Ponencia sobre Resolución de problemas

1. Santiago Fernández
Asesor de Matemáticas del Berritzegune Nagusia
Asociación de Profesores de Matemáticas de Euskadi
“Una docena de Problemas”
Julio, 2015

2. A mi amigo
“ Coque”

3. Mi pueblo: Balmaseda

4. Mi primera escuela: Escuela Unitaria
El profesor: D. Luis Bretón

5. 12 m
9 m
11 m

6. 1967, REVALIDA 4º
Cuál es el área de
la corona circular?
4 m
R
r

7. IES UNAMUNO-Bilbao
Años de Bachiller

9. 1970, Gran IMPACTO INTELECTUAL- PREU
( Prof. Fermín Delmás)
El Conjunto de los NÚMEROS PRIMOS ES INFINITO
Me abre un mundo
Insospechado : Teoremas,
Historia, Matemáticos griegos

10. Estudio de Ciencias Exactas: Caminata por el desierto,…

12. ¿Hasta cuándo los pobres jóvenes estarán
obligados a escuchar o repetir todo el día?
¿Cuándo se les dejará tiempo para meditar
sobre el cúmulo de conocimientos, para
coordinar esta locura de proposiciones sin fin,
de cálculos sin relación?
Evariste Galois,
Gazette des Ecoles,1831

13. 1978 Encuentro casual en una librería de Bilbao
Heurística, patrones, razonamientos
plausibles, conjeturas,…..

14. Método de POLYA
I. Comprender el problema
II. Concebir un plan .
III. Ejecución del plan
IV. Examinar la solución obtenida

15. ¿ Qué es un problema?
Problema es una situación que representa una
dificultad, no hay un camino automático para resolverla
y se requiere deliberación e investigación de tipo
conceptual o empírica para poder resolverla.
Mario Bunge(1919-)

16. MASON, BURTON y STACEY
Pensar matemáticamente
POLYA
Cómo plantear y resolver un problema
BRANSFORD, STEIN, y BARRY
Solución I.D.E.A.L.
M. De GUZMÁN
Para pensar mejor
Cuatro modelos
para
resolver problemas

17. • El saber hacer, en matemáticas, tiene mucho que
ver con la habilidad de resolver problemas.
• Hay que tener presente que el único camino para
aprender a resolver problemas, y ser competente en
este campo es enfrentarse a múltiples y diversas
situaciones y tratar de resolverlas.
• Sin embargo, esto no es suficiente
ALGUNAS REFLEXIONES

18. “Lo que se puede enseñar es la actitud
correcta ante los problemas, y enseñar a
resolver problemas es el camino para
resolverlos (...). El mejor método no es
contarles cosas a los alumnos, sino
preguntárselas y, mejor todavía, instarles
a que se pregunten ellos mismos".
P. Halmos (1991)

19. 1. Prepararse adecuadamente.
2. Resolver algunos problemas en “voz aIta” .
3. Presentar problemas interesantes
4. Profundizar en las estrategias básicas y los
contenidos más relevantes.
5. Analizar el problema desde muchos puntos de
vista
¿Qué podemos hacer para mejorar la capacidad
de nuestros alumnos en la R.P?

20. Primer nivel: De rango bajo y medio
• Ensayo-error
• Empezar por lo fácil, resolver un problema
semejante más sencillo
• Manipular y experimentar manualmente
• Descomponer el problema en pequeños
problemas (simplificar)
• Resolver problemas análogos (analogía)
• Hacer recuento (conteo)
• Hacer esquemas, tablas, dibujos
(representación)
• Experimentar y extraer pautas (inducir)
• Seguir un método (organización)
• Utilizar una expresión adecuada (codificar,
expresión, comunicación).
• Deducir y sacar conclusiones (razonar)
ESTRATEGIAS

21. De alto rango
• Estrategias relacionadas con la demostración: inducción, etc.
• Métodos deductivos
• Sacar partido de la simetría
• Realizar conjeturas y probarlas o refutarlas.
• Principio del palomar (Dirichlet)
• Analizar los casos límite,
• Teoría del color
• Reformular el problema
• Suponer que no (reducción al absurdo)
• Empezar por el final (dar el problema por resuelto)
• Conocer técnicas específicas de: números, azar, geometría,
etc.
• Aplicar Teoremas,…

22. • Teorema de Pitágoras
• Teorema de Thales, semejanza
• Conocimiento proporcional
• Suma de términos de una progresión aritmética
• Propiedades elementales de la circunferencia
• Propiedades básicas de los triángulos
• Relación entre las fracciones, números decimales y números racionales
• Una cierta destreza en el manejo del lenguaje algebraico
• Conocimiento de algunas propiedades numéricas
• Una cierta visión espacial
• Elementos básicos de matemática discreta
• Manejar algún software ( Geogebra, Mathematica,…)
¿Qué conocimientos necesitamos?

23. DEGUSTACIÓN DE
ALGUNOS PROBLEMAS

24. Una docena de….

25. F. Gauss (1777-1855)
La suma de los 100 primeros
números naturales

26. 1+2+3+4+…….+97+98+99+100
101
101x 50 = 5050
Cuando tenía 10 años,….

27. 1+ 2+··········+99+100
100+99+··········+2 + 1
101 101 x 100/2 = 5050

28. 1+2+3+4 =

29. 110
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55

30. 1+2+3+4 = (4 X 5 ) / 2
1+2+3+····+(n-1)+n= n·(n+1) / 2

31. 1+2+3+4= (4.4)/2 = 8
4
4
FALSO
Zona azul = 10-8 = 2 unidades cuadradas
Analogía

32. ¿ Cuántos segmentos?
1
9+8+7+···+2+1=
10 vértices

33. SALUDOS

34. 1
2
3
4
5
(5.4) / 2 = 10 SALUDOS
Saludos con 5 personas
Caso particular
Generalizar
N(N-1)/2

35. NO
NO
NO
NO
NO
1 542 3
5 equipos, partidos a doble vuelta. Cuántos?
4
1
2
3
5
TOTAL= (5 . 5)- 5 = 5.( 5-1)
Representación
Particularizar
Generalizar
TOTAL= N ( N-1)

36. Disponemos de estas cinco monedas.
¿ Cuántas cantidades distintas se
pueden formar?

38. 23 -1

39. Adrian y Berta están en plena partida de un juego donde se tienen
que conseguir 6 puntos para ganar, y en el que cada uno de los
jugadores tiene las mismas oportunidades para vencer en una ronda
y llevarse un punto. Adrián está ganando por 5 a 3, cuando de
repente se interrumpe la partida. Si cada uno aportó 32 doblones.
¿Cómo deberán repartirse las apuestas depositadas?
[problema propuesto por Fibonacci (1180-1250 en su Liber Abaci , mal
resuelto por Luca Pacioli (1445-1514), que sostenía que la repartición
debería ser de 5 a 3, cuando, realmente, debe ser de 7 a 1]
El problema del reparto

40. 5, 3
6, 3
5, 4
6, 45, 5
5,6
6, 5
Gana el
1º
Gana el
2º
El reparto justo
Diagrama

41. Gana el
1º
Gana el
2º
8
4
4
El reparto justo

42. 2
Gana el
1º
Gana el
2º
2
4
4
El reparto justo
SIMULACIÓN

43. 1
2
1
Gana el
1º
Gana el
2º
2
4
De las 8 bolas, 7 gana el primero
y 1 el segundo.
El reparto justo

44. Analizar los datos, ser Crítico
Un taxi se ve envuelto en accidente nocturno, en una ciudad en la que
hay un 15% taxis azules y un 85 % taxis verdes
- Una persona dice que es azul
- Le hacen una prueba de visión y el 80% de las veces contesta bien
¿ cuál es la probabilidad de que el taxi sea azul?
15
azules
12 3
85
verdes
17 68
29 71
Azul Verde
P(azul) dado que el testigo decía azul = 12 / 29 = 0,41

45. ¿ Cuántos cubitos con una cara
pintada y con dos caras y con tres…?
8
12.8
6.8.8
8.8.8
TOTAL=1000
ORGANIZACIÓN, TABLA, CONJETURA

46. En una academia de idiomas hay matriculados 145
alumnos, de los cuales 78 estudian inglés y 45
francés. Mientras que 20 estudiantes están
matriculados en ambos idiomas.
¿Cuántos hay que no estudian ni francés ni inglés?
2025 58
REPRESENTACION, ANALISIS DATOS, LÓGICA
22

47. Tenemos un saco con 50 canicas rojas y en otro 50 canicas
blancas. Tomamos 10 canicas del primer saco y las metemos en
el segundo. Posteriormente mezclamos bien las canicas en el
segundo saco y tomamos 10 canicas al azar y las llevamos al
primer saco.
Si comparamos las canicas blancas que hay en el primer saco
con las canicas rojas que hay en el segundo
¿ cuál de las dos tiene más ?
Primer saco

48. Primer saco
a) Pasa una bola roja y una blanca
b) Pasan las dos bolas rojas
c) Pasan dos bolas blancas Opciones Segundo
saco
Primer
saco
a) 1R, 49 B 1B, 49 R
b) 50 B 50R
c) 2R, 48B 2B, 48 R
CONJETURA
EL MISMO NÚMERO !!!

49. TRES SOMBREROS NEGROS Y DOS SOMBRERO BLANCO
Tres personas , se les coloca un sombrero en su cabeza del que
desconocen su color.
A continuación, empezando por el último de la fila, se les pregunta si
pueden adivinar el color del sombrero que llevan puesto. La respuesta
fue la siguiente:
– El tercero, y último, que ve a las dos personas que se encuentran
delante, dijo: “No lo sé”
– El segundo, situado en el centro, y que solo ve al de delante, dijo
también: “No lo sé”, y
– El 3º, en primera fila, y que no ve a ninguno de los otros dos, contestó:
sí yo lo sé ¿ cuál era su color?

50. TRES SOMBREROS NEGROS Y DOS SOMBRERO BLANCO
– El tercero, y último, que ve a las dos personas que se encuentran
delante, dijo: “No lo sé”
NECESARIAMENTE ALGUNO HA DE SER NEGRO
– El segundo, situado en el centro, y que solo ve al de delante, dijo
también: “No lo sé”,
SI YO VIERA UNO BLANCO EN EL PRIMERO DIRIA QUE EL MIO ES
NEGRO, PERO NO LO DIGO
– El 3º, en primera fila, y que no ve a ninguno de los otros dos, contestó:
sí yo lo sé ¿ cuál era su color?
EL MIO ES NEGRO

51. cbxaxy ++= 2 ¿cómo influyen los coeficientes?

52. Anímate a ensayar
No te olvides de dibujar
Ni tampoco de escribir
Cuenta y recuenta
Pero sé ordenado
Si no puedes con todo trocea
Busca y rebusca
Pero sé organizado.
Sé osado, Conjetura !!
Seguro que algo encontrarás.
Reflexiona
Pero,… en ocasiones hay que ir un poco más allá

53. Elige el camino más sencillo

54. Trata de resolver
un caso más difícil

55. Trata de ir
hacia atrás

56. Prueba con
casos límites

58. Descansa y deja volar
tu imaginación

59. No tengas miedo, se osado

60. Disfruta de la belleza

61. RESOLVER PROBLEMAS, no consiste en saber muchos
resultados y conocer muchas fórmulas, sino, más bien, en obtener
provecho de nuestros conocimientos y saber organizarnos.
Es una actitud mental positiva, abierta y creativa

62. P. Halmos
No predique hechos estimule acciones

63. EDUCAR
Educar es lo mismo
que poner un motor a una barca...
Hay que medir, pensar, equilibrar...
y poner todo en marcha.
Pero para eso,
uno tiene que llevar en el alma
un poco de marino...
un poco de pirata...
un poco de poeta...
y un kilo y medio de paciencia concentrada.
Pero es consolador soñar,
mientras uno trabaja,
que ese barco, ese niño,
irá muy lejos por el agua.
Soñar que ese navío
llevará nuestra carga de palabras
hacia puertos distantes, hacia islas lejan
Soñar que, cuando un día
esté durmiendo nuestra propia barca,
en barcos nuevos seguirá
nuestra bandera enarbolada.
Gabriel Celaya

64. GRACIAS
POR
VUESTRA
ATENCIÓN