Resolución de un problema de ecuaciones por el método de Gauss.

1. Metodo de Gauss para resolver sistemas de
ecuaciones
Ricardo Mateos
Departamento de Matemáticas
IBD de Bizkaia
Curso 2011-2012
Ricardo Mateos Metodo de Gauss para resolver sistemas de ecuaciones

2. Sistemas de ecuaciones
Un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es el conjunto de m
ecuaciones lineales cada una de las cuales contiene a las n
incógnitas

 a11 + a12
 + ··· + a1n = b1
a21 + a22 + ··· + a2n = b2

 ··· + ···
 + ··· + ··· = ···
am1 + am2 + ··· + amn = bm

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3. Tipos de sistemas de ecuaciones
Los sistemas de ecuaciones pueden ser:
Sistemas compatibles determinados: Tienen una única
solución.
Sistemas compatibles indeterminados: Tienen infinitas
soluciones.
Sistemas incompatibles: No tienen solución.
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4. Expresión matricial de un sistema de ecuaciones
El sistema anterior se puede escribir en forma matricial de la
siguiente forma:
     
a11 a12 · · · a1n x1 b1
 a21 a22 · · · a2n   x2   b2 
 · · · · · · · · · · · ·  · · · · = · · ·
     
am1 am2 · · · amn xn bm
En la práctica es muy útil la matriz ampliada del sistema cuyos
elementos están formados por los coeficientes de las incógnitas y la
columna de los términos independientes.
 
a11 a12 · · · a1n b1
 a21 a22 · · · a2n b2 
 
 · · · · · · · · · · · · · · ·
am1 am2 · · · amn bm
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5. Método de Gauss
El método de Gauss consiste en transformar el sistema de
ecuaciones dado en otro escalonado equivalente.
Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante
transformaciones elementales la transformamos en otra matriz
escalonada, es decir, con ceros debajo de la diagonal.
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6. Método de Gauss
El método de Gauss consiste en transformar el sistema de
ecuaciones dado en otro escalonado equivalente.
Para ello tomamos la matriz ampliada del sistema y mediante
transformaciones elementales la transformamos en otra matriz
escalonada, es decir, con ceros debajo de la diagonal.
Las transformaciones elementales que pueden realizarse son las
siguientes:
Cambiar filas de lugar.
Multiplicar una fila por un número distinto de cero.
Sumar a una fila otra fila multiplicada por un número.
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7. Método de Gauss
Problema
En un comercio de bricolaje se venden listones de madera de tres
longitudes: 0,9 m, 1,5 m y 2,4 m, cuyos precios respectivos son 4
euros, 6 euros y 10 euros. Un cliente ha comprado 19 listones, con
una longitud total de 30m, que le han costado 126 euros en total.
Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones necesario para
determinar cuántos listones de cada longitud ha comprado ese
cliente.
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8. Método de Gauss
Las incógnitas serán:

 x = Listones de 0,9 m
y = Listones de 1,5 m
z = Listones de 2,4 m

Según las condiciones del problema:

 Cantidad total de listones = 19 → x + y + z = 19
Longitud total de los listones = 30 → 0, 9x + 1, 5y + 2, 4z = 30
Precio total de los listones = 126 → 4x + 6y + 10z = 126

El sistema resultante es:

 x + y + z = 19
0, 9x + 1, 5y + 2, 4z = 30
4x + 6y + 10z = 126

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9. Método de Gauss
Paso 1
Escribimos la matriz ampliada del sistema:
 
1 1 1 19
 0,9 1,5 2,4 30 
4 6 10 126
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10. Método de Gauss
Paso 2
Hacemos ceros en la primera columna. Para ello hacemos las
siguientes transformaciones:
F 2 → F2 − 0,9F1
F 3 → F3 − 4F1
El resultado es:  
1 1 1 19
 0 0,6 1,5 12,9 
0 2 6 50
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11. Método de Gauss
Paso 3
Hacemos ceros en la segunda columna. Para ello hacemos las
siguientes transformaciones:
F 3 → 0,6F3 − 2F2
El resultado es:  
1 1 1 19
 0 0,6 1,5 12,9 
0 0 0,6 4,2
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12. Método de Gauss
Paso 4
El sistema equivale a:

 x + y z = 19
0,6y + 1,5z = 12,9
0,6z = 4,2

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13. Método de Gauss
La solución es: z = 7, y = 4 y x = 8
Solución
Ha comprado 8 listones de 0,9m, 6 listones de 1,5m y 7 listones de
2,4m.
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