Metodos No Parametricos Parte II. Est ind clase12

METODOS NO
PARAMÉTRICOS PARTE II
Ing. William León Velásquez
ESTADISTICA
INDUSTRIAL
TEMA
12
UNMSM
FII
Ing William León Velásquez 1

CONTENIDO
PRUEBA de Mann-Whitney
PRUEBA de Kruskal-Wallis

PRUEBA de
Mann-Whitney
13/06/2016 Ing William León Velásquez 3

4
 La prueba U de Mann-Whitney
También llamada:
Prueba de Mann-Whitney-Wilcoxon,
Prueba de suma de rangos Wilcoxon
Prueba de Wilcoxon-Mann-Whitney
PRUEBA DE MANN-WHITNEY
• Es una prueba no paramétrica
aplicada a dos muestras
independientes.
• Es, la versión no paramétrica de la
prueba t de Student.

5
Fue propuesto inicialmente en 1945 por Frank Wilcoxon
para muestras de igual tamaños y extendido a
muestras de tamaño arbitrario como en otros
sentidos por Henry B. Mann y D. R. Whitney en 1947.
Henry B. Mann y D. R. Whitney
• Consiste en ordenar las (n1+ n 2 )
observaciones de acuerdo con su
magnitud, luego separar y elegir el
de mayor magnitud para
determinar si hay diferencias entre
dos poblaciones

6
Requisitos:
No requiere que los datos sean de intervalo
No requiere que los datos sean normales
Debe ser por lo menos ordinal
Hipótesis a probar:
• Ho: las poblaciones son idénticas
• Ha: las poblaciones no son idénticas

7
U  Ri1

(U es la suma de los rangos de la
muestra de mayor magnitud
Muestras grandes
Muestras pequeñas (n1  10 y n2  10)
Hay tablas para este
caso de muestras
pequeñas;
Si la muestra es
relativamente grande,
se puede efectuar la
aproximación a la
distribución normal
La hipótesis nula es que no existe diferencias entre los
dos grupos
𝑍 𝑈=
𝑈−𝑈
𝜎 𝑈

8
Paso 1:
Determinar el tamaño de las muestras (n1 y
n2).
Si n1 + n2 son menores o iguales que 20, se
consideran muestras pequeñas,
Pero si son mayores que 20, se consideran
muestras grandes.
Procedimiento para realizar la Prueba
de Mann-Whitney

9
Paso 2:
Arreglar los datos en rangos del menor al
mayor valor.
En caso de que existan ligas o empates de
rangos iguales, se deberán detectar para un
ajuste posterior.
Prueba de Mann-Whitney

10
Paso 3:
En caso de muestras pequeñas.
Calcular el valor de U, eligiendo el
valor más grande de la sumatoria de
los dos grupos.
En caso de muestras grandes,
calcular el valor Z, porque en estas
condiciones se aproxima a una
distribución normal.

11
Paso 4:
Decidir si no se rechaza o se rechaza
la hipótesis nula.

12
MUESTRAS PEQUEÑAS
La fórmula del estadístico crítico es la siguiente:
Uo = valor del estadístico de U Mann-Whitney
n1 = tamaño de la muestra del grupo 1.
UT = sumatoria de los rangos del grupo mayor.
𝑈0 = 𝑛1 𝑛1 + 𝑛2 + 1 - 𝑈 𝑇

13
Se realizó un estudio para analizar la
frecuencia del pulso en dos grupos de
personas de edades diferentes,
El procesamiento consiste en medir el
pulso de las personas después de diez
minutos de ejercicios aeróbicos.
EJEMPLO 1
Muestras pequeñas

14
Los datos recopilados se muestran a
continuación.
Ejemplo 1
¿Tuvieron diferencias significativas las frecuencias
de pulso de ambos grupos?
Edad de 40-44 Edad de 16-20
A B
140 130
135 166
150 128
140 126
144 140
154 136
160 132
144 128
136 124
148
Muestras pequeñas

15
1. Formulación de las hipótesis:
Ho: Las distribuciones de frecuencias de pulso relativas de
las poblaciones A y B son iguales
Ha: Las distribuciones de frecuencias de pulso relativas de
las poblaciones A y B no son iguales
Ho: Me1 = Me2
Ha: Me1  Me2
Me1, Me2 = Medianas de las poblaciones
Ejemplo 1
Muestras pequeñas

16
Ejemplo 1
2.- Ordenando los datos y asignándoles el (rango) de su posición relativa se tiene :
∑RA = ∑R1
∑RB = ∑R2
suma de
rangosSe promedia
las
posiciones
para el caso
de que sean
iguales
∑R1
∑R2
Muestras pequeñas

17
Ejemplo 1
∑R1= 130.5
El estadístico de la prueba
Se obtiene:
De la sumatoria mayor de los rangos
Como n1 = 10 y n2 = 9
=> 10 y 9<=10 Muestra pequeña
Muestras pequeñas
∑R1= U U= 130.5

18
Ejemplo 1
𝑈0 = 𝑛1 𝑛1 + 𝑛2 + 1 - 𝑈 𝑇
Cálculo del valor crítico de Uo
Con un alfa = 0.05. n1=10 y n2= 9
De la tabla de Mann-Whitney. El valor de la tabla es:76
Calculando Uo
Muestras pequeñas
Uo ε [76,124]
𝑈0 = 10 10 + 9 + 1 - 76 = 124

19
La regla de decisión de la prueba es:
Rechazar Ho si
U < 76 o U > 124
Como: U > 164 es decir 130 > 124
Se rechaza la Hipótesis Ho de que las medianas son
iguales.
Ejemplo 1
Existe suficiente evidencia para afirmar a un nivel
de significancia del 5% que las distribuciones de
frecuencias del pulso relativas de las poblaciones A y B
no son iguales
Muestras pequeñas
Uo ε [76,124]

20
Ho: Las edades de los dos grupos A y B de
estudiantes son iguales
Ha: Las edades de los dos grupos A y B de
estudiantes no son iguales
De una universidad se ha seleccionado dos muestra de 10
estudiantes de dos facultades diferentes y se quiere saber si
las edades de ambos grupos son iguales
Se conoce la sumatoria de los dos rangos
∑Ra = 14.5 ∑Rb = 79.5
Ejemplo 2
EJEMPLO 2
Muestras grandes

21
Ejemplo 2
∑R1= 79.5
Se obtiene:
Como n1 = 10 y n2 = 10
Muestras pequeñas
∑R1= U U= 79.5

22
Ejemplo 2
Cálculo del valor crítico de Uo
Con un alfa = 0.05. n1=10 y n2= 10
De la tabla de Mann-Whitney. El valor de la tabla es:79
Calculando Uo
Muestras pequeñas
Uo ε [79,131]
𝑈0 = 𝑛1 𝑛1 + 𝑛2 + 1 - 𝑈 𝑇
𝑈0 = 10 10 + 10 + 1 - 79 = 131

23
Rechazar Ho si
U < 79 o U > 131
Como: U >79 Es decir 79.5 > 79
No se rechaza la Hipótesis Ho de que las medianas son
iguales.
Ejemplo 2
Conclusión:
No existe suficiente evidencia para afirmar a un
nivel de significancia del 5%, que las edades de los
estudiantes de las dos facultades no son iguales
Muestras pequeñas
Uo ε [79,131]

24
MUESTRAS GRANDES
La fórmula es la siguiente:
U = Estadístico de U Mann-Whitney
𝑈 = 𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 Mann−Whitney
𝜎 𝑈= Des. Estándar de Mann-Whitney
𝑍 𝑈=
𝑈−𝑈
𝜎 𝑈
𝑈 = 𝜇 𝑈 =
𝑛1 ∗ 𝑛1 + 𝑛2 + 1
2
𝜎 𝑈 =
𝑛1 ∗ 𝑛2 ∗ 𝑛1 + 𝑛2 + 1
12

25
Ho: Las edades de los dos grupos A y B de
estudiantes son iguales
Ha: Las edades de los dos grupos A y B de
estudiantes no son iguales
De una universidad se ha seleccionado dos muestra de 10
estudiantes de dos facultades diferentes y se quiere saber si
las edades de ambos grupos son iguales
Se conoce la sumatoria de los dos rangos
∑Ra = 14.5 ∑Rb = 79.5
Ejemplo 2
EJEMPLO 2
Muestras grandes

26
𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎= 𝑈 =μU= n1* (n1 + n2 + 1) / 2 = (10*21)/2 = 105
DS= σU= Raiz [n1 * n2 * (n1 + n2 + 1) / 12]
DS= σU=Raiz[10 *10 * 21/12] = 13.23
Ejemplo 2
𝜎 𝑈 =
𝑛1 ∗ 𝑛2 ∗ 𝑛1 + 𝑛2 + 1
12
Muestras grandes
Calculo del estadístico de prueba
𝑈 = 𝜇 𝑈 =
𝑛1 ∗ 𝑛1 + 𝑛2 + 1
2

27
Con ∑Ra y ∑Rb son datos
Se elije al mayor : U=79.5
Y se reemplaza en la formula
Ejemplo 2
𝑍 𝑈=
𝑈−𝑈
𝜎 𝑈
Utilizando el estadístico Z y la distribución normal se tiene:
Muestras grandes
∑Ra = 14.5 ∑Rb = 79.5
𝑍 𝑈=
79.5−105
1323
= −1.93

28
Z = = - 1.93 --
Ejemplo 2
Utilizando el estadístico Z y la distribución normal se tiene:
Muestras grandes
De la tabla:
P(Z) = 0.0268
Como es una prueba de dos colas se
multiplica por 2
P(total) = 2 * 0.0268 = 0.0536

29
Valor de p= 0.0536
 = 0.05
Como e el valor de p (0.0536) es mayor que el α no
se rechaza la Ho
Ejemplo 2
Conclusión:
No existe suficiente evidencia para afirmar a un
nivel de significancia del 5%, que las edades de los
estudiantes de las dos facultades no son iguales
Muestras grandes

30
Para determinar si la asistencia a un curso de ofimática,
modifica el estilo cognitivo, se seleccionan dos grupos de
10 alumnos, uno de los cuales siguió el curso (grupo
experimental) mientras que al otro no se le aplicó ningún
tratamiento (grupo control).
Ejemplo 3
Tras la realización del curso,
mediante una escala
adecuada se midió el estilo
cognitivo de-ambos grupos,-
variable que-no se distribuye
normalmente en la
población.

31
Los datos se muestran en la tabla
Ejemplo 3
Grupo
experi
mental 75 46 52 45 75 62 48 85 63 84
Grupo
de
control 39 49 28 47 35 25 69 34 67 32
¿Podemos afirmar que los dos
grupos son diferentes en
cuanto a estilo cognitivo
después de haber finalizado
el curso?

32
Por el enunciado, los datos no siguen una distribución normal
por lo que se utilizará una prueba no paramétrica.
Las dos muestras son independientes, la prueba más
adecuada es la prueba de Mann-Whitney.
Formulación de la hipótesis:
H0: No existen diferencias entre el grupo experimental y
el grupo control.
H1: Existen diferencias significativas entre el grupo
experimental y el grupo control.
Nivel de significación (0.05)
Ejemplo 3

33
Cálculo de la sumatoria de los Ranking
Ejemplo 3
∑R1
∑R2

34
Ejemplo 3
∑R2= 138
Se obtiene:
Como n1 = 10 y n2 = 10
Muestras pequeñas
∑R2= U U= 138

35
Para calcular el Uo de la tabla
Para alfa = 0.05 n1= 10 y n2=10
De la tabla de Mann-Whitney
Ejemplo 3
Uo ε [72,79]
𝑈0 = 𝑛1 𝑛1 + 𝑛2 + 1 - 𝑈 𝑇
𝑈0 = 10 10 + 10 + 1 - 138 = 72

36
Rechazar Ho si
U < 72 o U > 79
Como: U >79 Es decir 138 >79
Se rechaza la Hipótesis Ho de que las medianas son
iguales.
Ejemplo 1
Conclusión:
Existe suficiente evidencia para afirmar a un nivel
de significancia del 5%, que los grupos son diferentes
en estilo cognitivo.
Muestras pequeñas
Uo ε [72,79]

37
Ejemplo 3
Para alfa = 0.05 el valor de Uo = 26 y un Ua=17
Si Ua < Uo se rechaza la Ho
Como Ua < 26  17 < 26
se rechaza la Hipótesis Ho de que las medianas son
iguales, es decir los grupos son diferentes en estilo
cognitivo.
Uo ε [26,79]

Los adultos obesos que acuden a un centro de control de
peso de una gran ciudad, son sometidos a uno de dos
tratamientos para reducir de peso: plan de alimentación
dirigido y plan de alimentación dirigido combinado con
un plan de actividad física.
38
EJEMPLO 04
• Determinar si el peso perdido a los 6
meses después de iniciado el
tratamiento de reducción de peso,
difiere significativamente entre los dos
tipos de tratamientos.

Consideraciones:
VI: Tratamientos para reducción de peso.
2 grupos independientes:
(1) Obesos que llevan a cabo un plan de alimentación
dirigido;
(2) Obesos que siguen un plan de alimentación
combinado con un plan de actividad física.
VD: Peso perdido a los 6 meses después de iniciada la
intervención (en Kg)
39
Ejemplo 4
Los datos recopilados a 6 personas de cada grupo
se encuentran a continuación:
Tratamiento de reducción de
peso
Peso perdido en 6 meses (kg)
Plan de alimentación dirigida
(Plan 1)
2 8 10 7 12 20
Plan de alimentación dirigida
+Plan de AF (Plan 2)
28 16 14 15 9 15

Planteamiento de la hipótesis:
Ho: El peso perdido a los 6 meses no es
significativamente diferente entre los obesos que
llevan a cabo un plan de alimentación dirigido y
aquellos que siguen un plan de alimentación
combinado con un plan de actividad física.
HA: El peso perdido a los 6 meses es significativamente
diferente entre los obesos que llevan a cabo un plan
de alimentación dirigido y aquellos que siguen un
plan de alimentación combinado con un plan de
actividad física.
Regla de decisión:
Si p ≤ 0.05 se rechaza Ho
40
Ejemplo 4

Determinar tamaño de muestras
n1 = 6 personas del grupo 1
n2 = 6 personas del grupo 2
Ordenar observaciones en rangos de menor a mayor
41
Ejemplo 4
Grupo 1 2 8 10 7 12 20
Ranking 1 3 5 2 6 11 28 ∑R1
Grupo 2 28 16 14 15 9 15
Ranking 12 10 7 8.5 4 8.5 50 ∑R2
Grupo 1: Plan de alimentación dirigido
Grupo 2: Plan de alimentación dirigido + Plan de AF
Peso perdido en 6 meses (kg)

Cálculo del estadístico U
Donde:
U1 y U2 = valores estadísticos de U Mann-Whitney.
∑R1 = sumatoria de los rangos del grupo 1.
∑R2 = sumatoria de los rangos del grupo 2.
42
Ejemplo 4
𝑈 = 𝑛1 𝑛2 +
𝑛 𝑖(𝑛 𝑖+1)
2
- 𝑅𝑖
𝑈1 = 6 ∗ 6 +
6(6+1)
2
- 28 = 29
𝑈2 = 6 ∗ 6 +
6(6+1)
2
- 50 = 7

De los dos valores de U calculados, se elige el más pequeño
(7) y el n2=6
Se compara con los valores críticos de U Mann-Whitney de
la tabla de probabilidades.
43
Ejemplo 4

Valor de probabilidad:
0.047 (unilateral) x 2 = 0.09
Decisión
Como valor de la probabilidad (0.09) > 0.05, no se
rechaza la H0.
Se evidencia que el peso perdido a los 6 meses no es
significativamente diferente entre los obesos que
siguen sólo un plan de alimentación dirigido y los que
siguen el plan de alimentación combinado con un plan
de actividad física, con un nivel de significancia de
0.05
44
Ejemplo 4

PRUEBA
DE
KRUSKAL-WALLIS
13/06/2016 Ing William León Velásquez 45

Ing. William león Velásquez 46
OBJETIVO
Esta prueba permite decidir si puede aceptarse la
hipótesis de que “r” muestras independientes proceden
de la misma población o de poblaciones idénticas con la
misma mediana.
PRUEBA de Kruskal-Wallis
William Kruskal – Wilson Wallis

La prueba de Kruskal-Wallis es un Método no
paramétrico para:
1. Probar si un grupo de datos proviene de la misma
población.
2. Se emplea cuando se quieren comparar tres o más
poblaciones.
3. Es el equivalente a un análisis de varianza de una
sola vía.
4. No requiere supuesto de normalidad.
5. No requiere supuesto de varianzas iguales
(homogeneidad de varianzas).
6. Compara esencialmente los rangos promedios
observados para las “r” muestras, con los
esperados bajo Ho
PRUEBA NO PARAMÉTRICA
Kruskal-Wallis

H0: Las poblaciones de las que proceden las tres “r”
muestras son idénticas (idéntica mediana)
Ho : Me1=Me2= …..=Mei
H1: Hay al menos dos poblaciones distintas (medianas
diferentes)*
*No implica que un grupo en concreto sea superior que
otro.
PLANTEAMIENTO DE HIPÓTESIS

ESTADÍSTICO DE PRUEBA
Regla de decisión
Donde:
N=total de datos de las muestras.
Ri=sumatoria de rangos de cada
muestra.
ni=número de datos de cada muestra
𝐻 =
12
𝑁(𝑁 + 1)
𝑅𝑖
2
𝑛𝑖
− 3(𝑁 + 1)
𝑟
𝑖=1
El estadístico H sigue aproximadamente (cuando los tamaños
muestrales son grandes) una distribución χ2
𝑟 − 1 y por tanto
para un nivel de significancia α la región critica de contraste
es 𝐻 > χ2
𝑟 − 1 ,1-α
Si 𝐻 > χ2
𝑟 − 1 ,1-α , se rechaza la hipótesis nula
Si 𝐻 ≤ χ2
𝑟 − 1 ,1-α , no se rechaza la hipótesis nula

1. Planteamiento de hipótesis.
2. Se ordenan las “n” observaciones de menor a mayor, y
se les asignan rangos desde 1 hasta “n”.
3. Se obtiene la suma de los rangos correspondientes a
los elementos de cada muestra “Ri” y se halla el rango
promedio.
4. Calcular estadístico de prueba.
5. Buscar H en la Tabla de Chi cuadrado.
6. Conclusiones.
PROCEDIMIENTO

EJEMPLO 5
En tres empresas se esta determinando el
grado (%) de propensión al ahorro de sus
trabajadores. Para verificar si la disposición al
ahorro es similar en dichas empresas, se
obtiene una muestra en cada una de las
empresas, cuyos resultados son los siguientes:
Empresa 1 Empresa 2 Empresa 2
Propensión
al ahorro
0.251 0.140 0.112
0.326 0.204 0.306
0.146 0.318 0.241
0.093 0.109
0.172

Ho: El grado de propensión al ahorro es el mismo en las
tres empresas.
H1: Por lo menos una empresa no es idéntica en
términos de propensión al ahorro.
Con un grado de significancia del 5%.
EJEMPLO 5

ORDENAMIENTO DE DATOS
Se ordenan las “n“ observaciones de menor a mayor, y se les
asignan rangos desde 1 hasta “n”
Se ordenan las “n” observaciones Ubicar los rangos asignados de acuerdo a
la clasificación original (empresas)
Empresa Empresa
EJEMPLO 5

SUMA DE RANGOS
Se obtiene la suma de los rangos (R1,R2,R3) correspondientes a
los elementos de cada muestra Ri y se halla el rango promedio.
Empresa Empresa
Empresa
EJEMPLO 5

CALCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA
EJEMPLO 5
𝐻 =
12
𝑁(𝑁 + 1)
𝑅𝑖
2
𝑛𝑖
− 3(𝑁 + 1)
𝑟
𝑖=1
𝐻 =
12
12(12 + 1)
262
3
+
292
5
+
232
4
− 3 12 + 1 = 1.44
Del estadístico de prueba H
Reemplazando los valores
H=1.44

El valor del χ2
Al buscar en la tabla Chi-cuadrado con un nivel de
significancia de 5%, se tiene:
EJEMPLO 5
χ2
𝑟 − 1 ,1-α = χ2
2 ,0.95 = 5.991

CONCLUSIONES
Y como H=1.44 entonces:
1.44<= 5.991
Por tanto, no se rechaza la H0,
Es decir, no se puede afirmar que las poblaciones sean
diferentes en términos de propensión al ahorro.
EJEMPLO 5
χ2
𝑟 − 1 ,1-α = χ2
2 ,0.95 = 5.991

58
Se ha registrado el tamaño de los centros
acogidos a tres programas de
experimentación en función al numero de
aulas, que cuentan con la participación de
4, 3 y 4 centros respectivamente.
Si el número de aulas de cada uno de estos
centros es el que se muestran a
continuación,
¿Se puede afirmar que el tamaño no marca
diferencias entre los centros implicados en
los tres programas? (α = 0.05)
Ejemplo 6
Programa A Programa B Programa C
20 24 13
19 22 15
16 28 18
21 26

59
Dado que el número de casos es muy pequeño, la prueba
idónea será una prueba no paramétrica. Puesto que tenemos
que tres muestras cuyos datos no se encuentran relacionados,
la prueba a utilizar será la de Kruskal-Wallis.
Las hipótesis a contrastar son las siguientes:
H0: No existen diferencias entre los k grupos.
H1: Existen diferencias significativas entre los k grupos.
EJEMPLO 6

60
ORDENAMIENTO DE LOS DATOS
20 19 16 21 24 22 28 23 15 18 26
A A A A B B B C C C C
5 4 2 6 9 7 11 8 1 3 10
EJEMPLO 6
Ranking
Para calcular el estadístico de contraste, se debe ordenar las
puntuaciones, como si fueran una sola muestra:
Programa A Programa B Programa C
20 24 13
19 22 15
16 28 18
21 26

61
Calcular la suma de rangos para cada una de las
muestras:
R1 = 5 + 4 + 2 + 6 = 17
R2 = 9 + 7 + 11 = 27
R3 = 8 + 1 + 3 + 10 = 22
CALCULO DE LA SUMA DE RANGOS
EJEMPLO 6

62
La expresión del estadístico U es la siguiente:
CALCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA
Sustituyendo, obtenemos que U es:
EJEMPLO 6
𝐻 =
12
𝑁(𝑁 + 1)
𝑅𝑖
2
𝑛𝑖
− 3(𝑁 + 1)
𝑟
𝑖=1
𝐻 =
12
11(11 + 1)
172
4
+
262
3
+
232
4
− 3 11 + 1 = 3.66

El valor del χ2
Buscamos en la tabla correspondiente la
probabilidad asociada para χ0.95, 3-1, y
encontramos que es 5.991.
EJEMPLO 6

64
CONCLUSION
5.991>= 3.66
Por tanto, no se rechaza la H0, por lo tanto no existen
diferencias entre los k grupos.
3.66<= 5.991
5.9913.66
EJEMPLO 6

EJEMPLO 7
/
Una empresa manufacturera desea
contratar personal para su equipo
gerencial.
Realiza una convocatoria y se presentan
20 postulantes, se realizan las
evaluaciones y se dispone de los
resultados de las calificaciones de
desempeño identificando que
provienen de 3 escuelas diferentes, que
se va ha considerar como muestras
independientes para saber si existe
alguna diferencia en la preparación de
sus estudiantes.

Se han obtenido las calificaciones de 7 empleados de la
escuela A, 6 empleados de la escuela B y 7 empleados de la
escuela C.
La calificación de cada postulante está en escala de 0 a 100.
EJEMPLO 7
A B C
25 30 40
60 60 90
50 85 90
70 15 35
20 80 70
70 95 80
60 75

Ho: Las Escuelas son idénticas en términos de las
evaluaciones de desempeño.
H1: Por lo menos una de las Escuelas no es idéntica
en términos de las evaluaciones de desempeño.
Con un grado de significancia del 5%.
EJEMPLO 7

ORDENAMIENTO DE LOS DATOS
/
Se ordenan las “n“ observaciones de menor a mayor, y se les
asignan rangos desde 1 hasta “n”
Se
ordenan
las “n”
observa
ciones
Ubicar los
rangos
asignados
de
acuerdo a
la
clasificaci
ón
original
(escuelas)
2
3
2
2
EJEMPLO 7

CALCULO DE LAS SUMA DE LOS RANKING
/
Se obtiene la suma de los rangos (a,b,c)
correspondientes a los elementos de cada muestra Ri
EJEMPLO 7

CALCULAR ESTADÍSTICO DE PRUEBAPRUEBA
H=2.853
𝐻 =
12
20 21
532
7
+
67.52
6
+
89.52
7
− 3(21)
H= 0.02857 ( 2304.982 )-63
Como ha habido 4 empates 1 de 3 y 3 de 2 se tiene
que calcular el factor de ajuste L
EJEMPLO 7
𝐻 =
12
𝑁(𝑁 + 1)
𝑅𝑖
2
𝑛𝑖
− 3(𝑁 + 1)
𝑟
𝑖=1

CALCULAR ESTADÍSTICO DE PRUEBAPRUEBA
H=2.853
• El factor de ajuste L se calcula :
L=1-
(𝐿 𝑖
3−𝐿 𝑖)
𝑁3−𝑁
L=1-
23−2 + 33−3 + 23−2 +(23−2)
203−20
𝐻 =
𝐻
𝐿
𝐻 =
2.853
0.9947
=2.868
• Luego se procede a calcular el valor estadístico
final de la prueba de Kruskal-Wallis
L=1-
42
7980
L=1- 0.00526316 L=0.9947
EJEMPLO 7

ENCONTRAR EL VALOR DE LA TABLA
Al buscar en la tabla Chi-cuadrado con un grado de
EJEMPLO 7

ENCONTRAR EL VALOR DE LA TABLA
Al buscar en la tabla Chi-cuadrado con un grado de
𝜒2
r-1,α= 𝜒2
2,0.05=5.991
EJEMPLO 7

CONCLUSIONES
2.868 <= 5.991
Por tanto, no se rechaza la H0, es decir, las
poblaciones son idénticas en términos de las
evaluaciones de desempeño.
𝐻 ≥ 𝜒2
𝑟−1,1−𝛼
𝐻 ≤ 𝜒2
𝑟−1,1−𝛼
Regla de decisión
Se rechaza la hipótesis nula
No se rechaza la hipótesis nula
EJEMPLO 7

75
• Un investigador estudia el efecto benéfico de
cuatro sustancias anticonvulsionantes (a1,
a2, a3 y a4), para proteger contra la muerte
producida por un convulsionante, la cual se
manifiesta después de una crisis
• El investigador elige al azar a 24 ratones de
la misma edad y peso y les inyecta
anticonvulsionante previamente al suministro
del convulsionante
• A partir de este momento, inicia la cuenta en
tiempo, hasta que mueren los ratones;
además mide las observaciones en horas de
tiempo transcurrido.
Ejemplo 8

76
• Elección de la prueba estadística.
Las mediciones se realizan en horas, por lo que la variable
puede ser continua y, en consecuencia, una escala de
intervalo; sin embargo, algunos ratones no murieron y el
tiempo está calificado nominalmente como infinito.
• Este obstáculo impide concederle la calificación de escala
de intervalo, por lo cual se elige una escala de tipo ordinal.
ANALISIS
EJEMPLO 8

77
• Hipótesis nula (Ho). Las diferencias observadas en los
cuatro grupos de fármacos anticonvulsionantes, para evitar
la muerte producida por el convulsionante, se deben al
azar.
• Hipótesis alterna (Ha). La protección de la muerte por
drogas anticonvulsionante contra el fármaco
convulsionante, se muestra diferente entre los cuatro
grupos, y hay mejor protección por unos de ellos.
Planteamiento de la hipótesis
EJEMPLO 8

78
Para todo valor de probabilidad igual o menor que 0.05, se
acepta Ha y se rechaza Ho.
Zona de rechazo.
Para todo valor de probabilidad mayor que 0.05, se acepta
Ho y se rechaza Ha.
Tiempo en horas que tarda el fármaco en causar la muerte
en ratones.
Nivel de significación
A1 A2 A3 A4
2 0.5 ∞ 4
4 1 ∞ 3
6 6 8 5
4 6 9 1
2 0.3 ∞ 6
1 0.4 8 3
EJEMPLO 8

79
 De acuerdo con los pasos,
se inicia con el
ordenamiento de todas las
observaciones a partir del
valor más pequeño hasta
el mayor y la detección de
las ligas o empates.
 Arreglo de los datos para
asignar rangos y detectar
las ligas o empates.
Aplicación de la prueba estadística.
EJEMPLO 8

80
 Una vez efectuado el ordenamiento en rangos de las
observaciones, se hacen las sumatorias de los rangos.
Para facilitar esta tarea, elabórese una tabla en la que
sustituyan los datos.
 Sustitución por rangos. Observaciones de la primera tabla.
a1 a2 a3 a4
EJEMPLO 8
Aplicación de la prueba estadística

81
Se calcula el valor de ajuste por empates con la siguiente
fórmula
EJEMPLO 8

82
Con el ajuste de L, se procede a calcular el valor estadístico
de la prueba de Kruskal-Wallis
EJEMPLO 8

83
Calculamos los grados de libertad.
gl = K grupos - 1 = 4 - 1 = 3
• El estadístico H calculado de 15.4, se
compara con los valores críticos de χ 2.
• En seguida se busca en esa hilera la cifra de
grados de libertad (3) hasta el nivel de
significancia de 0.05 y se observa el valor
7.82, hasta los críticos 11.34 y 16.27, donde
se encuentra el calculado.
• Esto quiere decir que la probabilidad de que
exista una diferencia se halla a una
probabilidad de error entre 0.01 y 0.001.
EJEMPLO 8

84
Decisión.
Como el valor estadístico H tiene una probabilidad menor
que 0.01 y éste es menor que el nivel de significancia, se
acepta Ha y se rechaza Ho.
Interpretación.
Entre las drogas anticonvulsionantes, existe diferencia
significativa en cuanto a la protección de muerte a los
ratones cuando se les inyecta el fármaco
EJEMPLO 8

85
Se quiere estudiar si el pH de
cuatro lagunas situadas sobre
sustratos diferentes. Para ello se
obtuvieron 8 muestras de agua
procedentes de cada una de las
lagunas, midiéndose el pH en
cada una de ellas.
Los datos de pH se ordenaron de
forma ascendente para cada
laguna. (Una muestra de agua de
la laguna nº 3 se perdió, de forma
que n3=7; pero el test no requiere
igualdad en el número de datos de
cada grupo). Los rangos se
muestran entre paréntesis.
Ejemplo 9

86
Variable dependiente: pH (cuantitativa)
Variable independiente: tipo de sustrato sobre el que cada
laguna (cualitativa)
Hipótesis
H0= el pH es el mismo en las cuatro lagunas
H1= el pH no es el mismo en las cuatro charcas
Planteamiento de la Hipótesis
EJEMPLO 9

87
Laguna1 laguna 2 Laguna3 Laguna4
7.68 (1) 7.71 (6*) 7.74 (13.5*) 7.71 (6*)
7.69 (2) 7.73 (10*) 7.75 (16) 7.71 (6*)
7.70 (3.5*) 7.74 (13.5*) 7.77 (18) 7.74 (13.5*)
7.70 (3.5*) 7.74 (13.5*) 7.78 (20*) 7.79 (22)
7.72 (8) 7.78 (20*) 7.80 (23.5*) 7.81 (26*)
7.73 (10*) 7.78 (20*) 7.81 (26*) 7.85 (29)
7.73 (10*) 7.80 (23.5*) 7.84 (28) 7.87 (30)
7.76 (17) 7.81 (26*) 7.91 (31)
n1=8 n2=8 n3=7 n4=8
R1=55 R2=132.5 R3=145 R4=163.5
* Rangos ligados
Calculo de la sumatoria de los ranking
EJEMPLO 9

88
Cálculo del estadístico
EJEMPLO 9
N=8+8+7+8=31
H =
12
𝑁(𝑁 + 1)
𝑅2
𝑖
𝑛𝑖
− 3(𝑁 + 1)
H =
12
31(32)
552
8
+
132.52
8
+
1452
7
+
163.52
8
− 3 32 = 11.876
Como hay empates se tiene que hacer un ajuste
𝐻 =
𝐻
𝐿

89
L=1-
168
313
−31
= 1-
168
29760
=0.9944
L=1-
(𝐿 𝑖
3−𝐿 𝑖)
𝑁3−𝑁
𝐻 =
𝐻
𝐿
=
11.876
0.9944
= 11.943
Cálculo del estadístico
EJEMPLO 9
𝐿3
𝑖 − 𝐿𝑖 = 168
𝑚
𝑖=1
Numero de grupos de rangos ligados=m=7
𝐿3
𝑖 − 𝐿𝑖 = 23 − 2 + 33 − 3 + 33 − 3 + 43 − 4 + 33 − 3 + 23 − 2 + 33 − 3
𝑚
𝑖=1
Reemplazando la sumatoria en la formula
Reemplazando el estadístico de la liga en la formula de H

90
Existe suficiente evidencia para afirmar con un nivel de significancia
del 5%, que el pH no es el mismo en todas las lagunas
GL= k-1= 4-1=3
El valor de la tabla
EJEMPLO 9
Hc = 11.943
𝜒2
0.05,3=7.815
𝐻𝑐𝑎𝑙 > 𝜒2
0.05,3 ⇒ 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝐻𝑜
7.815
11.943

FIN
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