Este documento explica cómo convertir entre grados y radianes y calcular los valores de las funciones seno y coseno en grados y radianes. Primero define la relación entre grados y radianes y muestra cómo convertir entre las dos unidades. Luego presenta tablas y gráficos para calcular los valores de seno y coseno en grados y radianes comunes como 30°, 45°, 60°, 90°, etc. Finalmente, resume relacionando las funciones trigonométricas con pares ordenados en el círculo unitario.

1. CONVERSIONES
ENTRE GRADOS, RADIANES
Y FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
UNIDAD II:
FUNCIONES CIRCULARES Y TRIGONOMÉTRICAS
M.UM.11.8.1 / M.UM.11.8.2
J. Pomales / marzo 2009

2. THE UNIT CIRCLE SONG
SI ESTÁS CONECTADO A LA INTERNET TOCA AQUÍ PARA VER EL VÍDEO

3. Introducción:
Hace varios días estudiamos el círculo
unitario. ¿Puedes mencionar algunas
de sus características?
Hoy, calcularemos:
– conversiones entre las medidas de los
ángulos en grados y radianes
– los valores de las funciones seno y
coseno en y múltiplos de
π ,π ,π ,π
0, 6 4 3 2 ,π

4. GRADOS
Y
RADIANES

5. Compara el tamaño de 1o con 1 radián
Grados Radián
r 1
1o
La medida de un radián es más grande que
la medida de un grado.

6. REPRESENTACIÓN DEL
CÍRCULO UNITARIO (u2 + v2 =1)
(0,1)
1
CUADRANTE CUADRANTE
II I
1
(-1,0)
-1 1(1,0)
(0,0)
CUADRANTE CUADRANTE
III -1 IV
(0,-1)
¿Cuántos cuadrantes ¿Cómo son
tiene este círculo? sus signos?

7. CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES
Existe una fórmula sencilla para
convertir los grados a radianes o
viceversa.
Si A es la medida del ángulo y T la medida de los radianes
A = T
180 o
π radian

8. CONVERSIÓN DE GRADOS A RADIANES
Convierte 30º a radianes:
A = T
En este caso A es 30º 180 o
π radian
Como T es el desconocido escribo x
30 = x
Multiplicando cruzado obtengo
180 π
30π = 180 x
Despejamos para x 1
Simplificamos 30 y 180 30π = 180 x
entre 30 1806 180
π =x
6

9. COMPLETA LA TABLA
Convierte de grados a radianes:
30º 45º 60º 90º
A =π
T A =π
T A =π
T A =π
T
180 180 180 180
30 x
=π 45 x
=π 60 x
=π 90 x
=π
180 180 180 180
30π = 180 x 45π = 180 x 60π = 180 x 90π = 180 x
30π =x 45π =x 60π =x 90π =x
180 180 180 180
π =x π =x π =x π =x
6 4 3 2

10. CONVIERTE CADA GRADO A RADIÁN
Colócalo en el círculo unitario
π
2 (0,1) π
90o 3 π
120o 60o 4 π
135 o
45o
30o
6
150
o
π 180 o
0o ó 360o 0 ó 2π
(-1,0) (1,0)
210o 330o
225o 315o
240o 300o
270o
(0,-1)

11. CONVIERTE CADA GRADO A RADIÁN
Colócalo en el círculo unitario
π
2π 2 (0,1) π
3π 3 o 90o 3 π
120
4 135o 60o 4 π
5π 45o
6
6 150o 30o
π 180 o
0o ó 360o 0 ó 2π
(-1,0) (1,0)
7π 210o 330o 11π
6 225o 315o 6
5π 240o 300o 7π
4 4π 270o
5π 4
3 3π (0,-1)
3
2

12. GRADOS, RADIANES
Y
SUS RESPECTIVOS
PARES ORDENADOS

13. CALCULA LO SIGUIENTE
De ser necesario aproxima a
¿Cuánto es la centésima más cercana
1 = 0.5 Exacto
2
2 ≈ 0.71 Aproximado
2
3
≈ 0.87 Aproximado
2
¿Cuál es decimal exacto o aproximado?

14. COMPLETA LA TABLA
De ser necesario aproxima a la centésima más cercana
θ
SENO COSENO
Decimal Racional Decimal Racional
1 3
30º 0.5 2 0.87 2
2 2
45º 0.71 2 0.71 2
3 1
60º 0.87 2 0.5 2
90º 1 1 0 0
Para efectos de este tema, si el decimal es 1 ó 0 ese
mismo número será su racional.

15. CONVIERTE CADA RADIÁN A SU PAR
ORDENADO
π
Dibujemos 2π 2 (0,1) π
un triángulo
3π 3 o 90o 3 π
rectángulo 4 π
4 135120 60o
en el primer 5π o
45o
6
cuadrante y 6 150o sa o
30
nu
opuesto
hagamos un ote
análisis. π 180 o
hip
30º 0o ó 360o 0 ó 2π
(-1,0) adyacente (1,0)
7π 210o 330o 11π
6 225o 315o 6
5π 240o 300o 7π
4 4π 270o
5π 4
3 3π (0,-1)
3
2

16. CONVIERTE CADA RADIÁN A SU PAR
ORDENADO
¿Cuánto Calcula el
mide el radio lado
del círculo
unitario?
adyacente
y opuesto.
1
¿Cuánto
mide la 1
hipotenusa
del triángulo
dibujado?
1

17. CONVIERTE CADA RADIÁN A SU PAR
ORDENADO
Lado Lado
Adyacente Opuesto
x y
cos(30) = 1
sen (30) = 1
cos(30) = x sen (30) = y
0.87 ≈ x 1 0.5 ≈ y
0.5
0.87 Plantilla Dinámica
Toca Aquí si estás
π
en la Internet
Menciona el par ordenado para 6 = (0.87,0.5)

18. CONVIERTE CADA RADIÁN A SU PAR
ORDENADO
π
Como 2π 2 (0,1) π
hemos visto
3π 3 o 90o 3 π
( )
π = (0.87,0.5) 4 135120 60o 4 π
6 5π o
45o
6
3 1
,
2 2
6 150o 30o
Convierte
ese par
ordenado (-1,0)
π
180o 30º 0o ó 360o 0 ó 2π
(1,0)
usando
números 7π 210o 330o 11π
racionales. 6 6
( )
225o 315o
3 1 5π 240o 300o 7π
,
2 2 4 4π 270o
5π 4
3 3π (0,-1) 3
2
CALCULA EL PAR ORDENADO PARA TODOS LOS DEMÁS RADIANES

19. CONVIERTE CADA RADIÁN A SU PAR
−1 3
( 1 3 ORDENADO
2
, 2
) π ( 2
, 2
)
( − 2
2
, 2
2
) 2π
3π 3 o
2
90o
(0,1) π
3 π 2 ,
2
( 2
2
)
( )
4 135120 60o 4 π
( − 3 1
,
2 2
) 5π
6
o
150o
45o
30o
6
3 1
,
2 2
π 180 o 30º 0o ó 360o 0 ó 2π
(-1,0) (1,0)
( − 3 − 1
2
, 2 ) 7π
6
210o
225o
330o 11π
315o 6
2
3 − 1
, 2 ( )
( − 2 − 2
2
, 2 ) 5π
4 4π
240o
270o
300o
5π 4
7π
2
2 − 2
, 2 ( )
( −1 − 3 3
2
, 2
) 3π
2
(0,-1)
3 ( 1 ,− 3
2 2
)

20. CONVIERTE CADA RADIÁN A SU PAR
ORDENADO
¿Cómo se
relaciona la
función
trigonométrica
del seno y
coseno con los
pares ordenados
de cada radián?
(cos θ, sen θ)
acompañado por el
signo del cuadrante

21. REFERENCIAS
PRECÁLCULO, FUNCIONES Y GRÁFICAS,
Barnett, Ziegler, Byleen, McGraw Hill
Vídeo:
THE UNIT CIRCLE SONG http://www.youtube.com/
watch?v=5UcF7lbATw4
Plantilla Dinámica:
SENO Y COSENO EN EL CÍRCULO UNITARIO http://
www.geogebra.org/en/upload/files/JUAN%20POMALES/
seno_y_coseno_en_el_circulo_unitario.html

22. Para otras presentaciones y temas
Visite nuestro
Blog
http://juanpomales.blogspot.com
CURSO: FUNCIONES Y MODELOS
11mo Grado
Juan A. Pomales Reyes
Esc. Dr. Juan J. Maunez Pimentel
Distrito Escolar de Naguabo