1. Resistencia de Materiales II Método de deformaciones Angulares Bryan Abraham Castro Ferrín
Método de Deformaciones Angulares
Introducción:
Método utilizado para la resolución de Estructuras Hiperestáticas continuas y
aporticadas, considerando como incógnitas básicas los giros y desplazamientos en
los nudos.
Este método se enmarca dentro de los métodos clásicos de solución de una
estructura hiperestática plana, en la cual la principal deformación de la estructura
es por flexión.
Se requiere que los elementos que forman la estructura sean:
• Rectos.
• Inercia constante entre tramos.
• Deformaciones pequeñas (giros y desplazamientos).
• Módulo de elasticidad constante entre tramos.
Metodología:
El método de deformaciones angulares se basa en expresar los momentos de
extremo de los miembros de estructuras hiperestáticas en función de los giros y
deflexiones observadas en los nudos, teniendo como supuesto que si bien los
nudos pueden girar o reflectarse, los ángulos entre los elementos que convergen al
nudo se mantienen constantes.
Se enfatiza que este método sólo considera el efecto de la flexión sobre los
elementos y omite el efecto del corte y axial.
Las etapas del método son las siguientes:
1. Identificar los grados de libertad de la estructura, que se definen como los giros
(θ) o desplazamientos (∆) a nivel de nudos que puedan producirse.
Cuando se carga una estructura, algunos puntos específicos de ella, sufrirán
desplazamientos. A esos desplazamientos se les llama Grados de Libertad.
Armaduras: 2 GDL por cada nudo

2. Resistencia de Materiales II Método de deformaciones Angulares Bryan Abraham Castro Ferrín
Pórticos: 3 GDL por cada nudo en el plano o 6 GDL por cada nudo en el espacio
Ejemplos Vigas:
1 GDL
4 GDL
Ejemplos Pórticos:
9 GDL
3 GDL

3. Resistencia de Materiales II Método de deformaciones Angulares Bryan Abraham Castro Ferrín
2. Una vez definidos los grados de libertad, que serán las variables incógnitas del
problema, se plantean los momentos de extremo para cada elemento de la
estructura, usando la siguiente fórmula general:
Vigas:
𝑀𝐴𝐵 =
2𝐸𝐼𝐴 𝐵
𝐿 𝐴𝐵
(2𝜃𝐴 + 𝜃 𝐵 −
3∆
𝐿 𝐴𝐵
) + 𝑀𝐴
𝐸
𝑀 𝐵𝐴 =
2𝐸𝐼𝐴𝐵
𝐿 𝐴𝐵
(2𝜃 𝐵 + 𝜃𝐴 −
3∆
𝐿 𝐴𝐵
) + 𝑀 𝐵
𝐸
Dónde:
 𝜃𝐴 : Giro incógnita en extremo A, en sentido antihorario
 𝜃 𝐵 : Giro incógnita en extremo B, en sentido antihorario
 ∆ : Desplazamiento relativo entre los nudos A y B. Sera positivo si la cuerda
AB gira en sentido antihorario, de lo contrario será negativo.
 𝑀𝐴
𝐸
: Momento de empotramiento perfecto en extremo A debido a cargas de
tramo (se determina mediante tablas)
 𝑀 𝐵
𝐸
: Momento de empotramiento perfecto en extremo B debido a cargas de
tramo (se determina mediante tablas).
3. Una vez que se han planteado los momentos de extremo para cada elemento de
la estructura, se plantean las ecuaciones de:
• Equilibrio rotacional en cada nudo de la estructura.
• Condiciones de borde, en caso de extremos rotulados.
• Equilibrio horizontal o vertical, en el caso que la estructura tenga
desplazamientos laterales.
Esto genera un sistema lineal de ecuaciones. Resolviendo se obtienen los valores
de los giros y desplazamientos de los nudos.
4. Finalmente, se evalúan los momentos de extremo, lo cual permite calcular las
reacciones de la estructura.
Pórticos:

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 𝑀 𝑁 = 2𝐸𝑘(2𝜃 𝑁 + 𝜃 𝐹 − 3Ψ) + (𝐹𝐸𝑀) 𝑁 : Para claro interno o claro extremo
con extremo alejado empotrado.
 𝑀 𝑁 = Momento de inercia en el extremo cercano del claro, este momento
es positivo en sentido de las manecillas del reloj al actuar sobre el claro.
 𝐸 𝑦 𝑘 = Módulo de elasticidad del material y rigidez del claro: 𝑘 =
𝐼
𝐿
 𝜃 𝑁 𝑦 𝜃 𝐹 = Pendiente de los extremos cercanos y alejados o desplazamientos
angulares del claro en los soportes; los ángulos se miden en radianes y son
en sentido de las manecillas del reloj.
 𝜓 = Rotación de la cuerda del claro debido a un desplazamiento lineal, esto
es: 𝜓 =
∆
𝐿
.Este ángulo se mide en radianes y son positivos si son en sentido
de las manecillas del reloj.
 (𝐹𝐸𝑀) 𝑁 = Momento de empotramiento en el soporte cercano; el momento
es positivo si es en sentido de las manecillas del reloj al actuar sobre el
claro; ver en la tabla.
Ejemplo 1
Para la viga que se indica, determinar las reacciones mediante método DVI.
Considerar EI=.cte.
Solución:
1. La viga continua posee cuatro grados de libertad:
𝜃𝐴, 𝜃 𝐵, 𝜃 𝐶 𝑦 𝜃 𝐷. No hay desplazamientos laterales de nudos.
2. Momentos de extremo
𝑀𝐴𝐵 =
2𝐸𝐼
5
(2𝜃𝐴 + 𝜃 𝐵) +
200. 52
12
𝑀 𝐵𝐴 =
2𝐸𝐼
5
(2𝜃 𝐵 + 𝜃𝐴) −
200. 52
12

5. Resistencia de Materiales II Método de deformaciones Angulares Bryan Abraham Castro Ferrín
𝑀 𝐵𝐶 =
2𝐸𝐼
4
(2𝜃 𝐵 + 𝜃 𝐶)
𝑀 𝐶𝐵 =
2𝐸𝐼
4
(2𝜃 𝐶 + 𝜃 𝐵)
𝑀 𝐶𝐷 =
2𝐸𝐼
4
(2𝜃 𝐶 + 𝜃 𝐷) +
300. 42
12
+
400.4
8
𝑀 𝐷𝐶 =
2𝐸𝐼
4
(2𝜃 𝐷 + 𝜃 𝐶) +
300. 42
12
+
400.4
8
3. Equilibrio rotacional en cada nudo de la estructura
𝑁𝑢𝑑𝑜 𝐵: 𝑀 𝐵𝐴 + 𝑀 𝐵𝐶 = 0 →
2𝐸𝐼
5
(2𝜃 𝐵 + 𝜃𝐴) −
200. 52
12
+
2𝐸𝐼
4
(2𝜃 𝐵 + 𝜃 𝐶) = 0
4𝜃𝐴 + 18𝜃 𝐵 + 5𝜃 𝐶 =
12500
3𝐸𝐼
(1)
𝑁𝑢𝑑𝑜 𝐶: 𝑀 𝐶𝐵 + 𝑀 𝐶𝐷 = 0 →
2𝐸𝐼
4
(2𝜃 𝐶 + 𝜃 𝐵) +
2𝐸𝐼
4
(2𝜃 𝐶 + 𝜃 𝐷) +
300. 42
12
+
400.4
8
= 0
𝜃 𝐵 + 4𝜃 𝐶 + 𝜃 𝐷 =
1200
𝐸𝐼
(2)
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑒𝑛 𝐴: 𝑀𝐴𝐵 = 0 →
2𝐸𝐼
5
(2𝜃𝐴 + 𝜃 𝐵) +
200. 52
12
= 0
2𝜃 𝐴 + 𝜃 𝐵 =
3125
3𝐸𝐼
(3)
𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑟𝑑𝑒 𝑒𝑛 𝐷: 𝑀 𝐷𝐶 = 0 →
2𝐸𝐼
4
(2𝜃 𝐷 + 𝜃 𝐶) −
300. 42
12
−
400.4
8
= 0
𝜃 𝐶 + 2𝜃 𝐷 =
1200
𝐸𝐼
(4)
4. Resolviendo simultáneamente (1), (2), (3) y (4) se tiene:
𝜃 𝐴 =
−823.54
𝐸𝐼
, 𝜃 𝐵 =
605.41
𝐸𝐼
, 𝜃 𝐶 =
−687.26
𝐸𝐼
𝑦 𝜃 𝐷 =
943.63
𝐸𝐼
5. Evaluando los momentos:
𝑀𝐴𝐵 = 0, 𝑀𝐴𝐵 = −261.76𝑘𝑔 − 𝑚, 𝑀 𝐵𝐶 = 261.78𝑘𝑔 − 𝑚, 𝑀 𝐶𝐵 = −384.56𝑘𝑔 − 𝑚, 𝑀 𝐶𝐷
= 384.56𝑘𝑔 − 𝑚, 𝑀 𝐷𝐶 = 0
𝑀 𝐶𝐷 = 384.56𝐾𝐺 − 𝑚, 𝑀 𝐷𝐶 = 0

6. Resistencia de Materiales II Método de deformaciones Angulares Bryan Abraham Castro Ferrín
6. Calculo de reacciones:
𝐸𝑛 𝑉𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐵: ∑ 𝑀 𝐵 = 0 → −5𝑅 𝐴 +
20052
2
− 261.8 = 0 → 𝑅 𝐴 = 447.6[𝑘𝑔](↑)
∑ 𝐹𝑉 = 0 → 𝑅 𝐴 + 𝑅 𝐵−𝑖 − 200 ∙ 5 = 0 → 𝑅 𝐵−𝑖 = 552.4[𝑘𝑔](↑)
𝐸𝑛 𝑉𝑖𝑔𝑎 𝐵𝐶: ∑ 𝑀 𝐶 = 0 → −4𝑅 𝐵−𝑑 + 261.8 − 384.6 = 0 → 𝑅 𝐵−𝑑 = 30.7[𝑘𝑔](↓)
∑ 𝐹𝑉 = 0 → 𝑅 𝐵−𝑑 + 𝑅 𝐶−𝑖 = 0 → 𝑅 𝐶−𝑖 = 30.7[𝑘𝑔](↑)
𝐸𝑛 𝑉𝑖𝑔𝑎 𝐶𝐷: ∑ 𝑀 𝐶 = 0 → 384.6 + 4𝑅 𝐷 −
300 ∙ 42
2
− 400 ∙ 2 = 0 → 𝑅 𝐷 = 703.9[𝑘𝑔](
↑)
∑ 𝐹𝑉 = 0 → 𝑅 𝐶−𝑑 + 𝑅 𝐷 − 300 ∙ 4 − 400 = 0 → 𝑅 𝐶−𝑑 = 896.1[𝑘𝑔](↑)
𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑅 𝐴 = 447.1[𝑘𝑔](↑); 𝑅 𝐵 = 521.7[𝑘𝑔](↑); 𝑅 𝐶 = 926.8[𝑘𝑔](↑); 𝑅 𝐷
= 703.9[𝑘𝑔](↑)