1. SEGUNDA
Alumno: _______________________________________________________________________________
Instrucciones
en blanco para trabajar
resolver
este cuadernillo. No olvide escribir su nombre en tod
HÁGALO AHORA
leyendas.
Recuerde que e
formulario resumen para consulta.
Profesor:
SEGUNDA EVALUACIÓN
Alumno: _______________________________________________________________________________
Instrucciones
en blanco para trabajar
resolver. Escriba sus respuestas
este cuadernillo. No olvide escribir su nombre en tod
HÁGALO AHORA
leyendas. Salvo que se indique lo contrario
Recuerde que e
formulario resumen para consulta.
Estudiante
ESCUELA SUPERIOR
Profesor:
EVALUACIÓN
Alumno: _______________________________________________________________________________
Instrucciones: El presente
en blanco para trabajarlos. Asegúrese de que no le hace falta
. Escriba sus respuestas
este cuadernillo. No olvide escribir su nombre en tod
HÁGALO AHORA. Todos los gráficos y dibujos deben incluir las correspondientes
alvo que se indique lo contrario
Recuerde que este es un examen a libro cerrado, aunque
formulario resumen para consulta.
Estudiante
Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC
SCUELA SUPERIOR
SISTEMAS
ING. CARLOS SALAZAR LÓPEZ
ING. ALBERTO TAMA FRANCO
Alumno: _______________________________________________________________________________
presente examen consta de
los. Asegúrese de que no le hace falta
. Escriba sus respuestas dire
este cuadernillo. No olvide escribir su nombre en tod
. Todos los gráficos y dibujos deben incluir las correspondientes
alvo que se indique lo contrario
ste es un examen a libro cerrado, aunque
formulario resumen para consulta.
Resumen de Calificaciones
Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 20
SCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA
SISTEMAS LINEALES
ING. CARLOS SALAZAR LÓPEZ
ING. ALBERTO TAMA FRANCO
Alumno: _______________________________________________________________________________
examen consta de
los. Asegúrese de que no le hace falta
directamente en los espacios previst
este cuadernillo. No olvide escribir su nombre en tod
. Todos los gráficos y dibujos deben incluir las correspondientes
alvo que se indique lo contrario, todas sus respuestas deben ser razonadas
ste es un examen a libro cerrado, aunque
Resumen de Calificaciones
Examen
Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
2014 –2S
POLITÉCNICA
LINEALES
ING. CARLOS SALAZAR LÓPEZ
ING. ALBERTO TAMA FRANCO
Fecha:
Alumno: _______________________________________________________________________________
examen consta de 4 problemas
los. Asegúrese de que no le hace falta
ctamente en los espacios previst
este cuadernillo. No olvide escribir su nombre en todas y cada una de las páginas.
. Todos los gráficos y dibujos deben incluir las correspondientes
, todas sus respuestas deben ser razonadas
ste es un examen a libro cerrado, aunque
Resumen de Calificaciones
Deberes
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
DEL LITORAL
( )
( )
Fecha: jueves
Alumno: _______________________________________________________________________________
problemas y del correspondiente
los. Asegúrese de que no le hace falta ning
ctamente en los espacios previst
as y cada una de las páginas.
. Todos los gráficos y dibujos deben incluir las correspondientes
, todas sus respuestas deben ser razonadas
ste es un examen a libro cerrado, aunque el estudiante puede utilizar su
Resumen de Calificaciones
Lecciones
DEL LITORAL
jueves 19 de febrero
Alumno: _______________________________________________________________________________
y del correspondiente
ningún problema por
ctamente en los espacios previstos en las páginas de
as y cada una de las páginas.
. Todos los gráficos y dibujos deben incluir las correspondientes
, todas sus respuestas deben ser razonadas
udiante puede utilizar su
Lecciones
Total
Evaluación
19 de febrero del 2015
Alumno: _______________________________________________________________________________
y del correspondiente espacio
roblema por
os en las páginas de
as y cada una de las páginas.
. Todos los gráficos y dibujos deben incluir las correspondientes
, todas sus respuestas deben ser razonadas.
udiante puede utilizar su
Total Segunda
Evaluación
espacio
roblema por
os en las páginas de
as y cada una de las páginas.
. Todos los gráficos y dibujos deben incluir las correspondientes
.
udiante puede utilizar su

2. Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
Primer Tema (15 puntos):
Considerar la existencia de un sistema LTI-CT causal cuyo diagrama de polos y ceros es el
mostrado en el plano complejo-s de la siguiente figura. Conociendo el hecho de que su
respuesta de paso ( ) 1s t = para cuando t → ∞:
a) Determinar la respuesta de paso ( )s t del referido sistema.
b) El sistema es ¿BIBO estable o no? Justifique su respuesta de manera razonada.
××××××××
1.5
[ ]Re s σ=
[ ]Im s jω=
0.5
0.5−
1.5−
1.5− 0.5− 0.5 1.5
A partir del diagrama de polos y ceros en el plano complejo – s, se tendría que la función
de transferencia o función sistema sería de la forma:
( )
( )
1
1
2
k
H s
s s
=
 
+ + 
 
Para que la salida de dicho sistema LTI-CT sea la respuesta escalón ( )s t , su entrada o
excitación debe ser la señal escalón unitario, es decir:
( ) ( ) ( ) ( )
1
; Re 0x t t X s ROC s
s
µ= ⇒ = ⇒ >
( ) ( ) ( ) ( )
( )
1
1
2
k
Y s X s H s Y s
s s s
= ⇒ =
 
+ + 
 
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
1 lim lim lim lim 2
1 1
1 1
2 2
t s s s
k k
y t sY s s k
s s s s s
→∞ → → →
= = = = =
   
+ + + +   
   
( )
( )
( )
( )
1 1 1
1 12
2 1 2 1
2 2
k H s Y s
s s s s s
= ⇒ = ⇒ =
   
+ + + +   
   

3. Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
( ) 31 2
11
2
CC C
Y s
s s S
= + +
+ +
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
1 10
2 21
3 31/2
1
1 1 2
1 1
11
1/ 2 2 2
s
s
s
C s H s C
C s H s C Y s
s s s
C s H s C
=
=−
=−
= ⇒ =

= + ⇒ = ⇒ = + −
+ +
= + ⇒ = − 
( ) ( ){ } ( )1 1 1 1 2
11
2
s t Y s s t
s s s
− −
 
 
= ⇒ = + − 
+ +
 
L LL LL LL L
( ) ( ) ( ) ( )1/2
2t t
s t t e t e tµ µ µ− −
= + −
( ) ( ) ( )1/2
1 2t t
s t e e tµ− −
= + −
Toda vez que todos los polos del referido sistema se encuentran en el LHP, dicho sistema
es Asintóticamente Estable y por ende implica que es BIBO o EASA estable.

4. Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
Segundo Tema (30 puntos):
La representación espectral de una señal ( )x t es aquella que se muestra a continuación:
ω
( )X ω
11−
1
0
ω
( )X ωθ
1
1−
π
0
/2π
2−
2
π−
/2π−
Un estudiante de la materia Sistemas Lineales de la ESPOL ha obtenido 5 señales a partir de
la señal ( )x t , tal como se indica en la columna de la izquierda de la siguiente tabla. Las
representaciones espectrales, sus correspondientes magnitudes (M1 a M6) y fases (A1 a A6)
se esquematizan en la siguiente carilla. Determinar:
a) Cuál de esas representaciones espectrales es asociada con cada una de las referidas
señales y coloque en los respectivos casilleros la etiqueta que corresponda (por ejemplo:
M1 o A3). Notar que más de una señal podría tener una representación espectral con la
misma magnitud o fase.
b) La inversa de la transformada de Fourier de ( )X ω . Es decir ( )x t .
c) La energía contenida en la señal ( )x t .
Señal Magnitud Fase
( )dx t
dt
M5 A4
( ) ( )x t x t∗ M3 A2
2
x t
π 
− 
 
M1 A2
( )2x t M4 A3
( )2
x t M6 A1

5. Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
Representaciones espectrales

6. Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
Comenzaremos por denominar como ( )1X ω al espectro de magnitud de ( )X ω ; y así, para
encontrar la inversa de la Transformada de Fourier de aquella, se aplicará la propiedad de la
derivada para bajar el grado de ( )1X ω . Por lo cual se tendrá que:
ω
( )1X ω
11−
1
0
ω
( )1dX
d
ω
ω
1
1− 0
1
1−
( )
( ) ( )1 1
2 2
1 1 1
2 2
dX
p p
d
ω
ω ω
ω
= + − −
( )
( )1
1
dX
jt x t
d
ω
ω
↔ −
( )
1 1
2 2
1 1
2 2
1
j t j tsen t sen t
jt x t e e
t tπ π
−
− = −
( )
1 1
2 2
1
2
1
j t j tsen t
jt x t e e
tπ
−
 − = − − 
( ) ( )
21 1
2 21
21 12 2
2 2sen t sen t
x t sen t x t
t tπ π
= ⇒ =
Debido al espectro de fase de ( )x t , en el cual ( )
2X ω
π
θ ω= − , se tendría entonces que para
determinar ( )x t se debería efectuar un retardo temporal de
2
π
en la señal auxiliar ( )1x t ; con
lo cual, la señal ( )x t estaría dada por:
( ) 1
2
x t x t
π 
= − 
 
( )
2
2
1
2 2
2
2
sen t
x t
t
π
π
π
 
− 
 =
 
− 
 

7. Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
A continuación se procederá a determinar la energía contenida en la señal ( )x t , es decir:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1
2 2 2
1 0
1 1
1 1
2 2x t x t
E X d E d dω ω ω ω ω ω
π π
∞
−∞ −
 
= ⇒ = + + − + 
 
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
0 1
2 2
1 0
1
2 1 2 1
2x t
E d dω ω ω ω ω ω
π −
 
= + + + − + 
 
∫ ∫
( )
0 1
3 2 3 2
1 0
1
2 2
2 3 2 3 2x t
E
ω ω
ω ω
ω ω ω ω
ω ω
π
= =
=− =
    
 = + + + − +   
     
( )
0 1
3 3
2 2
1 0
1
2 3 3x t
E
ω ω
ω ω
ω ω
ω ω ω ω
π
= =
=− =
    
 = + + + − +   
     
( )
1 1 1
2 3 3x t
E
π
 
= +  
( )
1
3x t
E
π
=

8. Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
Tercer Tema (30 puntos):
Una señal de entrada ( ) 5x t senc tπ= es aplicada a un dispositivo cuadratizador, tal como se
muestra en la siguiente figura. La respuesta ( )v t del mencionado dispositivo es muestreada
mediante la utilización de un tren de impulsos ( )T tδ , cuyo periodo fundamental es [ ]0.1 seg .
Finalmente, la señal de salida ( )z t es aplicada a un filtro ideal pasabajo cuyo ancho de
banda es de [ ]5 Hz .
( )x t
( ) ( ) [ ]0 0; 0.1T
k
t t kT T segδ δ
∞
=−∞
= − =∑
[ ]5B
Filtro LPF
W Hz=
( )y t
( )z t
( )
2
( )v t
×
a) Determinar, esquematizar y etiquetar el espectro de Fourier de ( )v t . Es decir,
( )V vsω ω .
b) Determinar la expresión analítica de la señal ( )z t , como una función de ( )v t , mediante
series de Fourier Trigonométricas.
c) Determinar, esquematizar y etiquetar el espectro de Fourier de ( )y t . Es decir,
( )Y vsω ω .
( ) ( ) ( )2 5 5 1 5 5
5 5 25
sen t sen t sen t sen t
v t x t v t
t t t t
π π π π
π π π π
     
= = ⇒ =     
     
( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 5 5
1 1 1
25 2 50
v t V p p p pπ π π πω ω ω ω ω
π π
 
= = ∗ = ∗    
FFFF
Se procederá a evaluar la convolución de los dos pulsos, de altura unitaria y ancho 10π , de la
siguiente manera:
Primera Metodología.-
( ) ( )5 5p pπ πω ω∗ ( ) ( ) ( )5 5
1
50
V p pπ πω ω ω
π
= ∗  
5a π=
5b π=
1.0c =
1.0d =
2 10bcd π=
10
0
0
10
a b
a b
a b
a b
π
π
+ =
 − =

− + =
− − = − ω
( )V ω
10π10π−
0.2
0

9. Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
Con lo cual se tendría que ( )V ω estaría dada por la siguiente expresión:
( ) ( ) ( )
1 1
10
50 20 5 20
V V
ω ω
ω π ω
π π π
   
= ∆ ⇒ = ∆   
   
Segunda Metodología.-
( ) ( ) ( )5 5
1
50
V p pπ πω ω ω
π
= ∗  
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 5 5 5 5p pπ πω ω µ ω π µ ω π µ ω π µ ω π∗ = + − − ∗ + − − =      
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 5 2 5 5 5 5µ ω π µ ω π µ ω π µ ω π µ ω π µ ω π= + ∗ + − + ∗ − + − ∗ − =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )10 10 2 10 10ω π µ ω π ωµ ω ω π µ ω π= + + − + − −
( ) ( )5 5 10
20
p pπ π
ω
ω ω π
π
 
∗ = ∆ 
 
( ) ( ) ( )
1 1
10
50 20 5 20
V V
ω ω
ω π ω
π π π
   
= ∆ ⇒ = ∆   
   
( ) ( ) ( )Tz t v t tδ= ×
En virtud de que ( )T tδ es una señal periódica, procederemos a determinar su representación
mediante SFCE’s, como sigue:
( ) ( )
0 0
0
0 0
/2 /2
0
0 0 0 0 0/2 /2
1 1 1 1 2 2
, 20
0.1
T T
jk t
k k
T T
D t e dt t dt D
T T T T T
ω π π
δ δ ω π−
− −
= = = ⇒ = = = =∫ ∫
k
kD
11− 0
01/T
2 32−3−
k
kC
10
01/T
2 3
02/T
( ) ( )0 0
1 10 0
1 2
cos cos20T k T
k k
t C C k t t kt
T T
δ ω δ π
∞ ∞
= =
= + ⇒ = +∑ ∑
( )
1
10 20 cos20T
k
t ktδ π
∞
=
= + ∑

10. Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
10 20 cos20 10 20 cos20 20 cos40 20 cos60 .....
k
z t v t kt v t v t t v t t v t tπ π π π
∞
=
 
= + = + + + + 
 
∑
( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }1
2
T TZ z t v t t Z V tω δ ω ω δ
π
= = × ⇒ = ∗F F FF F FF F FF F F
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1
10 20 cos20 10 2 20 cos20
2 2k k
Z V kt V ktω ω π ω π δ ω π
π π
∞ ∞
= =
   
= ∗ + = ∗ +   
   
∑ ∑F FF FF FF F
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1
10 2 20 20 20
2 k
Z V k kω ω π δ ω πδ ω π πδ ω π
π
∞
=
 
= ∗ + + + −   
 
∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
10 10 20 20
k
Z V k kω ω δ ω δ ω π δ ω π
∞
=
 
= ∗ + + + −   
 
∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
10 10 20 20
k
Z V V k V kω ω δ ω ω δ ω π ω δ ω π
∞
=
= ∗ + ∗ + + ∗ −  ∑
( ) ( ) ( ) ( )
1
10 10 20 20
k
Z V V k V kω ω ω π ω π
∞
=
= + + + −  ∑
ω
( )Z ω
10π10π−
2
0 30π 50π30π−50π−
ω
( )H ω
1
10π− 0
1
10π
[ ] [ ]5 10 /B cFiltro W Hz rad sω π⇒ = ⇒ =
( ) ( ) ( )Y Z Hω ω ω=
ω
( )Y ω
10π10π−
2
0
( ) ( )10Y Vω ω=
( )
1
10
5 20
Y
ω
ω
π
   
= ∆   
   
( ) 2
20
Y
ω
ω
π
 
= ∆ 
 

11. Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
2 1
5
5 20
senc t
ω
π
π
 
↔ ∆ 
 
2
10 5 2
20
senc t
ω
π
π
 
↔ ∆ 
 
( ) ( ) 2
10 10 5y t v t senc tπ= =

12. Ing. Alberto Tama Franco
Coordinador de la Materia Sistemas Lineales
FIEC-ESPOL – 2014 –2S
Cuarto Tema (25 puntos):
La siguiente figura muestra el espectro de Fourier de una señal periódica ( )x t .
a) Por simple inspección, determine las Series de Fourier (armónica) que representan a ( )x t .
b) Por simple inspección, esquematice adecuadamente el espectro de los coeficientes de
Fourier complejos exponenciales.
c) Encuentre la potencia de la señal ( )x t .
ω
1 2 3
kC
2
4
ω
1 2 3
kC∠
π−
4
/2π−
Series Armónicas de Fourier.-
( ) ( )0 0
1
cosk k
k
x t C C k tω θ
∞
=
= + −∑
( ) ( ) ( )2 2cos 2 cos 3 /2x t t tπ π= + − + −
Espectro de los Coeficientes de las Series de Fourier Complejas Exponenciales.-
ω
1 2 3
kD
1
4
ω
1 2 3
kD∠
π−
2
/2π−
4− 3− 2− 1−
/2π
π
Potencia de la señal ( )x t .-
( ) 0 0
2 2 22 2
1 1
1
2
2
k k kx t
k k k
P D D D C C
∞ ∞ ∞
=−∞ = =
= = + = +∑ ∑ ∑
( ) ( ) ( )
2 2 21 13
2 2 1
2 2x t x t
P P= + + ⇒ =