1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS BÁSICAS,HUMANIDADES
Y CURSOS COMPLEMENTARIOS
CÁLCULO DIFERENCIAL
Wilfredo García Rodas
3. ORIENTACIONES GENERALES
◦ Estimado estudiante:
◦ A continuación ponemos a su disposición, las
siguientes diapositivas con la finalidad de
reforzar el aprendizaje de la unidad.
◦ ¡ MUCHOS ÉXITOS !
4. CONTENIDOS DE LA I UNIDAD
LÍMITES DE FUNCIONES
SEMANA N° 1
1.1 Vecindad, entorno. Punto de acumulación.
Punto aislado. Aplicaciones.
1.2 Definición de límite. Límite de una suma,
producto, cociente de funciones.
1.3 Límites laterales. Teoremas sobre límites.
1.4 Existencia y unicidad del límite. Límites
trigonométricos.
SEMANA N° 2
1.5 Límite de la función compuesta y de la función
inversa.
1.6 Límites al infinito y límites infinitos.
1.7 Asíntotas: Verticales, horizontales y oblicuas.
Ejercicios y problemas
5. LÍMITES DE FUNCIONES
Veamos primero el comportamiento de una
función real f de variable real, con regla de
correspondencia y=f(x) , en la cercanía de
x=2.
x2 x 2
lim
3
x2 x2
8. Definiciones previas
1.Vecindad de centro xO y radio , 0
V ( xO ) x R / xO x xO
V ( xO ) xO ; xO
9. Definiciones previas
2.Vecindad reducida de centro xO y radio
0
V ´ ( xO ) x R / xO x xO v xO x xO
V ´ ( xO ) xO ; xO v xO ; xO
11. Definiciones previas
3.Entorno del punto xO
Ejemplo: xO = 2 tiene por entorno a I 0 ; 3
12. V
4.Punto de acumulación: xO es punto de
acumulación del conjunto A,
A R, A
si A V ´ xo)
13. 4.Punto de acumulación: xO es punto de
acumulación del conjunto A
Ejemplo: Sea xO = 1 y A 1; 3
¿Xo es punto de acumulación de A?
14. 4.Punto de acumulación: xO es punto de
acumulación del conjunto A
Ejemplo: Sea xO = 1 y A 1; 3
Solución:
Hallamos A V ´ xo)
1; 3 [ 1 ,1 1;1 ]
1; 3 1 ,1 1; 3 1;1
15. 4.Punto de acumulación: xO es punto de
acumulación del conjunto A
Ejemplo: Sea xO = 1 y A 1; 3
Hallamos A V ´ xo)
1; 3 [ 1 ,1 1;1 ]
1; 3 1 ,1 1; 3 1;1
1, / mínimo3;1
xO 1 es punto de acumulación de A.
16. DEFINICIÓN:
Sea f una función real de variable real
cuyo dominio es Df. Sea x0 un punto de
acumulación del dominio de f, xO puede
no pertenecer a Df, el límite de la función f
cuando x se aproxima al valor de xO (x
tiende a “xO”) y toma el valor L, se denota
y define por:
lim f L 0 ; 0 / x D f x xO f ( x) L
x xO
17. GRÁFICA:
Caso extremo, se puede tomar 1
0 1
44. El número Irracional (e)
Es conocido como el número de Euler o la constante de Neper por
ser la base del logaritmo neperiano (logaritmo natural).