GENERALIDADES SOBRE LA HIPERBOLA

2. Hipérbola
 La hipérbola, se origina
al cortar el cono con un
plano que no pase por el
vértice y cuyo ángulo de
inclinación respecto al
eje del cono es menor
que el de la generatriz
del cono.
Eje
Vértice
Plano
Generatriz

3. Definición de La Hipérbola como Lugar
Geométrico:
 Hipérbola es el
lugar geométrico de
los puntos del plano
cuya diferencia de
distancias a dos
puntos fijos,
llamados focos, es
constante.

4. Elementos de la hipérbola
 En toda hipérbola conviene considerar:
Y: Es el eje secundario de la hipérbola y
es la mediatriz del eje focal.
X: Es el eje focal de la hipérbola.
F y F´: Son los focos de la hipérbola.
A y A´: Son los vértices de la hipérbola.
O: Es el centro de la hipérbola.
P: Es un punto de la hipérbola.
PF y PF´: Son los radio vectores de la
hipérbola.
Y
P
O X
F´ A´ A F

5. Elementos de la hipérbola
2c: Se le llama distancia focal.
2a: Es el eje transverso.
AA´: A este segmento se le denomina
eje real.
Y
O
P
F´ A´ A
F
2a
2c

6. Diferencia entre una elipse y
una hipérbola
La diferencia entre estas dos cónicas es que
La elipse es la suma de la distancia
del conjunto de los puntos (x,y)
2
2
+ =
1 2
2
y
b
x
a
Y la hipérbola es la diferencia de
la distancia del conjunto de los
puntos (x,y).
2
2
- =
1 2
2
y
b
x
a

7. Coordenadas de los elementos que la construyen la hipérbola
vertical
V '(h,k - a)
F(h,k + c)
F'(h,k - c)
VV ' = 2a 2b FF' = 2c
LR b
2 2 =
a
e = c
a
Vértices Focos Eje
trans
verso
Eje
con
jugado
Distancia
focal
Lado
recto
Excentri
cidad
V(h,k + a)

8. Coordenadas de los elementos que la construyen la hipérbola
horizontal
V '(h - a,k )
F(h + c,k )
F'(h - c,k )
VV ' = 2a 2b FF' = 2c
LR b
2 2 =
a
e = c
a
Vértices Focos Eje
trans
verso
Eje
con
jugado
Distancia
focal
Lado
recto
Excentri
cidad
V(h + a,k )

9. Hipérbola Conjugada
Dos hipérbolas son conjugadas cuando el eje transverso de
una es el eje conjugado de la otra. Las hipérbolas conjugadas
tienen el mismo rectángulo básico y las mismas asíntotas .

10. Hipérbola Equilátera
Aquella en la que los
semiejes real e
imaginario son
iguales, es decir, a = b
A´
B
45°
F´ A F
B´
Y
O X
Nota :en este caso, las
asíntotas son las rectas
bisectrices de los ejes:
y = x; y = -x.

11. Ecuación canónica de la hipérbola
 Con eje transversal horizontal
Centro (0, 0) Centro (h, k)
2
2
y k
x h
- - - =
( ) ( ) 1
2
2
b
a
2
- y
2
=
x
 con eje transversal vertical
Centro (0, 0) Centro (h, k)
x h
y k
( ) ( ) 1
2
2
2
2
- - - =
b
a
1 2
2
b
a
2
2
- =
1 2
2
x
b
y
a

12. Ecuación general
A x2 + B x y + C y2+ D x + E y + F = 0
Si b²- 4ac > 0 la ecuación es de tipo
hiperbólico y su gráfica puede ser una
hipérbola o dos rectas.

13. EJEMPLO :
Encontrar a, b, c, e, asíntotas y su respectiva
grafica de la hipérbola 9x2 – 4y2 = 36
Sol.
9x2 - 4y2 = 36
36
y2
4
x2
9 = 1
a2 b2
Entonces :
centro en el origen (0, 0)
a = 3 b = 2 c =
c = a2 + b2
c = 9 + 4
13
Excentricidad:
e = c
a
e = 13
2

14. Gráfica:
y = ± b
x
a
Asintotas
= ± 3
y x
2
F2 V1 FV2 1
Para graficar:
•Colocamos el centro (0, 0)
•Colocamos los vértices
•Colocamos los focos
•Trazamos el rectángulo
•Trazamos las asintotas
•Trazamos la hiperbola