POTENCIACIÓN Y OPERACIONES INVERSAS

1. AREA: MATEMATICAS
ARITMETICA
PERIODO
PRIMERO
20/05/2015 1

2. TEMATICA
TEMA Nº 1: POTENCIACION
SUBTEMAS:
Concepto
Términos
Lectura y escritura
Cubos y cuadrados
Propiedades
20/05/2015 2

3. TEMA Nº 2:OPERACIONES INVERSAS
Radicación (Concepto, términos, relación
entre potenciación y radicación,
situaciones problemicas)
Logaritmación (Concepto, términos,
situaciones problemicas)
20/05/2015 3

4. LOGROS
• Reconocer los elementos de la potenciación
en los números naturales y solucionar
correctamente situaciones utilizando las
propiedades.
• identificar la radicación como una
operación inversa a la potenciación y
solucionar situaciones problemicas
• Reconocer la Logaritmación como otra
operación inversa a la potenciación y
solucionar correctamente problemas.
20/05/2015 4

5. TEMA Nº 2
FRACCIONARIOS
SUBTEMAS
20/05/2015 5

6. LA POTENCIACION
20/05/2015 6
MUY PRONTO LO SABRAS, SOLO
NECESITAS PRESTAR MUCHA ATENCION

7. En matemáticas, la potenciación entre números
naturales, es una expresión de la forma an (a, a la
n),que representa una multiplicación o producto
abreviado de factores iguales.
El producto de factores iguales, se puede expresar
como potencias indicadas, y estas a su vez
también se pueden expresar como productos de
factores iguales
20/05/2015 7
En la expresión an se trata de multiplicar la
cantidad a, n veces.

8. Ejemplos
2. Se expresa como 21 2
2.2 22 4
2.2.2 23 8
2.2.2.2 24 16
2.2.2.2.2 25 32
2.2.2.2.2.2 26 64
2.2.2.2.2.2.2 27 128
2.2.2.2.2.2.2.2. 28 256
2.2.2.2.2.2.2.2.2 29 512
2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 210 1..024
20/05/2015 8
POTENCIA
POTENCIA
INDICADA
PRODUCTO DE
FACTORES IGUALES

9. 51 se expresa como 5. 5
52 5.5 25
53 5.5.5 125
54 5.5.5.5 625
55 5.5.5.5.5 3.125
56 5.5.5.5.5.5
57 5.5.5.5.5.5.5
58 5.5.5.5.5.5.5.5
59 5.5.5.5.5.5.5.5.5
510 5.5.5.5.5.5.5.5.5.5
20/05/2015 9
POTENCIA
INDICADA
PRODUCTO DE
FACTORES IGUALES
POTENCIA

10. Completar el siguiente cuadro
POT. IND LECTURA
PRODUCTO DE FACTORES
IGUALES BASE EXPON POTENCIA
97
12.12.12.12.12
15 3
Siete a la cuatro
38
28 2
35.35.35.35.35.35
39
Siete a la diez
10120/05/2015

11. 20/05/2015 11

12. TERMINOS DE LA
POTENCIACION
54 =625
20/05/2015 12
EXPONENTE
BASE
POTENCIA

13. La base 5, es el factor que se repite.
El exponente 4, es el número más pequeño que
se escribe en la parte superior derecha de la
base e indica el número de veces que se repite la
base 5.
20/05/2015 13
Los anteriores términos conforman la potencia
indicada, que se lee: Cinco elevado al exponte
4 o simplemente 5 a la 4
La potencia, es el resultado de multiplicar la
base tantas veces lo indica el exponente

14. Para no olvidar
Para hallar el valor de una potencia
indicada, se debe multiplicar la base
tantas veces lo indique el exponente.
20/05/2015 14

15. Ejemplos
• 43 = 64 porque: 4 . 4. 4 = 64, donde 4 es la base,
3 el exponente y 64 la potencia y se lee cuatro al
cubo o cuatro a la tres o cuatro elevado a la
tercera potencia.
• 25 = 32, porque 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32, donde 2 es
la base, 5 el exponente y 32 la potencia y se lee
dos elevado a la cinco o dos elevado a la quinta
potencia.
• 46 =?
• 103 =?
• 58 =?
20/05/2015 15

16. LECTURA Y ESCRITURA
DE POTENCIAS
Para leer una potencia indicada, se
nombra primero el número de la base,
luego el número del exponente, separados
por la expresión “elevado a la”.
20/05/2015 16

17. POTENCIA
INDICADA
FORMAS CORRECTAS DE LECTURA
32
Tres elevado a la dos
Tres elevado ala al cuadrado
Tres elevado a la a la tercera potencia
43
Cuatro elevado a la tres
Cuatro elevado al cubo
Cuatro elevado a la tercera potencia
74
Siete elevado a la cuatro
Siete elevado a la cuarta potencia
105 Diez elevado a la cinco
Diez elevado a la Quinta potencia
86 Ocho elevado a la seis
Ocho elevado a la sexta potencia
57 Cinco elevado a la siete
Cinco elevado a la séptima potencia
98 Nueve elevado a la ocho
Nueve elevado a la octava potencia
69 Seis elevado a la nueve
Seis elevado a la novena potencia
210 Dos elevado a la diez
Dos elevado a la décima potencia
20/05/2015 17

18. CUADRADOS Y CUBOS
CUADRADOS
Es la potencia que resulta de multiplicar un número por si
mismo dos veces
20/05/2015 18
2 veces 2 = 2 x 2
2 x 2 = 22
22 = 4
Lectura: Dos al cuadrado
2 veces 3 = 3 x 3
3 x 3 = 32
32 = 9
Lectura: Tres al cuadrado

19. 20/05/2015 19
CUBOS
Es la potencia que resulta de multiplicar un
número por si mismo tres veces
3 veces 2 = 2 x 2 x 2
2 x 2 x 2 = 23
23 = 8
Lectura: Dos al cubo
3 veces 3 = 3 x 3 x 3
3 x 3 x 3 = 33
33 = 27
Lectura: Tres al cubo

20. CUBOS Y CUADRADOS
DE LOS 10 PRIMEROS NÚMEROS NATURALES
N P/I PRODUCTO DE FACTORES IGUALES BASE EXPONENTE POTENCIA
1
12
13
2
22
23
3
32
33
4
42
43
5
52
53
6
62
63
7
72
73
8
82
83
9
92
93
10
102
103
20

21. PROPIEDADES
DE LA
POTENCIACIÓN
20/05/2015 21

22. 1. Propiedad de un número
elevado a cero
Todo número
natural elevado al
exponente cero, da
como resultado uno.
a0 = 1
La base debe ser
una cantidad
diferente de cero
(a ≠ 𝟎)
Ejemplos
60 = 1
30 = 1
90 = 1
150 = 1
320 = 1
20/05/2015 22

23. 2. Propiedad de cero elevado a
cualquier numero natural
Cero elevado a
cualquier numero
natural, da como
resultado cero.
0n = 0
Ejemplos
08 = 0
02 = 0
06 = 0
03 = 0
20/05/2015 23

24. 3. Propiedad de un número
elevado al exponente uno
Todo número
natural elevado
al exponente
uno, da como
resultado el
mismo número.
a1 = a
Ejemplos
61 = 6
101 = 10
321 = 32
181 = 18
20/05/2015 24

25. 4. Propiedad de uno elevado a
cualquier numero natural
Uno levado a
cualquier número
natural, da como
resultado uno
1n = 1
Ejemplos
17 = 1
110 = 1
13 = 1
15 = 1
112 = 1
20/05/2015 25

26. 5. Propiedad de cero elevado al
exponente cero
Cero elevado al exponente cero,
no esta definido en ningún sistema
numérico y constituye en
matemáticas una indeterminación.
20/05/2015 26

27. 6. Propiedad de un producto de
potencias de igual base
Para multiplicar
dos o más
potencias de igual
base, se deja la
misma base y se
adicionan los
exponentes.
am . an = am + n
Ejemplos
35 . 32 = 37
93 . 95 = 98
24 . 26 = 210
57 . 52 = 59
74 . 72 . 73 = 79
20/05/2015 27

28. 7. Propiedad del cociente de
potencias de igual base
Para dividir potencias
de igual base, se deja
la misma base y se
sustraen los
exponentes. Siempre el
exponente del
dividendo menos el
exponente de divisor.
am ÷ an = am - n
Ejemplos
35 ÷ 32 = 35 - 2 = 33
106 ÷ 103 = 106 - 3 =
103
20/05/2015 28

29. 8. Propiedad de la potencia
de una potencia
Para elevar una
potencia a otra
potencia, se deja
la misma base y
se multiplican los
exponentes
(am)n = am · n
Ejemplos
(35)3 = 35 · 3 = 315
20/05/2015 29

30. 9. Propiedad de la Potencia
de un producto
La potencia de un
producto es el
producto de las
potencias de cada
uno de sus
factores.
(a·b)n = an · bn
Ejemplos
(5·2)6 = 56·26
(2·4)5 = 25 . 45
(9·3)2 = 92 . 32
(7·5)3 = 73 . 53
20/05/2015 30

31. 10. Propiedad de la Potencia de un
cociente
La potencia de un
cociente es el
cociente de las
potencias de cada
uno de sus
factores
(a÷b)n = an ÷ bn
Ejemplos
(6÷3)4 = 64 ÷ 34
(10÷2)2=102÷22
20/05/2015 31

32. OPERACIONES INVERSAS
DE LA POTENCIACIÓN
Loga b=n
20/05/2015 32
𝒏
𝒃=a

33. 20/05/2015 33
RADICACIÓN
UN NUEVO RETO. PARA
AFRONTARLO Y SUPERARLO
NECESITO: INTERÉS, ESFUERZO,
DEDICACION, ATENCION Y
MUCHA PRACTICA. ¡VAMOS!, YO
PUEDO, TU PUEDES.

34. RADICACIÓN
Es una operación inversa
a la potenciación, que permite hallar o
encontrar la base cuando se conoce el
exponente y la potencia.
La radicación se simboliza con el signo √
que se lee radical.
𝒏
𝒃=a si y solo si an = b
20/05/2015 34

35. Ejemplos
2 =16 en radicación
𝟐
𝟏𝟔 = 4; porque 42 = 4.4 = 16
Lectura: Raíz cuadrada de 16 igual 4
20/05/2015 35
?
4 =625 en radicación
𝟒
𝟔𝟐𝟓 = 5; porque 54 =
5.5.5.5 = 625
Lectura: Raíz cuarta de 625 igual a 5
?
3 = 1.000 en radicación
3
1.000 = 10; porque 103
= 10.10.10 = 625
Lectura: Raíz cubica de 1.000 igual a 10
?

36. 8 = 6.561 en radicación
8
6.561 = 3; porque
38 = 3.3.3.3.3.3.3.3 = 6.561
Lectura: Raíz octava de 6,561 igual a 3
20/05/2015 36
?

37. TÉRMINOS DE LA RADICACIÓN
𝑛
𝑏 = a
20/05/2015 37
INDICE
CANTIDAD
SUBRADICAL
RAIZ

38. En la expresión:
𝒏
𝒃=a
n recibe el nombre de índice, b recibe el
nombre de cantidad subradical y a, recibe
el nombre de raíz.
La expresión 53 = 125, en radicación se
puede escribir como
𝟑
𝟏𝟐𝟓 = 5, donde 3
es el índice, 125 la cantidad subradical y 5
la raíz.
20/05/2015 38

39. RELACION ENTRE LOS TERMINOS DE
LA RADICACION YLA POTENCIACION
20/05/2015 39

40. ¿Cómo hallar la raíz de un número?
Para encontrar la raíz exacta de un número
natural, se busca un número tal que elevado al
índice de como resultado la cantidad subradical.
20/05/2015 40
Ejemplos
𝟓
𝟑𝟐= 2 por que 25 = 2.2.2.2.2 = 32
Lectura: Raíz quinta de 32 igual a 2
𝟑
𝟔𝟒= 4 por que 43 = 4.4.4 = 64
Lectura: Raíz cubica de 64 igual a 4
𝟒
𝟖𝟏=3 por que 34 = 3.3.3.3 = 81
Lectura: Raíz cuarta de 81 igual a 3

41. RAÍCES CUADRADAS Y CUBICAS
Para encontrar la raíz cuadrada de una potencia
indicada, se debe hallar un numero que multiplicado por
si mismo dos veces de como resultado la potencia.
Ejemplos:
20/05/2015 41
RAÍZ CUADRADA
La raíz cuadrada se puede expresar así:
𝟐
o
Las raíces cuyo índice es 2 se denominan raíces
cuadradas. A diferencia de los demás casos, en este
tipo de raíces escribir el índice es opcional: 𝟒, 𝟐𝟓,
𝟏𝟎𝟎

42. 2
25 Se lee:
2
4 Se lee
2
8.125 Se lee
2
169 Se lee
81 = ? Porque
36 = ? Porque
4 = ? Porque
9 = ? Porque
16 = ? Porque
20/05/2015 42

43. RAICES CÚBICAS
Para encontrar la raíz cúbica de una
potencia indicada, se debe hallar un numero
que multiplicado por si mismo tres veces de
como resultado la potencia.
Ejemplos:
20/05/2015 43
Las raíces cuyo índice es 3 se denominan
raíces cúbicas.
𝟑
𝟔𝟒 ,
𝟑
𝟐𝟕,
𝟑
𝟐𝟏𝟔

44. 3
8 Se lee
3
1.000 Se lee
3
64 Se lee
3
27 = ? Porque
3
64 = ? Porque
3
125 = ? Porque
3
216 = ? Porque
20/05/2015 44

45. PROPIEDADES DE LA RADICACION
La radicación en el conjunto de los
números naturales, cumple las siguientes
propiedades:
• Raíz n-enesima de un producto
La raíz n-enesima de un producto es igual
al producto de las raíces n-enesimas de
cada uno de los factores.
𝒏
𝒂 𝒙 𝒃 = 𝒏
𝒂 x
𝒏
𝒃
20/05/2015 45

46. 𝟑
𝟐𝟕 𝒙 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 =
𝟑
𝟐𝟕 x
𝟑
𝟏. 𝟎𝟎𝟎
= 3 x 10
= 30
Raíz n-enesima de un cociente
La raíz n-enesima de un cociente es igual al
cociente de las raíces n-enesimas de cada uno
de los factores.
𝒏
𝒂 ÷ 𝒃 = 𝒏
𝒂 ÷
𝒏
𝒃
𝟒
𝟐𝟓𝟔 ÷ 𝟏𝟔 =
𝟒
𝟐𝟓𝟔 ÷
𝟒
𝟏𝟔
= 4 ÷ 2
= 2
20/05/2015 46

47. Cuando la cantidad subradical de una raíz
indicada esta relacionada con los números 0 y
1 se determinan propiedades como:
• Raíz n-enesima de 1
La raíz n-enesima de 1, da como resultado 1
𝒏
𝟏 = 1
• Raíz n-enesima de 0
La raíz n-enesima de 0, da como resultado
0
𝒏
𝟎 = 0
20/05/2015 47

48. LOGARITMACION
Los logaritmos fueron ideados antes de las
computadoras actuales que permiten realizar
operaciones con números muy grandes o muy
pequeños. El logaritmo simplifica el cálculo siempre y
cuando no contemos con una calculadora científica. A
medida que se analizaron más y más los logaritmos se
fueron ideando muchas propiedades que simplifican
aun más el cálculo. Es verdad que muchos de dichos
cálculos se pueden hacer actualmente con la ayuda de
las computadoras. Pero en algunas ocasiones se
encontrarán explicaciones de ciertos temas utilizando
logaritmos y no podremos entenderlas a menos que
tengamos una base sólida en el tema.
20/05/2015 48

49. La logaritmación es otra operación inversa
a la potenciación que permite hallar o
encontrar el exponente, cuando se conoce
la base y la potencia.
Loga b=n si y sólo si an = b
20/05/2015 49
La anterior expresión se lee: Logaritmo en
base a de b, es igual a n
La logaritmación se simboliza con las letras:
Log y se lee Logaritmo.

50. Ejemplos
4 = 16 en logaritmación Log4 16 = 2 porque 42 =
4.4 = 16
3 = 81
2 = 64
20/05/2015 50
2
4
6

51. TERMINOS DE LA LOGARITMACION
Loga b=n
20/05/2015 51
Base del logaritmo
Numero total
Logaritmo

52. En la anterior expresión: Loga b=n
a recibe el nombre de base del logaritmo y
es el número que elevado al exponente o
logaritmo da el numero total, b recibe el
nombre de numero total, que puede ser
cualquier numero natural y n recibe el
nombre de Logaritmo, que es el exponente al
cual hay que elevar la base para obtener el
numero total.
La expresión 53 = 125, en logaritmación se
puede escribir como Log5 125 = 3
donde 5 es el la base del logaritmo, 125 es el
numero total, y 3 es el logaritmo.
20/05/2015 52

53. • Para calcular un logaritmo, se multiplica la
base por si misma tantas veces sea necesario
hasta obtener la potencia o numero total
20/05/2015 53

54. RELACION ENTRE LOS TERMINOS DE
LA POTENCIACION Y LOS TERMINOS
DE LA LOGARITMACION
20/05/2015 54