Tema: Aplicación de las Derivadas: Economía. Asignatura: Cálculo Diferencial e Integral. Universidad Politécnica de Victoria. 2013

1. Aplicaciones de lasAplicaciones de las
Derivadas: EconomíaDerivadas: Economía
Jasso Martínez Luis GerardoJasso Martínez Luis Gerardo
Jasso Vargas AntonioJasso Vargas Antonio
Reta López Juan AlfonsoReta López Juan Alfonso
Sánchez García Daniela CarolinaSánchez García Daniela Carolina

2. IntroducciónIntroducción
• Las derivadas son útiles en economía,Las derivadas son útiles en economía,
psicología, medicina, administración, ingeniería,psicología, medicina, administración, ingeniería,
electricidad, electrónica, termodinámica,electricidad, electrónica, termodinámica,
mecánica, biología, etc.mecánica, biología, etc.
• Se utilizan para la optimización de recursosSe utilizan para la optimización de recursos
para tratar de ocupar el mínimo espacio, tiempopara tratar de ocupar el mínimo espacio, tiempo
o materiales en algo o maximizar su espacio.o materiales en algo o maximizar su espacio.

3. Definiciones ClaveDefiniciones Clave
DerivadaDerivada
La derivada es el resultado de un límite yLa derivada es el resultado de un límite y
representa la pendiente de la recta tangente a larepresenta la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de la función en un punto es decir:gráfica de la función en un punto es decir:

4. EconomíaEconomía
Estudia la manera de funcionar los recursos,Estudia la manera de funcionar los recursos,
la creación de riqueza y la producción de bienesla creación de riqueza y la producción de bienes
y servicios.y servicios.
Definiciones ClaveDefiniciones Clave

5. En economía se utilizan las derivadasEn economía se utilizan las derivadas
para el calculo de costos máximos o mínimos,para el calculo de costos máximos o mínimos,
también para la búsqueda de la optimización detambién para la búsqueda de la optimización de
gastos sujeta a restricciones se utiliza lagastos sujeta a restricciones se utiliza la
derivación de las funciones.derivación de las funciones.
Las derivadas en la economía pueden tenerLas derivadas en la economía pueden tener
muchísimas aplicaciones. Estas son unamuchísimas aplicaciones. Estas son una
herramienta debido a que su naturaleza permiteherramienta debido a que su naturaleza permite
realizar cálculos marginales: costo, ingreso,realizar cálculos marginales: costo, ingreso,
beneficio o producción.beneficio o producción.
Definiciones ClaveDefiniciones Clave

6. Costos MarginalesCostos Marginales
• Son las variaciónes en el costo total, ante elSon las variaciónes en el costo total, ante el
aumento de una unidad en la cantidadaumento de una unidad en la cantidad
producida, es decir, es el costo de producir unaproducida, es decir, es el costo de producir una
unidad adicional.unidad adicional.
Definiciones ClaveDefiniciones Clave

7. EjemplosEjemplos
Aplicación de las derivadas: Economía.Aplicación de las derivadas: Economía.

8. GananciasGanancias
Si x es el numero de Unidades; siendo R(x) el Ingreso Total ; c((x),Si x es el numero de Unidades; siendo R(x) el Ingreso Total ; c((x),
el costo total; la ganancia entonces es:el costo total; la ganancia entonces es:
G(x) = R(x) – C(x)G(x) = R(x) – C(x)
Para maximizar la Ganancia de acuerdo a técnicas conocidas sePara maximizar la Ganancia de acuerdo a técnicas conocidas se
debe derivar e igualar a cero esto significa :debe derivar e igualar a cero esto significa :
G’ (x) = R’(x) – C’(x) = 0G’ (x) = R’(x) – C’(x) = 0
 r’(x) = C’(x)r’(x) = C’(x)
Entonces en el máximo de la Ganancia el ingreso Marginal, debeEntonces en el máximo de la Ganancia el ingreso Marginal, debe
ser igual al Costo Marginal.ser igual al Costo Marginal.

9. Ejemplo 1Ejemplo 1
Hallar la ganancia Máxima que se obtiene con determinado bien cuyaHallar la ganancia Máxima que se obtiene con determinado bien cuya
ecuación de Costo total es: C(x) = 20 + 14x ; La Demanda que posee elecuación de Costo total es: C(x) = 20 + 14x ; La Demanda que posee el
bien es: y= 90-2xbien es: y= 90-2x
El costo total C(xEl costo total C(x) = 20 + 14x) = 20 + 14x
La Demanda yLa Demanda y = 90-2x= 90-2x
El ingreso Total: R(x) xyEl ingreso Total: R(x) xy = x(90-2x)= x(90-2x)
La Ganancia: G(x)La Ganancia: G(x) = R(x) – C(x)= R(x) – C(x)
= x(90-2x) – (20 + 14 x)= x(90-2x) – (20 + 14 x)
= -2x^2 +76x – 20= -2x^2 +76x – 20
Maximizando G’(x)Maximizando G’(x) = -4x + 76 = 0= -4x + 76 = 0  x = 19x = 19
GMax. = 2*19^2 + 76*19 – 20 = 702GMax. = 2*19^2 + 76*19 – 20 = 702

10. Ejemplo 2Ejemplo 2
Un propietario de 40 departamentos(dep.) puede alquilarlos a 100 $ c/u,Un propietario de 40 departamentos(dep.) puede alquilarlos a 100 $ c/u,
sin embargo observa que puede incrementar en 5$ el alquiler por cada vezsin embargo observa que puede incrementar en 5$ el alquiler por cada vez
que alquila un Departamento menos. ¿ cuantos Departamentos debeque alquila un Departamento menos. ¿ cuantos Departamentos debe
alquilar para un máximo ingreso?alquilar para un máximo ingreso?
• Nº Total Dep. : 40Nº Total Dep. : 40
• Nº Dep. Alquilados : xNº Dep. Alquilados : x
• Nº Dep. no alquilados: uNº Dep. no alquilados: u
• Alquiler de 1 dep. originalmente : 100$Alquiler de 1 dep. originalmente : 100$
• Incremento por 1 Dep. no alquilado : 5$Incremento por 1 Dep. no alquilado : 5$
• Ingreso por u Dep. no alquilados: 5u$Ingreso por u Dep. no alquilados: 5u$
• Ingreso por alquiler de 1 DEp. : 100 + 5uIngreso por alquiler de 1 DEp. : 100 + 5u
• Ingreso por alquiler de x Dep. : x(100+5u)Ingreso por alquiler de x Dep. : x(100+5u)

11. Reemplazando la ecuación de ingreso es:Reemplazando la ecuación de ingreso es:
R = x((100+5(40-x))R = x((100+5(40-x))
= -5x^2 + 300x= -5x^2 + 300x
R’ = -10x + 300 = 0R’ = -10x + 300 = 0  x = 30x = 30
Rmax.Rmax. = -5*30^2 + 300*30 = 4500$= -5*30^2 + 300*30 = 4500$

12. Ejemplo 3Ejemplo 3
El costo de unidades monetarias en el costoEl costo de unidades monetarias en el costo
total de fabricación de x relojes, esta dado portotal de fabricación de x relojes, esta dado por
C(x) = 1500 + 3x + x^2 .C(x) = 1500 + 3x + x^2 .
Obtenga:Obtenga:
a)a)La función de costo marginal.La función de costo marginal.
b)b)El costo marginal cuando x=40El costo marginal cuando x=40
c)c) El costo real de fabricación del relojEl costo real de fabricación del reloj
cuadragésimo primero.cuadragésimo primero.

13. La función del costo de fabricación de x reloj es:La función del costo de fabricación de x reloj es:
C(x) = 1500 + 3x + x^2C(x) = 1500 + 3x + x^2
La derivada de la función del costo marginal, de tal modo que:La derivada de la función del costo marginal, de tal modo que:
a)a)C’(x) = 3 + 2xC’(x) = 3 + 2x
b)b)C’(40) = 3 + 2(40) = 3 + 80 = 83C’(40) = 3 + 2(40) = 3 + 80 = 83
c)c)C(41) = 1500 + 3(41) + (41) ^2 = 1500 + 123 + 1681 = 3304C(41) = 1500 + 3(41) + (41) ^2 = 1500 + 123 + 1681 = 3304
C(40) = 1500 + 3(40) + (40) ^2 = 1500 + 120 + 1600 = 3220C(40) = 1500 + 3(40) + (40) ^2 = 1500 + 120 + 1600 = 3220
C(41) – C(40) = 3304 – 3220 = 84C(41) – C(40) = 3304 – 3220 = 84

14. ConclusionesConclusiones
Las derivadas aunque no lo parezcan sonLas derivadas aunque no lo parezcan son
importantes en la vida cotidiana y laboral y aimportantes en la vida cotidiana y laboral y a
veces uno no lo sabe pero las aplicamos aveces uno no lo sabe pero las aplicamos a
diario.diario.
Cualquier cambio lo puedes representar porCualquier cambio lo puedes representar por
una derivada.una derivada.

15. Bibliografía.Bibliografía.
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vada_de_una_funcion/Derivada_de_una_funcion.htmvada_de_una_funcion/Derivada_de_una_funcion.htm
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EJsbvteaolkiQ1qFgs/edit?hl=enEJsbvteaolkiQ1qFgs/edit?hl=en
Zona EconómicaZona Económica. (2011). Recuperado el 18 de Junio de 2013, de. (2011). Recuperado el 18 de Junio de 2013, de
http://www.zonaeconomica.com/costo-marginalhttp://www.zonaeconomica.com/costo-marginal