2. Analíticamente podemos ver que si a es
positivo, es decir esta a la derecha del
cero, entonces |a| = a y si está a la
izquierda del origen, es decir si a es
negativo, entonces |a| = −a.
Formalmente, el valor
absoluto o módulo de todo número
real |a| está definido por:
3. Cualquier número a tiene su
representación en la recta real. El valor
absoluto de un número representa la
distancia desde ese número al origen.
Observe en el dibujo que la distancia del 6
al origen es 6 unidades, igualmente la
distancia del punto −6 al origen es 6. En
notación, esto es |−6| = 6.
4. En general, el valor absoluto de la
diferencia de dos números reales |a −
b| es la distancia entre ellos.
Ejemplo
5. El valor absoluto a una cantidad positiva la deja
igual y a una cantidad negativa le cambia el
signo.
Si x > 2 entonces | x – 2| = x – 2, pues x − 2
> 0. Dicho de otra manera, si la expresión a la
que le estamos tomando valor absoluto es de
signo positivo, el valor absoluto la deja igual.
Si x < 2 entonces |x – 2| = – (x – 2), pues x
− 2 < 0 . Dicho de otro modo, si la expresión a
la que le estamos tomando valor absoluto es de
signo negativo, el valor absoluto la cambia de
signo.
6. PROPIEDADES DE MODULOS
No Negatividad: Establece que el valor absoluto de un número
nunca puede ser negativo.
| x |= | -x | ≥ 0
Definición Positiva: De acuerdo a esta simple propiedad, si el
valor del módulo de un número real x es 0, entonces el valor
absoluto de x es 0 y vice-versa.
| x | = 0 x = 0
Propiedad Multiplicativa: Esta significa que el módulo de un
producto de dos números es siempre igual al producto de los
módulos de ambos números tomados por separado.
| x.y| = | x | | y |
Propiedad de la Suma : En concordancia con la propiedad
multiplicativa, establece que el módulo del valor de la suma de
dos números es siempre igual a la suma por separado del módulo
de ambos números.
| x + y| ≤ | x | + | y |
Propiedad de la Resta: El modulo de la diferencia de dos números
reales es igual o mayor que la diferencia de los módulos de esos
números.
| x - y| ≥ | x | -| y |
7. deberíamos
considerar las dos
posibilidades de
signo. Es decir
hay dos
alternativas:
Ecuaciones con Modulo o Valor absoluto
Si x es una incógnita en la expresión |x −
3|, entonces no sabemos si x − 3 es
positivo o negativo. Ahora bien, si
tenemos la ecuación:
|x − 3| = 5
x − 3 = 5 x − 3 = −5
8. Resolver una ecuación con valor absoluto
cuando el valor absoluto se presenta en el
lado izquierdo, lo dividimos entre 3 ambos
miembros de la ecuación:
9. De esta manera la ecuación dada es equivalente a:
|5 − 4x| = 3
Ahora, esta ecuación en valor absoluto es
equivalente a
5 − 4x = 3 o bien 5 − 4x = −3
Despejando x:
Si 5 − 4x = 3
−4x = 3 − 5
−4x = −2 /−1
4x = 2
X=1/2
Si 5 − 4x = −3
−4x = −3 − 5
−4x = −8 /−1
4x = 8
X=2
10. El conjunto solución de nuestra
ecuación 3 |5 − 4x| = 9 a través de la
notación de conjunto como:
GRAFICO: Se grafica marcando con un
punto las dos soluciones en la recta. Ej:
11. INNECUACIONES
Hay que encontrar el conjunto de todos los
números reales que cumplan con esa
condición:
|1 - 5x| <= 9
Para eso hay que resolver la inecuación con
módulo. Una de las formas de resolver una
inecuación con módulo es usando ciertas
propiedades:
1) |x| > a ---> x < - a ó x > a (siendo
"a" un número positivo)
2) |x| < a ---> -a < x < a
12. Por ejemplo:
1) |x - 3| > 1
x - 3 < - 1 ó x - 3 > 1
x - 3 < - 1 ⇔ x < - 1 + 3 ⇔ x < 2
x - 3 > 1 ⇔ x > 1 + 3 ⇔ x > 4
x ∈ (-∞ , 2) ∪ (4 , ∞)
2) |x - 3| < 1
1 < x - 3 < 1
- 1 + 3 < x < 1 + 3
2 < x < 4
x ∈ (2 ,4)
