1. Polinomios
Grado relativo (G.R.)
Prof. Lucas Tapia Lucero
El grado relativo de un polinomio está representado por el Mayor Exponente de dicha letra o variable.
Ejemplo (1) Ejemplo (2)
• Dado el polinomio: • Dado el polinomio:
F(x;y;z)  6x 2y 3z  9x3y 4 z6  15xy 5z3
P(x;y) = 6x5y 2  9x 4 y3  7x3y 4
- Grado relativo con respecto a la variable "x" es: 3
- Grado relativo con respecto a la variable "x" es: 5 - Grado relativo con respecto a la variable "y" es: 5
- Grado relativo con respecto a la variable "y" es: 4 - Grado relativo con respecto a la variable "z" es: 6
Grado absoluto (G.A.)
El grado absoluto de un polinomio está representado por el monomio de mayor grado.
Ejercicio 1 En el polinomio: P( x;y)  xm 3yn1  xm  2yn1  xm 1yn2 . Calcular: "m" y "n" ; si el grado con
respecto a "y" es 4 y el grado absoluto del polinomio es 12.
Resolución:
• Del enunciado:
P(x;y)  xm 3yn1  xm 2yn1  xm 1yn2
* ) G.R.(y): n + 2 = 4 n = 2
Monomio de grado: Monomio de grado: Monomio de grado: **) G.A. : m + n + 4 = 12
m+n+4 m+n+3 m+n+3 m + 2 + 4 = 12  m = 6
Ejercicios Resueltos Sobre polinomios
Ejercicio 1 Calcular: "m" y "n" para que el monomio: x 4(m+n) y 3m  2n sea de GA = 80 y de grado relativo a "y" 20.
Resolución:
• De acuerdo al enunciado, planteamos las ecuaciones: Sumamos miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2):
3m  2n  20
G.R. (y) : 3m - 2n = 20 . . . . . (1)
7m  2n  80
G.A.: 4(m + n) + 3m - 2n = 80  7m + 2n = 80 . . . (2) . M. A. M. 10m = 100   m = 10
Reemplazamos el valor de m = 10 en la expresión (1): 3(10) - 2n = 20 30 - 2n = 20  n = 5
Ejercicio 2 Hallar el coeficiente del monomio: Ejercicio 3 En el polinomio:
m n  2 m  3
1
n P( x;y)  4x y  7xm n5ym 4  13xm n6 ym  2 se ve-
-
9    x3m2n y 5mn ; si su GA es 10 y el GR(x) es 7.
m
 rifica que la diferencia entre los grados relativos a "x" e
 3
"y" es 5 y además que el menor exponente de "y" es 3.
Resolución: Hallar el grado absoluto del polinomio.
• De acuerdo al enunciado, planteamos las ecuaciones:
Resolución:
G.R. (x) : 3m + 2n = 7 . . . . . (1) • G.R.(x): m +n + 5 • G.R.(y): m + 2
G.A. : 3m + 2n + 5m - n = 10 * Del enunciado, planteamos la ecuación;
8m + n = 10  n = 10 - 8m . . . . . (2)
(m + n + 5) - (m + 2) = 5 n + 3 = 5; n=2
Reemplazamos la expresión (2) en (1):
3m + 2 (10 - 8m) = 7  3m + 20 - 16m = 7 ** El menor exponente de "y" es 3, o sea: m - 4 = 3
13 = 13m  m = 1  m=7
Ahora en (2): n = 10 - 8(1)  n=2 Luego, calculamos el GA del polinomio, veamos:
n Grado absoluto:
n  1
Luego, Coeficiente del monomio = 9    , (n + m + 5) + (m - 4) = 2m + n + 1
 3
reemplazando el valor de m = 1 y n = 2, obtenemos: 2(7) + 2 + 1 = 17
 Grado absoluto del polinomio es 17 Rpta.
2
1
1  1
Coef. del monomio = 9     9    1
 3  9

2. Ejercicios de reforzamiento Sobre polinomios
GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Ejercicio 13 Determinar "n" de modo que el
Ejercicio 1 Hallar "m" si el siguiente monomio
xn1 . xn
es de segundo grado: 53 3 xm  4 monomio: M(x)  3 sea de primer grado.
6
x5n4
A) 6 B) 3 C) 5 D) 4 E) 2
A) 1 B) 5 C) 8 D) 6 E) 4
Ejercicio 2 Calcular "a" si el término 0,58x3a y 2 ,
Ejercicio 14 Calcular los valores de "m" y "n" en
es de grado 11.
P(x, y)  x y  xm 6 yn 4 ; sabiendo que el grado
m  5 n 1
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 relativo a "y" es 7 y el grado absoluto es 20. Dar como
Ejercicio 3 Obtener: "mn", si se sabe que el si- respuesta: 2m + 3n.
guiente monomio es de noveno grado respecto a "y", y
A) 24 B) 48 C) 32 D) 64 E) 40
1
de sexto grado respecto a "x": - 2xm 1yn7 Ejercicio 15 El grado absoluto de: 2x3n1y 2n9 es
4
igual a 15. ¿Cuánto vale el grado relativo a "y"?
A) 10 B) 3 C) 14 D) 8 E) 21
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Ejercicio 4 Calcular el coeficiente del siguiente
monomio, sabiendo que es de octavo grado. Ejercicio 16 Calcular: (m + n) del monomio:
M(x,y)  15a x 2 a 1 2
y x1m . y 2-n
; sabiendo que su grado absoluto es 10 y su
x1n . y 2-m
A) 375 B) 175 C) 215 D) 225 E) 255
grado relativo a "y" es 4.
Ejercicio 5 Proporcionar "m" si el siguiente
polinomio es de grado absoluto igual a 10. A) -2 B) 6 C) 1 D) -1 E) 3
P( x)  5  8xm  4  6xm 3 . Ejercicio 17 Hallar el coeficiente del monomio:
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3 xn-2 .
7
x3n
M(x)  2n . 3 , si es de 2º grado.
4
Ejercicio 6 Si: M(x,y)  5a2 . 4
x16 . 5 y 15 , ¿GA? xn1
A) 2 B) 6 C) 10 D) 14 E) 18
A) 2 B) 3 C) 4 D) 7 E) 9
Ejercicio 18 ¿Cuántos términos tiene el siguien-
Ejercicio 7 Hallar el coeficiente del siguiente
te polinomio?
k
monomio: P( x)  2nn . xnk , si es de grado tres. P(x)  x 2n1  x 2n 2  x2n3 . . . + x3  x2  x  1
A) 2 B) k C) 9 D) 27 E) 54 A) 2n B) 2n+1 C) 3n D) 2n - 1 E) n
Ejercicio 8 ¿En cuánto excede el grado relativo Ejercicio 19 Si:
de "x" al grado relativo de "y" en:
3 m n1 16n
(2x 2y3  5x6 y 2 )(3x4 y  4x5y 4 )? P(x,y)  5xm  x y y es un polinomio
4
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 homogéneo, hallar el valor de: "m+n"
Ejercicio 9 El grado absoluto de: 2x3n1y 2n9 es A) 8 B) 10 C) 7 D) 16 E) 6
igual a 15. ¿Cuánto vale el grado relativo a "y"? Ejercicio 20 Calcular la suma de coeficientes
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 del polinomio: Q(x, y)  nxn5  3xnym  mxm 3 , si
es homogéneo.
Ejercicio 10 Hallar "P" en: 5xp 2y 2p 1z 3p 12 de
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
modo que su grado sea: G = 5p - 6
Ejercicio 21 Si el polinomio:
A) 8 B) 9 C) 7 D) 10 E) 11
P(x) = (a - 4)x5 + 3x4 + ax5 - bx4 es idénticamente
Ejercicio 11 Si: G.R.(x)=7  G.R.(y)=8. nulo, señalar (a + b).
P(x, y)  2xm 1  6xm yn  8yn 2 ¿Cuál es el grado de
A) 4 B) 5 C) 15 D) 20 E) 25
P(x,y) ?
Ejercicio 23 Si:
A) 10 B) 12 C) 9 D) 14 E) 11
2x  5x  1  (Ax  B)( x  1)  C(x2  x  1) , calcular
2
Ejercicio 12 Calcular "mn", si el polinomio: el valor de: "A + B - C".
P( x, y)  4xm 1yn-2  6xm  2yn 2  xm 3yn 2 es tal que:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
G.R.(y) = 8 ; G.A. = 20
A) 9 B) 19 C) 80 D) 81 E) 90 Institución Educativa Jorge Chávez