Este documento habla sobre expresiones algebraicas. Define una expresión algebraica como una expresión que relaciona valores indeterminados con constantes y operaciones como suma, resta, producto, división, potencias y raíces. Luego describe diferentes tipos de expresiones algebraicas como racionales, irracionales, enteras y fraccionarias, dando ejemplos de cada una. Finalmente, explica conceptos como polinomios, términos, suma, resta, multiplicación y división de polinomios.

1. Expresiones Algebraicas
•
•
Una expresión algebraica es una expresión en
la que se relacionan valores indeterminados con
constantes y cifras, todas ellas ligadas por un
número finito de operaciones de suma, resta,
producto, cociente, potencia y raíz.
Ejemplos
a ) x 2 + 2 xy
b) 2 x + y 2 x 3
x. y − 2 x
c) 2
x +1
1

2. Tipos de Expresiones Algebraicas
Expresiones Algebraicas
Racionales
Enteras
Irracionales
Fraccionarias
2

3. Expresión Algebraica Racional
•
Es racional cuando las variables no están
afectadas por la radicación
•
Ejemplo
x + x. y
+3
2
2 y +1
2
2
3

4. Expresión Algebraica Irracional
•
Es irracional cuando las variables están
afectadas por la radicación
•
Ejemplo
x +2x y
4

5. Expr.Algebraica Racional Entera
•
Una expresión algebraicas es racional entera
cuando la indeterminada está afectada sólo
por operaciones de suma, resta,
multiplicación y potencia natural.
•
Ejemplo
x +3x y + y
2
4
5
5

6. Expresión Algebraica Racional
Fraccionaria
•
Una expresión algebraicas racional es
fraccionaria cuando la indeterminada aparece
en algún denominador.
•
Ejemplo
1
2
+ x y −3
x
6

7. Polinomios
•
Son las expresiones algebraicas más
usadas.
•
Sean a0, a1, a2, …, an números reales y n
un número natural, llamaremos polinomio
en indeterminada x a toda expresión
algebraica entera de la forma:
a0 + a1 x + a2 x2 + … + an xn
7

8. Ejemplos de polinomios
1 2
a) x
3
2 3
b) 3 x + x
3
2
c ) 1 + −3
x
3
d ) 2 + 3x + 5 x
A los polinomios en indeterminada x los
simbolizaremos con letras mayúsculas indicando la
indeterminada entre paréntesis: P(x) ; Q(x) ; T(x).
8

9. Términos
•
Monomio : polinomio con un solo término.
Binomio : polinomio con dos términos.
Trinomio : polinomio con tres términos.
•
Cada monomio aixi se llama término.
•
El polinomio será de grado n si el término de mayor
grado es anxn con an≠0.
•
A a0 se lo llama término independiente.
•
A an se lo llama término principal.
•
•
9

10. Ejemplos
El polinomio 0 + 0x + 0x2 + … +0xn se llama
polinomio nulo. Lo simbolizaremos por Op(x).
No se le asigna grado.
10

11. Ejercicio
•
Indicar cuáles de las siguientes expresiones
algebraicas son polinomios. En este último caso
indicar su grado.
1 3
a) − x + 2 x + 1
3
b) ( x − 2)( x + 3)
3x + 1
c)
2
4
d) x + 2 + 5
2 1
e) x − + + 3
x x
2
x + 2x − 3
f)
x +1
2
11

12. Polinomios iguales
•
Dos polinomios son iguales si y sólo si los
coeficientes de los términos de igual grado lo
son.
•
Ejercicio: Determinar a, b y c para que P(x)=Q(x)
a ) P ( x ) = 2 + 5 x 3 ; Q ( x ) = a + ( a + b) x 3
b) P ( x) = −5 + ( 2 + 1) x + 5 2 x 2
Q( x) = a + (b + 1) x + (c + 2b) x 2
12

13. Suma de Polinomios
•
Para sumar dos polinomios se agrupan los
términos del mismo grado y se suman sus
coeficientes.
•
Ejemplo: Sumar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2
13

14. Propiedades de la Suma
•
•
•
•
Asociativa
Conmutativa
Existencia de elemento neutro
Existencia de elemento opuesto
14

15. Resta de Polinomios
•
Para restar el polinomio Q(x) del polinomio
P(x) se debe sumar a P(x) el opuesto de
Q(x).
P(x) – Q(x) = P(x) + [ - Q(x) ]
•
Ejemplo: Restar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x - 2
15

16. Multiplicación de Polinomios
•
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada
monomio de uno de ellos por cada uno de los
términos del otro y luego se suman los términos de
igual grado.
•
Ejemplo: Multiplicar los siguientes polinomios
P(x) = -2x4 + 5x3 – 3x + 1
Q(x) = 3x3 – 6x2 – 5x – 2
P(x).Q(x) = P(x) 3x3 + P(x) (-6x2 ) + P(x) (-5x ) + P(x)(-2)
16

17. Propiedades del Producto
•
•
•
Asociativa
Conmutativa
Existencia de elemento neutro.
17

18. Algunos productos importantes
•
(x+a)2 =(x+a)(x+a)= x2 + 2ax + a2
•
(x-a)2 =(x-a)(x-a)= x2 - 2ax + a2
•
(x+a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3
•
(x-a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3
•
(x+a)(x-a)= x2 –ax +ax-a2 = x2-a2
18

19. Ejercicio
•
Escribir los desarrollos de
a) (2 + 3 x)
2
d ) (−2 + 3 x)
b) ( x − x )
e) ( − x + x )
2
3 2
 2 3 1 4
c)  − x − x 
3 
 3
3
4 3
2
 1 3 2 2
f ) − x + x 
3 
 2
19
3

20. Ejercicio: Expresar los siguientes trinomios
cuadrados perfectos como el cuadrado de un
binomio y a los cuatrinomios cubos perfectos
como el cubo de un binomio.
a) 4 x − 4 x + 1
d ) x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8
b) x + 14 x + 49
e) 8 x + 12 x + 6 x + 1
3 5 1 6
3
4
f ) − 8x + 6x − x + x
2
8
2
2
c) 25 x − 30 x + 9
2
3
2
20

21. Ejercicio: La expresión x2 - a2 es una diferencia
de cuadrados. Escribir las siguientes
diferencias como producto de binomios.
a ) x − 100
2
1
b) x −
36
4
c) x − 4
2
d ) x − 64
8
21

22. División de polinomios
•
Existe una estrecha analogía entre el
cociente de polinomios y la división de
números enteros.
•
Recordemos algunas definiciones de la
división entre números enteros.
22

23. División entre números enteros
•
En el conjunto de números enteros, si
D es el dividendo y d≠0 es el divisor,
existen y son únicos dos enteros c
(cociente) y (r (resto) tales que
D=d.C+r
•
0 ≤ r < |d|
Si r=0 se dice que D es divisible por d.
23

24. División entre números enteros
•
Ejemplo: Realizar las siguientes
divisiones enteras:
•
29 dividido 6 será: c= 4 y r=5 pues
29 = 6 . 4 + 5 y 0 ≤ 5 < 6
•
29 dividido -6 será: c= -4 y r=5 pues
29 = (-6) . (-4) + 5 y 0 ≤ 5 < |-6|
¿Podría haber sido c = -5 y r = -1?
24

25. División de polinomios
•
Dados los polinomios
D(x) = 6x3 – 17x2+15x-8
d(x) = 3x – 4
determinar, si es posible, dos polinomios c(x)
y r(x) tales que
D(x) = d(x). C(x) + r(x)
de modo que el grado de r(x) sea menor que
el grado de d(x) o bien r(x)=Op(x)
25

26. Ejemplo
6x3 – 17x2 + 15x – 8
-6x3 +
0x3 -
8x2
3x – 4
2x2 - 3x + 1
9x2+ 15x
9x2- 12x
0x2+
3x - 8
-3x + 4
0x - 4
6x3-17x2+15x-8 = (3x-4)(2x2-3x+1)-4
26

27. Ejercicios
a)
D(x) = 4x5 + 2x3 – 24x2 + 18x
d(x) = x2 – 3x
b)
D(x) = 16x8 + 24x6 + 9x4
d(x) = 4x5 + 4x4 + 3x3 + 3x2
c)
D(x) = 2x4 – 6x3 + 7x2 – 3x +2
d(x) = x-2
27

28. División de Polinomios
•
Dados los polinomios D(x) y d(x);
d(x)≠Op(x), diremos que d(x) divide a
D(x) si y sólo si existe un polinomio c(x)
tal que
D(x) = d(x) . c(x)
28

29. Ejercicios
•
a)
b)
Dados los polinomios P(x) y Q(x)
indica si alguno de ellos es divisible
por el otro
P(x) = x4 -2x3 +x2 -5x + 1
Q(x) = x3 + x2 + x + 1
P(x) = x4 +2x3 +4x2 + 8x +16
Q(x) = x5 - 32
29

30. División de un polinomio por otro
de la forma (x-a)
3x3 – 2x2 – 5x – 9
- 3x3 + 6x2
4x2 – 5x
- 4x2 + 8x
3x – 9
-3x + 6
-3
x–2
3x2 + 4x + 3
Regla de Ruffini
3 -2
-5
-9
6
8
6
2
3
4
3
3x3 – 2x2 – 5x – 9 = ( x – 2)(3x2 + 4x + 3) + (-3)
30
-3

31. División de un polinomio por otro
de la forma (x-a)
•
División de P(x) = 3x3 – 2x2 – 5x – 9 por (x-2)
realizada por la Regla de Ruffini
2
3
3
-2
6
4
-5
8
3
-9
6
-3
1º operación : 3.2 -2 = 4
2º operación : (3.2 -2).2 - 5 = 3
3º operación : [3(2) 2 – 2 . 2 - 5].2 -9 =-3
Por lo tanto 3.(2)2 -2.(2)2 -5.2 -9 = -3
31

32. Raíces de un polinomio
•
Un número real a es raíz de un
polinomio P(x) si y solo si P(a) = 0
•
Ejercicio:
Verifique que x=1 es raíz del polinomio
P(x) = 3x2 + 2x – 5
32

33. Raíces de un Polinomio
•
Si un polinomio tiene coeficientes
enteros y a es una raíz entera del
polinomio entonces a divide al término
independiente.
•
Ejercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24
33

34. Ejercicio: Calcular las raíces de
P(x) = 2x3 - 2x2 - 16x + 24
•
•
Si P(x) tiene alguna raíz entera, ésta debe
ser divisor de 24.
Probar que 1 y -1 no son raíces de P(x)
Ver x=2 también
es raíz de
2x2 + 2x -12
2x2 + 2x -12 = (x-2)(2x+6)
2x3 – 2x2 – 16x + 24 = ( x – 2)(2x2 + 2x -12)
34

35. Ejercicio
•
Calcular las raíces de
P(x) = x4 - x3 - 6x2 + 4x + 8
P(x) = (x-2)2 (x+1) (x+2)
35

36. Resolver la siguiente
ecuación
2
1
1
+
− 2
=0
2
x − 4 x + 2 x − 2x
x 4 − x3 − 6 x 2 + 4x + 8
=0
2
2
( x − 4)( x + 2)( x − 2 x)
( x − 2) 2 ( x + 1)( x + 2)
x +1
=
=0
( x + 2)( x − 2)( x + 2) x( x − 2) x( x + 2)
36

37. Soluciones de la Ecuación
Fraccionaria
37