Limites Infinitos y Límites Al Infinito

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGÍA
“ANTONIO JOSE DE SUCRE”
EXTENSIÓN BARQUISIMETO
Limites Infinitos y Límites Al Infinito
Integrante:
José Miguel Castillo Z.
CI. 21128039
Matemática I

2. Limites Infinitos y Límites Al Infinito
Infinito, la palabra aparece regularmente en los conceptos Matemáticos,
esta es básicamente sólo una idea y no un número. Una cantidad
extremadamente grande la cual no está definida puede ser considerada como
infinito. Cuando se calcula el límite de una fracción, en la que el numerador se
acerca a una cantidad positiva o negativa, si el denominador se mueve hacia 0,
entonces en ese caso se dice que el límite es inexistente. Con el fin de explicar el
comportamiento de tales funciones, decimos que
Esto indica que el límite de F® es un número desconocido de gran tamaño.
Este tipo de límites es conocido como Límite Infinito. Los límites infinitos significan
básicamente que el límite es imaginario, es decir, el valor de la función se puede
hacer tan grande como queramos tomando los valores de r suficientemente cerca
de 0.
Por ejemplo: una función x = 3y tiene límites infinitos. A medida que y
aumenta, 3y también aumenta y cuando y se acerca al infinito, el límite de 3y se
vuelve infinito.
Además la definición de límite infinito puede ser girada para un límite de un
solo lado. El grafico correspondiente de la función g(x) = que también posee
límites infinitos puede ser dibujada como:
x −1 −0.1 −0.01 −0.001 0 g(x) 1 100 10,000 1,000,000 indefinido

3. Un concepto casi similar es el de “límites al infinito”. En este cuando la
función de una variable y aumenta ilimitadamente entonces esta es mostrada
como . De manera similar, cuando y cae de manera ilimitada, entonces
esta es mostrada como .
El concepto principal de límites al infinito yace en dos puntos.
1). Cuando k es un número no negativo, entonces
2). Cuando k es un número no negativo, entonces
Encontrar el límite de un número racional al infinito es un caso especial en
este concepto. Una regla sencilla para determinar el límite al infinito de tales
números es considerando la variable, tanto en el numerador y en el denominador,
que tenga el mayor exponente. Ahora bien, los límites pueden ser evaluados en
base a las siguientes reglas:
1. Si el numerador con el más alto exponente va junto al denominador con el
más alto exponente, en ese caso, el limite al infinito y el infinito negativo es
la proporción de ambos coeficientes de mayor término.
2. Al dividir el numerador con el denominador, si el exponente resultante en la
variable queda igual, en ese caso, el límite al infinito y el infinito negativo
son infinitos. Si resulta impar, en ese caso, el límite al infinito es infinito y el
infinito negativo es infinito negativo. Sin embargo, en ambas condiciones, el
numerador debe tener el término más alto.
3. En la fracción impropia, es decir, en la cual el denominador contiene el
término más alto, el límite al infinito y el infinito negativo es 0.
Los límites infinitos siguen unas propiedades importantes al infinito, las cuales son:
1. . En caso, que r sea grande, entonces el recíproco de r será
extremadamente pequeño y en el caso que r aumente rápidamente,
entonces disminuirá en una proporción igual y eventualmente llegará
cerca de 0.
2. Del mismo modo, si r se convierte grandemente negativo, , se convertirá
menos negativo y también se aproximará más a 0.
3. Además, un ejemplo similar ocurre cuando r es elevado a algún exponente,
es decir,
.

4. .4. Límites infinitos en infinito
El último caso en nuestro estudio de los límites es uno de los más sencillos de
todos. Considere el lector la función identidad cuya gráfica
aparece a la izquierda de este texto. Nos preguntamos qué pasa cuando la
variable x tiende a . Es evidente que si hacemos que la flecha naranja apunte
a valores positivos cada vez mayores, la flecha azul, que representa la variable y,
apuntará a valores positivos también cada vez mayores. En realidad podemos
afirmar lo siguiente:
Podemos hacer que la variable y tome
valores positivos tan grandes como
queramos haciendo que la variable x
tome valores positivos cada vez más
grandes.
En este caso se dice que hay un “límite infinito en infinito” y se formula
matemáticamente así:
.
Otro tanto se puede decir de cuando la variable x tiende a . La situación es
completamente análoga y se tendrá:
Consideremos la función cuya
gráfica aparece a la izquierda de este texto. Se trata de una función polinómica de

5. grado 3. Nos preguntamos cuál es el límite de esta función cuando
.
Si hacemos que la flecha naranja, que representa la variable x, apunte a valores
negativos cada vez menores, nos damos cuenta de que la flecha azul, que
representa la variable y, apunta a valores positivos cada vez mayores. Por eso:
.