Limites infinitos

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Limites infinitos

  1. 1. Limites infinitos Observemos la función f(x)=1/x2 para valores de x positivos muy grandes. Si tomamos x cada vez mayor, f(x) está cada vez más cerca de 0. Si x es suficientemente grande podemos conseguir que f(x) se acerque a 0 tanto como queramos. Decimos que f(x) tiende a 0 cuando x tiende a infinito. Veamos a continuación las definiciones precisas de cada uno de los límites que involucran al infinito. limx->af(x) = +inf <=> para todo A > 0 existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > A. El límite de f(x) cuando x->a es infinito positivo, si para cualquier número positivo A (tan grande como se quiera), podemos encontrar un número δ tal que, para todos los x dentro del entorno reducido de a de radio δ se cumple que f(x) es mayor que A. En otras palabras, si para cualquier número positivo A que consideremos, existe un entorno reducido de a donde la función vale más que A, quiere decir que f(x) puede hacerse mayor que cualquier número, con tal de que x se acerque lo suficiente a a. Por eso se dice que el límite de f(x) cuando x tiende a a es +inf. x f(x) 100 1,0x10-4 1.000 1,0x10-6 10.000 1,0x10-8 100.000 1,0x10-10 1.000.000 1,0x10-12
  2. 2. Limite unilateral por la derecha y por la izquierda. Hasta el momento hemos visto límites de funciones cuyo trazo es continuo, sin cortes o saltos bruscos. Sin embargo, existen algunas funciones que presentan algunas discontinuidades, llamadas funciones discontinuas y que estudiaremos en el tema continuidad de funciones. Nos dedicaremos ahora a estudiar los límites que corresponde en este tipo de funciones como tal. Consideremos la siguiente representación gráfica de una función , en la que existe una discontinuidad cuando : notemos que cuando tiende hacia "a" por la derecha de "a" la función tiende a 2, pero cuando tiende hacia "a" por la izquierda de "a", la función tiende hacia 1. Escribimos para indicar que tiende hacia "a" por la derecha, es decir, tomando valores mayores que "a". Similarmente indica que tiende hacia "a" por la izquierda, o sea, tomando valores menores que "a". Utilizando ahora la notación de límites, escribimos y . Estos límites reciben el nombre de límites laterales; el límite por la derecha es 2 y el límite por la izquierda es 1.
  3. 3. Ejemplo: Determinaremos los límites en los puntos de discontinuidad de la función cuya representación gráfica es la siguiente: Se tiene que: y y Definiciónde límiteporla derecha Se dice que si y solosi para cada existe tal que si entonces esel límite por la derechade en"a".
  4. 4. Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de , pues es mayor que cero ya que . Definición de límite por la izquierda Se dice que si y solo si para cada existe tal que si entonces es el límite por la izquierda de en "a". Note que la expresión es mayor que cero, pues por lo que . En adelante determinaremos los límites laterales a partir de la representación gráfica de una función cuya ecuación se da. Ejemplo: Determinar los límites, en los puntos de discontinuidad, de la función definida por:
  5. 5. Primero hagamos la gráfica de la función: El punto de discontinuidad se presenta cuando Luego: y Observe que el límite por la derecha (3), es diferente al límite por la izquierda (2). Límite infinito (+). La idea intutitiva de esta situación nos decía que cuando x se hace muy grande (o muy pequeño, respectivamente), f(x) va creciendo indefinidamente, es decir, podemos hacer que f(x) sea tan grande como se quiera sin más que hacer que x crezca o decrezca lo suficiente. De nuevo nos encontramos con conceptos algo ambiguos: "hacerse pequeño" y "hacerse grande". Al igual que en el caso anterior la cuestión principal es ¿a partir de qué valor consideramos que un número es grande o pequeño?. Para responder a esta pregunta procederemos igual que en la situación anterior, es decir, partiremos de una situación concreta sobre la que se plantean una serie
  6. 6. de cuestiones. Las respuestas a estas cuestiones nos permitirán definir con claridad los conceptos antes mencionados. Límite infinito(-) La idea intutitiva de esta situación nos decía que cuando x se hace muy grande (o muy pequeño, respectivamente), f(x) va decreciendo indefinidamente, es decir, podemos hacer que f(x) sea tan pequeño como se quiera sin más que hacer que x crezca (o decrezca) lo suficiente. De nuevo nos encontramos con conceptos algo ambiguos: "hacerse pequeño" y "hacerse grande". Al igual que en el caso anterior la cuestión principal es ¿a partir de qué valor consideramos que un número es grande o pequeño?. Para responder a esta pregunta procederemos igual que en la situación anterior, es decir, partiremos de una situación concreta sobre la que se plantean una serie de cuestiones. Las respuestas a estas cuestiones nos permitirán definir con claridad los conceptos antes mencionados. Ejemplos
  7. 7. Niedlinger gil 19165784

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