22
2
11
++
+
++
++
+
+
++
+
= 

19. • Resolver mediante el método de desarrollo de
fracciones parciales los siguientes problemas:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
dx
x
xx
∫ +
++
3
2
)1(
42
dx
xx
x
∫ −
−
3
)12(
16
dx
x
x
∫ + 22
2
)4(
dx
xx
xx
∫ −
−+
23
2
134
dx
x
xx
∫ +
++
2
24
)1(
43
∫ − 222
)4(xx
dx