Artículo sobre las propiedades de los conjuntos abiertos de números reales.

1. Universidad Nacional de la Patagonia - Facultad de Ingenier´
ıa 1
Conjuntos abiertos de n´ meros reales
u
Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
ıa
Conjuntos abiertos de n´meros reales by Ana Mar´ Teresa Lucca is licensed under a
u ıa
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Los conjuntos m´s simples de n´meros reales son los intervalos.
a u
Definiremos al intervalo abierto por:
(a, b) = {x : a < x < b}.
Siempre tomaremos a < b, y consideramos tambi´n los intervalos infinitos
e
(a, ∞) = {x : a < x};
(−∞, b) = {x : x < b}.
Algunas veces escribiremos (−∞, ∞) para denotar al conjunto de los n´me-
u
ros reales.
Una generalizaci´n de la noci´n de un intervalo abierto est´ dada por la
o o a
de conjunto abierto:
Definici´n 1: Un conjunto O de n´meros reales se dice abierto si:
o u
∀x ∈ O, ∃ δ > 0 : ∀y, (|x − y| < δ → y ∈ O).
Otra forma de parafrasear esta definici´n es la siguiente:
o
Definici´n 2: Un conjunto O de n´meros reales se dice abierto si:
o u
∀x ∈ O, ∃ I (intervalo abierto) : x ∈ I ⊂ O.
Ejemplo 1 Los intervalos abiertos son conjuntos abiertos. ♦

2. 2 Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
ıa
Ejemplo 2 Tanto el conjunto vac´ como el conjunto R de los n´meros
ıo u
reales son abiertos. ♦
Proposici´n 1 La intersecci´n O1 ∩ O2 de dos conjuntos abiertos O1 y O2
o o
es un conjunto abierto.
Su demostraci´n es sencilla y se deja como ejercicio al lector.
o
Corolario 2 La intersecci´n de una colecci´n finita de conjuntos abiertos
o o
es un conjunto abierto.
Su demostraci´n resulta por inducci´n y se deja como ejercicio al lector.
o o
Nos preguntamos ahora si la intersecci´n numerable de abiertos es un
o
conjunto abierto. En general esto no es cierto. Por ejemplo, consideremos
1 1
On = − , , ∀n ∈ N.
n n
Es claro que cada uno de los conjuntos On son abiertos, sin embargo:
On = {0}
n
no es un conjunto abierto. Por tanto, la intersecci´n de una colecci´n arbi-
o o
traria de conjuntos abiertos no siempre es un abierto. Sin embargo,
Proposici´n 3 La uni´n de una colecci´n C de conjuntos abiertos es un
o o o
conjunto abierto.
Se sigue de esta proposici´n que toda uni´n de intervalos abiertos es un
o o
conjunto abierto. Una forma extra˜a de la rec´
n ıproca es tambi´n verdadera:
e
Proposici´n 4 Todo conjunto abierto de n´meros reales es la uni´n de una
o u o
colecci´n numerable de intervalos abiertos disjuntos.
o
Dem: Sea O un conjunto abierto de n´meros reales. Si O = ∅
u
nada hay que probar.
Si O = ∅, como O es abierto,
∀x ∈ O, ∃ Ix (intervalo abierto) : x ∈ Ix ⊂ O,
dicho de otro modo,
∀x ∈ O, ∃ y > x : (x, y) ⊂ O.

3. Universidad Nacional de la Patagonia - Facultad de Ingenier´
ıa 3
Sea b = sup {y : (x, y) ⊂ O}. Entonces x ≤ b.
An´logamente,
a
∀x ∈ O, ∃ z < x : (z, x) ⊂ O.
Sea a = ´ {z : (z, x) ⊂ O}. Entonces a ≤ x.
ınf
As´ a ≤ x ≤ b. Sea Ix = (a, b).
ı,
Veamos que:
1. Ix ⊂ O.
2. a, b ∈ O.
/
3. {Ix }x∈O verifica las condiciones del Teorema, esto es,
a) Ix = O;
x∈O
b) la uni´n es disjunta;
o
c) la uni´n es numerable.
o
1. Ix ⊂ O.
Sea w ∈ Ix . Puede ocurrir que:
x<w<b
b = sup {y : (x, y) ⊂ O}, entonces w no es cota superior
de {y : (x, y) ⊂ O}, por lo que ∃ y0 ∈ {y : (x, y) ⊂ O}
tal que w < y0 < b. As´ x < w < y0 , pero (x, y0 ) ⊂ O,
ı,
por lo que w ∈ O.
a < w < x, de lo que resulta, en forma an´loga al caso
a
anterior, que w ∈ O.
x = w, de lo que resulta w ∈ O.
Es claro entonces que, cualquiera sea el caso, se verifica la
inclusi´n.
o
2. b ∈ O.
/
Supongamos que b ∈ O. Como O es abierto,
∃ δ > 0 : ∀y, (|y − b| < δ → y ∈ O).
As´
ı,
∃ δ > 0 : (b − δ, b + δ) ⊂ O.
Por lo anterior, Ix ⊂ O → (x, b) ⊂ O. Luego, (x, b + δ) ⊂ O,
lo que contradice el hecho de que b = sup {y : (x, y) ⊂ O}.
Por lo tanto, b ∈ O.
/
An´logamente se prueba que a ∈ O.
a /
3. {Ix }x∈O verifica las condiciones del Teorema.
a) Veamos que Ix = O
x∈O

4. 4 Ms. Ana Mar´ Teresa Lucca
ıa
Ix ⊂ O, ∀x ∈ O → Ix ⊂ O
x∈O
x ∈ O → ∃ Ix : x ∈ Ix (por ser O abierto)
→x∈ Ix → O ⊂ Ix
x∈O x∈O
b) La uni´n es disjunta, esto es, Ix ∩Iy = ∅, o bien Ix ∩Iy =
o
∅ → Ix = Iy .
Sean Ix = (a, b), Iy = (c, d). Supongamos Ix ∩ Iy = ∅,
entonces c < b, a < d.
a ∈ O → a ∈ (c, d) → a ≤ c
/ /
→c=a
c ∈ O → c ∈ (a, b) → c ≤ a
/ /
An´logamente, b = d. Por lo tanto, Ix = Iy .
a
c) La uni´n es numerable.
o
Sea x ∈ O e Ix = (a, b). Por el Corolario del Axioma
de Arqu´ ımedes1 , ∃ q ∈ Q : a < q < b. As´ a cada Ix
ı,
le podemos asociar un racional. Como los intervalos Ix
son disjuntos dos a dos, estos racionales son distintos.
As´ existe una correspondencia uno a uno entre {Ix :
ı,
x ∈ O} y un subconjunto de Q (numerable). Por lo
tanto, la colecci´n {Ix : x ∈ O} es numerable. ♦
o
Para cerrar nuestra discusi´n de conjuntos abiertos, enunciamos la si-
o
guiente proposici´n cuya demostraci´n se deja como ejercicio.
o o
o ¨
Proposici´n 5 (LINDELOF) Sea C una colecci´n de conjuntos abiertos de
o
n´meros reales. Entonces existe una subcolecci´n numerable {Oi } de C tal
u o
que
∞
O= Oi .
O∈C i=1
Bibliograf´
ıa:
Royden, H. L. (1968) Real Analysis. Second Edition, The Macmillan
Company, New York.
1
Corolario del Axioma de Arqu´ ımedes: Entre dos n´meros reales cualesquiera existe
u
un n´mero racional; esto es, si x < y entonces ∃ r ∈ Q : x < r < y.
u