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   Estudió ingeniería en la Universidad    Politécnica de Lvov, donde impartió clases    como tutor para financiarse. Ter...
   En 1919 se creo la sociedad matemática de    Cracovia (que un año más tarde sería polaca) la    cual fue presidida por...
   En 1929 él y Steinhause crearon una revista    llamada “Studia Mathematica” debido a las    dificultades de publicació...
   En 1927 Kuratowski comenzó a trabajar en Lvov    junto a Banach, junto con el cual desarrollo    algunos trabajos. Kur...
   En 1941 empezó a pasarlo realmente    mal, con la invasión nazi se vio obligado a    alimentar a piojos para sobrevivi...
Stephan Banach fue un gran genio quehizo numerosos avances en el campo delanálisis funcional. La mayor parte de susartícul...
De todas estas quizás la más relevante fue Teoría delas operaciones lineales, en la que demuestra una infinitudde teoremas...
Un espacio de Banach es un espacio vectorialnormado y completo Ejemplos:  La recta real con la norma que proporciona el v...
Un espacio de Hilbert es completo conrespecto a la norma asociada a su productointerior.    Por tanto todo espacio de Hilb...
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   Esto es una paradoja entonces seguro que    contiene alguna falacia matemática.   Si fuese cierto yo podría hacerlo e...
   Métodos numéricos      Secante      Newton-Raphson      Aproximaciones sucesivas   Ecuaciones lineales      Jacob...
   Crear una función de densidad conocidos una    sucesión de momentos.   Un uso frecuente es en los problemas de    teo...
   Una de sus aplicaciones más importantes es    la de demostrar que si tenemos una función    continua entonces su serie...
Si X es un espacio vectorial sobre uncuerpo K, una norma sobre X es una funcióntal que a cada x lo aplica en ǁxǁ (su norma...
Un espacio se dice completo si todasucesión de Cauchy es convergente.   La importancia de los espacios completosradica en ...
Un funcional sublineal es un espaciovectorial V sobre un cuerpo K (que puede serel de los números reales o complejos) es u...
Un subconjunto de X, se dice que es desegunda categoría si no es una uniónnumerable de subconjuntos esparcidos
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   Que sea una paradoja no implica que en su    demostración halla algún tipo de    error, truco..etc. De hecho su demost...
   El hecho de que no pueda aplicarse en el    mundo real se debe a que uno de los trozos    elegidos es un punto. Y como...
   Pensando en el proceso no podría haberse    duplicado el volumen en los movimientos    rígidos, ni en los giros, puest...
   En primer lugar hacer una aclaración y es que    obviamente 8 fue el número mínimo de    trozos con el que lo consigui...
El método se define por  la relación de  recurrencia:Como se puede ver, este método necesitará dos aproximaciones iniciale...
   El método se define por    la relación de recurrencia:Su convergencia global noestá garantizada. La únicamanera de alc...
 Supongamos la ecuación:  f(x)=0donde f(x) es una funcióncontinua que se deseadeterminar.Se estima el valor  aproximado d...
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   Se parte de una aproximación inicial y se repite el    proceso hasta llegar a una solución con un margen de    error t...
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  1. 1.  Nació el 31 de marzo de 1892 en Cracovia. Se piensa que Banach es el apellido de una lavandera que se hizo cargo del muchacho. En 1902 comenzo su educación en un “gimnasio” de Cracovia. Allí conoció a Witold Wilkosz. Se dice de ellos:  “Entre ellos no había problema matemático al que no pudiesen hacer frente con rapidez. Así como Banach destacaba mas en matemáticas, Wilkosz lo hacía en física”.
  2. 2.  Estudió ingeniería en la Universidad Politécnica de Lvov, donde impartió clases como tutor para financiarse. Termino la carrera en 1914. En la primavera de 1916 conoció a Hugo Steinhaus, que se intereso por él y Nikodym Otto, al oírlos hablar de la integral de Lebesque . Diría más tarde de él:  “Un intelecto excepcional, descubrimientos excepcionales… le dio a la ciencia polaca más que nadie”  “Banach fue mi mayor descubrimiento científico.”
  3. 3.  En 1919 se creo la sociedad matemática de Cracovia (que un año más tarde sería polaca) la cual fue presidida por Zaremba y entre sus miembros ya se encuentran Banach y Steinhause. En 1920 contrajo matrimonio con Lucja Braus. Empezó a trabajar en la universidad como becario de Lomnicki, quien pocos años después corrigió su tesis doctoral, sobre teoría de la medida. En 1922 obtuvo el titulo de doctor y la habilitación para la docencia. En 1924 trabajaba ya a tiempo completo como profesor en Paris.
  4. 4.  En 1929 él y Steinhause crearon una revista llamada “Studia Mathematica” debido a las dificultades de publicación por el tema de la guerra. Su objetivo era centrarse en la investigación en el análisis funcional y otros temas relacionados. En 1931 nace el “Mathematical Monographs” dirigido por Banach y Steinhause desde Lvov y autores como Knaster, Kuratowski, Mazurkiewicz, y Sierpinski desde Varsovia.
  5. 5.  En 1927 Kuratowski comenzó a trabajar en Lvov junto a Banach, junto con el cual desarrollo algunos trabajos. Kuratowski dijo de él:  “Era difícil para sobrevivir o beber más que Banach durante estas sesiones. Hablamos de problemas propuestos allí mismo, a menudo sin solución evidente, incluso después de varias horas de pensar. Al día siguiente era Banach el que aparecía con varias hojas de papel que contienen las pruebas que había realizado.” En 1939 Banach fue elegido Presidente de la Sociedad Matematica Polaca. Puesto en el que se le permitió seguir tras la invasión Rusa.
  6. 6.  En 1941 empezó a pasarlo realmente mal, con la invasión nazi se vio obligado a alimentar a piojos para sobrevivir, es decir siendo un sujeto de practicas sobre algunas enfermedades. En 1945 cuando iba a ocupar su cátedra en la universidad de Cracovia fallece por un cáncer de pulmón.
  7. 7. Stephan Banach fue un gran genio quehizo numerosos avances en el campo delanálisis funcional. La mayor parte de susartículos se publicaron en el “StudiaMathematica” que continua publicándoseactualmente con más de 200 ediciones. Entre sus obras más importantes seencuentran:◦ Cálculo diferencial e integral, vol 1 (1929) y vol 2 (1930)◦ Teoría de las operaciones lineales (1932)◦ Mecánica para las escuelas académicas (1938)
  8. 8. De todas estas quizás la más relevante fue Teoría delas operaciones lineales, en la que demuestra una infinitudde teoremas sobre el análisis funcional. Cabe destacar sinduda que es la primera monografía sobre el tema. Además de destacar en este campo también hacegrandes contribuciones en teoría de la medida, teoría deconjuntos, teoremas de la proyección ortogonal ybastantes otras ramas.Quizás los resultados más importantes de Banach son:  Espacios de Banach.  Teorema de Hanh-Banach.  Teorema de Banach-Steinhaus.  Teorema del punto fijo de Banach  Paradoja de Banach-Tarski.
  9. 9. Un espacio de Banach es un espacio vectorialnormado y completo Ejemplos:  La recta real con la norma que proporciona el valor absoluto  Los espacios euclidianos sobre un cuerpo K, con norma ǁxǁ=√(∑ǀxiǀ^2)  El espacio de todas las funciones continuas f:[a,b]→K definidas en un intervalo compacto (cerrado y acotado) es un espacio de Banach si definimos la norma de f como ǁfǁ=sup{ǀf(x) : x € [a.b]ǀ}
  10. 10. Un espacio de Hilbert es completo conrespecto a la norma asociada a su productointerior. Por tanto todo espacio de Hilbert es unespacio de Banach. Si la norma del espacio de Banach verificauna condición diremos que es un espacio deHilbert.  ǁu+vǁ^2 + ǁu-vǁ^2 = 2(ǁuǁ^2 + ǁvǁ^2)
  11. 11. Si p:V→K es un operador sublineal y f:S→Kes una función lineal definida en S unsubespacio vectorial de V que esta acotadopor p, esto es:  ǀf(x)ǀ≤p(x) ɏx€S Entonces existe una extensión linealg: V→K de f a todo el espacio V, esto es queexiste una función lineal g tal que.  g(x)=f(x) ɏx€S ˄ ǀg(x)ǀ≤p(x) ɏx€V
  12. 12. Sea Ƭ={Ti : i€I} c L(X,Y) una familia deoperadores lineales y continuos de unespacio de Banach X en un espacio normadoY. Tomamos el conjunto de puntos de Xdonde Ƭ esta acotada puntualmente y lonotamos como A={x€X : sup {ǁTi(x)ǁ:i€I }≤∞}.
  13. 13. Entonces los siguientes resultados sonequivalentes:◦ A es de segunda categoría en X.◦ Si A= X, es decir, Ƭ esta puntualmente acotada en todo punto del espacio X. Por lo que sup {ǁTi(x)ǁ : i € I }≤∞ ɏx X. €◦ Ƭ esta uniformemente acotada en la esfera unidad de X . sup {ǁTi(x)ǁ : i € I }≤∞
  14. 14. Sea (E,d) un espacio métrico completo ysea f : E →E una función contractiva.Entonces existe un único punto a de E fijo porf, es decir tal que f (a) = a.
  15. 15. Dado a0 en E, la sucesión {an} definidamediante la expresión:  an+1 := f (an) ɏn€N La distancia entre a y an tiende hacia 0. Por ser contractiva verifica que:  d(f(x),f(y)) ≤ α d (x,y) ɏx,y α€ [0,1[Podemos acotar la distancia de la forma:  d(ai,a)≤ αɏ/( -α) d (a0,a) 1
  16. 16. Esta paradoja consiste en dividir unaesfera en 8 trozos. De forma que tras unaserie de giros y movimientos rígidosconsigamos 2 esferas del mismo radio yvolumen que la original.
  17. 17.  Esto es una paradoja entonces seguro que contiene alguna falacia matemática. Si fuese cierto yo podría hacerlo en el mundo fisico y duplicar la materia. Estas esferas no doblarían el volumen de la original. Entonces puedo dividirla solo en 8 trozos para formar dos esferas.
  18. 18.  Métodos numéricos  Secante  Newton-Raphson  Aproximaciones sucesivas Ecuaciones lineales  Jacobi  Gauss-Seidel Ecuaciones integrales Ecuaciones diferenciales ordinarias Ecuaciones en derivadas parciales Dinámica compleja Problema de Sturm-Liouville
  19. 19.  Crear una función de densidad conocidos una sucesión de momentos. Un uso frecuente es en los problemas de teoría del control de Bang-Bang donde tenemos ecuaciones diferenciales con un controlador. También tiene aplicaciones en economía para calcular máximos y mínimos de un polígono compacto , que representa distintas posibilidades de inversión con respecto a unas condiciones.
  20. 20.  Una de sus aplicaciones más importantes es la de demostrar que si tenemos una función continua entonces su serie de fourier no tiene porque converger puntualmente. También el criterio de Stolz de sucesiones es un corolario de este Teorema.
  21. 21. Si X es un espacio vectorial sobre uncuerpo K, una norma sobre X es una funcióntal que a cada x lo aplica en ǁxǁ (su norma) yesta función verifica que:  ǁxǁ=0→x=0  ǁλxǁ=ǀλǀ ǁxǁ (λ€ K, x € X)  ǁx+yǁ≤ǁxǁ+ǁyǁ (x,y €K) Entonces llamamos espacio normado alpar (X,ǁ.ǁ)
  22. 22. Un espacio se dice completo si todasucesión de Cauchy es convergente. La importancia de los espacios completosradica en que, en ellos, es mucho más fácildemostrar que una sucesión es deCauchy, que demostrar que la sucesión esconvergente, al no requerir el valor al queconverge.
  23. 23. Un funcional sublineal es un espaciovectorial V sobre un cuerpo K (que puede serel de los números reales o complejos) es unafunción p:V→R que verifica que:  p(ax+by)≤ǀaǀp(x)+ ǀbǀp(y) ɏx,y€ V ) ɏa,b€ K Esto no debe parecernos algoabstracto, puesto que, cualquier norma oseminorma es un ejemplo de funciónsublineal.
  24. 24. Un subconjunto de X, se dice que es desegunda categoría si no es una uniónnumerable de subconjuntos esparcidos
  25. 25. Sean (E,d) y (F,r) espacios métricos. Unafunción f : E→F es contractiva si existe un α€[0,1[ tal que  r( f (x),f (y)) ≤ α d(x,y) ɏx,y € E Es decir buscamos una funciónlipschitziana con constante menor que 1.
  26. 26.  Que sea una paradoja no implica que en su demostración halla algún tipo de error, truco..etc. De hecho su demostración es completamente correcta. Se llama paradoja porque contradice nuestro sentido geométrico.
  27. 27.  El hecho de que no pueda aplicarse en el mundo real se debe a que uno de los trozos elegidos es un punto. Y como todos sabemos un punto es una figura geométrica adimensional que no tiene longitud, ni área ni volumen. Por ser físicamente imposible viene el hecho de tomarlo como una paradoja.
  28. 28.  Pensando en el proceso no podría haberse duplicado el volumen en los movimientos rígidos, ni en los giros, puesto que conservan volúmenes. ¿Encontramos contradicción ahora? Volvemos a ver que no y para ello nos basamos en un aspecto de la teoría de la medida, afirmando que nuestros trozos son no-medibles, entonces no podemos asignarles un volumen. La demostración de que estos trozos existen se deben al axioma de elección.
  29. 29.  En primer lugar hacer una aclaración y es que obviamente 8 fue el número mínimo de trozos con el que lo consiguieron. Poco tiempo después se demuestra que es posible hacerlo con 5 partes Y finalmente se concluye que con 4 partes es posible si no tomamos el punto central. Es decir, es imposible hacerlo con menos de 5 partes.
  30. 30. El método se define por la relación de recurrencia:Como se puede ver, este método necesitará dos aproximaciones iniciales de la raíz para poder inducir una pendiente inicial.
  31. 31.  El método se define por la relación de recurrencia:Su convergencia global noestá garantizada. La únicamanera de alcanzar laconvergencia es seleccionarun valor inicial losuficientemente cercano a laraíz buscada
  32. 32.  Supongamos la ecuación: f(x)=0donde f(x) es una funcióncontinua que se deseadeterminar.Se estima el valor aproximado de la raíz x0, y se sustituye en el segundo miembro de la ecuación para obtener x1.
  33. 33.  Método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo : La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema A de la siguiente forma: podemos reescribir dicha ecuación como:  Por la regla iterativa:
  34. 34.  Se parte de una aproximación inicial y se repite el proceso hasta llegar a una solución con un margen de error tan pequeño como se quiera. Se resuelven sistemas del tipo: donde: podemos escribir la fórmula de iteración del método como:

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