Tema de matemáticas para 3º PMAR

1. Funciones. Teoría
1
TEMA 5
Matemáticas

2. Funciones. Teoría
2
TEMA 5
Matemáticas
1.- El concepto de función
En ocasiones nos encontramos con situaciones donde conviene expresar la relación que
hay entre dos magnitudes que dependen una de la otra. Así por ejemplo, lo que
pagamos por comprar manzanas depende de su peso, el coste de una llamada de teléfono
depende de su duración, el consumo de gasolina de un coche depende de la velocidad a
la que circula y la temperatura que alcanza el agua depende del tiempo que esté en el
fuego.
Todas estas situaciones pueden expresarse mediante:
 Un enunciado.
 Una tabla de valores.
 Un gráfico cartesiano.
 Una fórmula, ecuación o expresión algebraica.
Sea cual sea la forma de expresarla, las características comunes de estas situaciones son:
 Hay dos variables, que llamaremos x e y.
 Una depende de la otra:
 La variable independiente es x: le podemos asignar valores sin que se vea
afectada por la otra variable.
 La variable dependiente o imagen es y, que también se expresa como y = f(x): los
valores que adopta vienen dados por los que tenga la variable independiente,
porque dependen de ella. Por ejemplo, si compramos manzanas, el precio que
pagamos sería la variable dependiente y, ya que está en función del peso de las
manzanas (variable independiente).

3. Funciones. Teoría
3
TEMA 5
Matemáticas
 A los valores que puede tomar la variable independiente solo le corresponde un único
valor de la variable dependiente (una única imagen). Es decir, para un determinado
peso solo le corresponde un precio, no dos. Ejemplo
2.- La representación de una función
Una función se representa gráficamente mediante una gráfica, que está formada por un
sistema de referencia de coordenadas cartesianas, determinado por dos ejes, que son dos
rectas perpendiculares graduadas, que conocemos como eje de abscisas (el eje
horizontal) y eje de ordenadas (el vertical).
Para representar gráficamente una función, situamos la x (o variable independiente) en el
eje de abscisas y la y (o variable dependiente) en el eje de ordenadas. A continuación,
dibujaremos los puntos p (x, y) representativos de todos los pares ordenados de números
reales (x, y) de forma que y = f(x).

4. Funciones. Teoría
4
TEMA 5
Matemáticas
Observa cómo se representa un punto de una función en un gráfico cartesiano.
Para representar una función seguimos estos pasos:
1. Preparamos una tabla con los pares de valores x e y (y = f (x)).
2. Asociamos cada pareja de valores de la tabla con un punto del gráfico de la función.
3. Unimos los puntos con una línea que representará la función. Si esta línea se
representa con un solo trazo, es decir, sin levantar el lápiz del papel, diremos que se
trata de una función continua, en caso contrario, diremos que es discontinua.
Por ejemplo: vamos a representar la función del precio (p) de unas fresas en relación a su
peso. Si sabemos que el kilo de fresas cuesta 1,8 €:
 x = peso.
 y = precio.
 y = 1,8 x.
Preparamos la tabla:
Peso (kg) x 0,5 1 1,5 2
Precio (€) y = f (x) 0,9 1,8 2,7 3,6
Asociamos a cada pareja de valores ordenados de la tabla un punto en el gráfico:
 p (0,5, 0,9).
 p (1, 1,8).
 p (1,5, 2,7).
 p (2, 3,6).
 Unimos los puntos con una línea, que representará la función. En nuestro caso hemos
obtenido una función continua, ya que se ha podido dibujar toda la línea sin levantar el
lápiz del papel.

5. Funciones. Teoría
5
TEMA 5
Matemáticas
Observa la representación de esta función en un gráfico cartesiano. Al unir con una línea los
puntos (que corresponden a los valores de la tabla), se representa la función. Como esta línea se
representa con un solo trazo, decimos que es una función continua.
.
Según sea el tipo de función, podemos obtener diferentes tipos de gráficas. Fíjate en los
siguientes gráficos y di cuáles corresponden a una función y cuáles no:

6. Funciones. Teoría
6
TEMA 5
Matemáticas
Los gráficos B, C, D representan funciones; pero los gráficos A y E no, fíjate que en ellos la
variable x tiene más de una imagen.
La representación gráfica de una función
El gráfico de una función f es la representación en el plano del conjunto de pares de
valores (x, y), donde y = f (x), para todos los posibles valores de x.
Para representar gráficamente una función se realiza lo siguiente:
 Se hace la tabla de valores correspondiente.
 Cada pareja de valores de la tabla se representa en el plano cartesiano con un
punto.
 Se unen con una línea los puntos del plano cartesiano. Según el tipo de gráfica
podrás unir o no con un solo trazo los puntos obtenidos.
Unos símbolos muy útiles.
En la representación gráfica de algunas funciones se utilizan símbolos que ayudan a la
comprensión de lo que pasa en un punto, o cerca de de él (en su entorno).
Está generalizado el uso de un punto en blanco para indicar que ese punto no forma parte
de la gráfica y un punto relleno cuando sí lo es.
3.- Las funciones lineales
Las funciones lineales son aquellas cuya gráfica es una recta. Su expresión algebraica,
donde:
 La y es la variable dependiente.
 La m y b son dos números reales.
 La x es la variable independiente.
Es: y = mx + b
 El coeficiente de las x, m, recibe el nombre de pendiente y mide la inclinación de la
recta.
 La b es una constante llamada ordenada en el origen, que es el punto de ordenadas
donde la recta corta el eje de las y.

7. Funciones. Teoría
7
TEMA 5
Matemáticas
3.1 La pendiente: crecimiento y decrecimiento de una función
Al coeficiente de las x, m, lo llamamos pendiente de una función, ya que indica la
inclinación de la recta, que puede ser positiva o negativa:
 Una función tiene pendiente positiva cuando al aumentar o disminuir el valor de la
variable independiente también lo hace (aumenta o disminuye) la variable
dependiente. Al trazar la recta, de izquierda a derecha, esta sube. Se dice que la
función es creciente.
 Una función tiene pendiente negativa cuando al aumentar la variable independiente, la
variable dependiente disminuye; y al revés. Al trazar la recta, de izquierda a derecha,
esta baja. Se dice que la función es decreciente. Fíjate en el signo de m:
 m > 0, positivo cuando la función es creciente.
 m < 0, negativo cuando la función es decreciente.
Comprueba que si tomas dos valores cualesquiera de la variable x, x1 y x2, se cumple lo
siguiente:
La pendiente es igual a la división del incremento de la variable y (lo que sube o baja)
entre el incremento de la variable x (lo que avanza):
Fíjate en la función: y = 2x + 2.
Tomamos los puntos x1 = 1 y x2 = 2 y los sustituimos en la ecuación de la función:
f (1) = 2 · 1 + 2 = 4
f (2) = 2 · 2 + 2 = 6
Así, obtenemos los puntos (1, 4) y (2, 6) y vemos que se cumple:

8. Funciones. Teoría
8
TEMA 5
Matemáticas
El valor obtenido, m = 2, coincide con el coeficiente de las x, es decir, con la pendiente de
la recta.
Prueba a hacer lo mismo con otros dos puntos. Recuerda que x2 corresponde a la
x mayor, más a la derecha, a la que le restamos un punto, x1, situado a su izquierda.
Estas rectas son representaciones de funciones lineales con distinta pendiente mpero la
misma ordenada en el origen, 2.
¡Atención! Fíjate que a medida que aumenta el coeficiente m de la x, el ángulo que
forman las rectas con el semieje OX también crece. Es decir: a mayor coeficiente de x,
mayor inclinación de la recta.
Las funciones lineales
 La función lineal es de la forma y =mx + b.
 La b es la ordenada en el origen. El punto de ordenada donde la función corta el eje
Y.
 El coeficiente m (pendiente) muestra la inclinación.
 Si m > 0, la función es creciente (la recta pasa por el cuadrante 1.º y el 3.º).
 Si m < 0, la función es decreciente (la recta pasa por el 2.º y el 4.º cuadrante).
 Si m = 0, la función ni crece ni decrece (la recta es paralela al eje X).
Para calcular m, conociendo dos puntos de la función, puedes aplicar la siguiente fórmula:

9. Funciones. Teoría
9
TEMA 5
Matemáticas
4.- Estudio de una función
Para estudiar una función debemos recopilar todos los datos que están relacionados con la
función, como son: el domino y el recorrido, los puntos de corte, la monotonía (crecimiento
o decrecimiento), la continuidad y los extremos.
4.1 Dominio y recorrido
El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable
independiente x.
El recorrido, imagen o rango de una función es el conjunto de valores que toma la
variable dependiente y (conjunto de llegada).
4.2 Los puntos de corte

Los puntos de corte son los puntos donde la gráfica de la función corta los ejes de
coordenadas:
 La línea de una función corta como máximo en un punto al eje de ordenadas
(Y). Comprobamos si x = 0 pertenece al dominio de la función:
 Si no pertenece: no existe ningún punto de corte en el eje de ordenadas.
 Si pertenece: sustituimos x por 0 y obtenemos el valor de y. El punto obtenido
(0, f (0)) será el punto de corte con el eje de ordenadas.
 La línea de una función puede cortar el eje de abscisas (X) tantas veces como
soluciones tenga f (x) = 0.
Observa la diferencia que hay entre los puntos de corte con los ejes en estas dos gráficas y
analízalos.

10. Funciones. Teoría
10
TEMA 5
Matemáticas
4.3 La monotonía: crecimiento y decrecimiento de una función

Para estudiar la monotonía de una función hay que valorar su crecimiento y su
decrecimiento. Una función puede ser creciente, constante o decreciente:
 Creciente: cuando al aumentar el valor de x, se incrementa el valor de y. Su gráfica se
dibuja hacia arriba: m > 0. La función es creciente.
 Constante: cuando al aumentar el valor de x, el valor de y se mantiene constante. Su
gráfica es una línea paralela al eje X: m = 0. La función ni crece ni decrece.
 Decreciente: si al aumentar el valor de x, disminuye el valor de y. Su gráfica se dibuja
hacia abajo: m < 0. La función es decreciente.
Pero hay funciones que no mantienen en todo su recorrido una tendencia creciente o
decreciente. En esas funciones se mira el crecimiento y decrecimiento en detalle, es decir,
nos tendremos que fijar en lo que ocurre en la proximidad de cada punto, en su
entorno. Según esto, se pueden producir dos circunstancias:
 Creciente en un punto: cuando “sube” (al aumentar el valor de x aumenta el valor
de y) en todos los puntos de su entorno.
 Decreciente en un punto: cuando “baja” (al aumentar el valor de x disminuye el valor
de y) en todos los puntos de su entorno.
4.4 La continuidad

Decimos que una función es continua cuando su representación gráfica no presenta
interrupciones, es decir, podemos dibujarla sin levantar el bolígrafo del papel. En caso
contrario, decimos que es discontinua o que presenta discontinuidades.
4.5 Los extremos: máximos y mínimos de una función

 Los máximos de una función son los puntos en los que el valor de la función es mayor
que en el resto de los puntos próximos (su imagen sería parecida a la cima de una
montaña). Una función presenta un máximo en un punto si es creciente a la izquierda
de ese punto y decreciente a la derecha. Una función puede presentar más de un
máximo.
 Los mínimos de una función son aquellos puntos en los cuales el valor de la función es
menor que en el resto de los puntos próximos (su imagen sería parecida al punto más
bajo de un valle). Una función presenta un mínimo en un punto si es decreciente a la
izquierda del punto y creciente a la derecha. Una función puede presentar más de un
mínimo.

11. Funciones. Teoría
11
TEMA 5
Matemáticas
Observa con atención cómo se representan los máximos, mínimos y puntos de corte de una
función en estas dos gráficas.