polinomio

1. 1
p
Son aquellas expresiones enteras cuyas características (grado , coeficiente y variables)
y por la forma que presentan, guardan ciertas propiedades implícitas que las hacen
notables, en este nivel por sus aplicaciones nos interesa los siguientes polinomios:
POLINOMIO HOMOGENEO
Un polinomio de dos o más términos
y más de una variable es homogéneo, si
dichos términos presentan el mismo
grado absoluto, denominado grado de
homogeneidad,
 
Grado: 13 Grado: 13 Grado:
6 7 10 3
3
2
1
1
P x,y x y x y xy
 

TEOREMA:
Sea el polinomio Homogéneo P:
   
n
P kx,ky,...kz k .P x,y,...z

Dónde: “n” es el grado. y
 
k 0
 
POLINOMIO IDENTICOS
Dos o más polinomios del mismo grado
y en las mismas variables son idénticos,
si los valores numéricos resultantes de
dichas expresiones son iguales, para
cualquier sistema de valores asignados a
sus variables.
       
P x,y Q x,y P a,b Q a,b
  
 
a,b 
TEOREMA:
Dos polinomios de las mismas
características,
tales como:
  m n p q r s
0 1 2 k
P x.y a x a x y a x y ... a y
    
  m n p q r s
0 1 2 k
P x.y a x a x y a x y ... a y
    
Son idénticos, si los coeficientes de sus
Términos semejantes , son iguales.
0 0 1 1 2 3 k k
a b a b a
; ; ...
b a b
   
POLINOMIO IDENTICAMENTE NULO
Es aquel polinomio de grado no
definido, cuyo valor numérico resultante
siempre es igual a cero, para cualquier
sistema de valores que asumen sus
variables. es decir
     
P x,y 0 P a,b 0, a b
,
   
TEOREMA:
Un polinomio de la forma:
  m m 1 m 2
0 1 2 m 1 m
P x.y a x a x a x ... a x a
 

     
Es idénticamente nulo, si todos sus
coeficientes son iguales a cero, es
decir:
0 1 2 m 1 m
a a a ... a a 0

     

2. 2
POLINOMIO ORDENADO
Con respecto a una variable, es aquel
polinomio en la cual los valores de los
exponentes de dichas variables, solo
aumentan o disminuyen según que la
ordenación sea CRECIENTE o
DECRECIENTE, a la variable se le
denomina ORDENATRIZ.
POLINOMIO COMPLETO
Con respecto a una variable, es aquel
polinomio en el cual, los valores de los
exponentes de dichas variables
aparecen de manera consecutiva
desde la mayor hasta el cero inclusive,
sin interesar el orden que presenta.
COROLARIO 01
En todo polinomio completo de una
variable, el número de términos es igual
al grado de la expresión aumentado en
uno.
# Terminos Grado 1
 
COROLARIO 01
En todo polinomio completo y
ordenado de una variable, las
diferencia de grados: (en valor
absoluto) de sus términos
consecutivos, es igual a la unidad.
   
k k 1
Grado t Grado t 1

 
PRIMER EXAMEN CBU ORDINARIO-1999-I
01. Si:      
b a a b 3 4
P x,y a 1 x y b 3 x y x y
     , es un polinomio homogéneo,
la suma de sus coeficientes, es:
a) 7 b) 6 c) 9
d) 10 e) 8
PRIMER EXAMEN CBU ORDINARIO-2000-II
02. Si el polinomio:   m 5 2n 3 m 7 3n 4
P x,y 10x y 8x y
   
  , es homogéneo y la
relación de los exponentes de “x” en sus dos términos es como 5 es a 3 ,
calcular el valor de: A m n
 
a) 26 b) 36 c) 28
d) 35 e) 30
PRIMER EXAMEN CBU ORDINARIO-2002-I
03. Calcular:
m
V
n
 , en la identidad:    
m x n n x m 3x 56
    
a)
1
4
 b)
7
4
 c)
1
3

d)
1
4
e) 3

PRIMER EXAMEN CBU ORDINARIO-2002-II
04. Dado el polinomio homogéneo:    
c
a 3 a b 3 4 2 b 2
P x,y 10x 2ax x y x y
  
   

3. 3
Proporcione: N a b c
  
a) 6 b) 8 c) 7
d) 5 e) 9
PRIMER EXAMEN CBU ORDINARIO-2003-I
05. Si el polinomio:      
2 2
P x x ax bx c 2x bx cx d 2d 1
        es
idénticamente nulo, halle el valor de: acd
F abcd
 , es:
a) 4 b) 2 c) 6
d) 3 e) 1
PRIMER EXAMEN CBU ORDINARIO-2004-I
06. Proporcione la suma de coeficientes en el siguiente polinomio homogéneo:
   
2 m 4 m n n 5
P x,y m x 3x y n 2 x
 
    , es:
a) 14 b) 12 c) 24
d) 36 e) 34
EXAMEN DE ADMIISÓN ORDINARIO-2004-II
07. En el siguiente polinomio homogéneo:  
2
a 2b
2 a b 256
P x,y,z a x 4aby 9bz
  
con a,b 0
 ; la sumatoria de coeficientes, es:
a) 4 b) 4
 c) 2
d) 3 e) 2

EXAMEN DE ADMIISÓN ORDINARIO-2005-II
08. Si:
        
3 3
a 3b
n 5n 2 2 3n n 8 2
P x,y 5 a n x y 4a 8b 2n x y 5 b n 2n xy

 
       
es polinomio homogéneo, la suma de coeficientes, es:
a) 107 b) 60 c) 95
d) 42 e) 40
TERCER EXAMEN CBU ORDINARIO-2006-I
09. Dado el polinomio:    
2m 1 3 m m 2
P x mx 3x m 2 x
  
    , ordenado en forma
decreciente, la suma de sus coeficientes, es:
a) 1 b) 2 c) 1

d) 0 e) 3
PRIMER EXAMIEN CBU-CICLO INTENSIVO-2007
10. En el polinomio:   3m 2n 4 2m 11 3n 2m n 5
P x 5x y 7x y 6x y
   
   , es homogéneo,
entonces el valor de:”mn” , es:
a) 10 b) 10
 c) 20
d) 30 e) 20

PRIMER EXAMIEN CBU-CICLO ORDINARIO-2007-I
11. Determinad el valor de verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I) En todo polinomio completo de una sola variable, se cumple que el número

4. 4
de términos es igual al grado del polinomio aumentado en la unidad.
II) En todo polinomio completo y ordenado, el menor exponente respecto a su
variable es cero.
III) En cualquier polinomio se cumple que la suma de coeficientes , se obtiene
remplazando a la variable o variables, con las cuáles se está trabajando por
cero.
IV) Todo polinomio homogéneo dependerá de dos o tres o más variables y
todos sus términos tienen el mismo grado.
La secuencia correcta, es:
a) VVFV b) VFVF c) FFVV
d) VVVV e) FFFF
PRIMER EXAMIEN CBU-CICLO ORDINARIO-2007-II
12. Calcular “ab” en la identidad de polinomios:    
a x 2 b x 3 39 2x
    
a) 63 b) 63
 c) 35

d) 28 e) 42
PRIMER EXAMIEN CBU-CICLO INTENSIVO-2008
13. La suma de coeficientes del polinomio:
  a 3 a b 4 b c 1 c d 1
P x dx cx bx ax
      
    , completo y ordenado en forma
ascendente, es:
a) 12 b) 8 c) 7
d) 9 e) 11
CEPRU-CICLO INTENSIVO 2018- PRIMER EXAMEN
14. Sea:   6 k 4 k t 2 t 6
P x,y x y 3x y xy
  
   , un polinomio homogéneo, el valor de:
k+t , es:
a) 14 b) 15 c) 21
d) 11 e) 19
EXAMÉN POR EXONERACION DIRIMENCIA-2018-I
15. Sea el polinomio homogéneo:
  c a b b 1 a 2 c 2 a b 3 3c 1 c b 2
P x,y,z,w y z w y z w x z w x
      
   , completo con relación
a la variable “x” .Determine:    
x y
E GR GR
 
a) 5 b) 8 c) 9
d) 7 e) 6
CEPRU-PRIMER EXAMEN- CEPRU ORDINARIO- 2019- I
16. Si:   n 3 n 2 n 1 a 4
P x x x x ... x
   
     , es un polinomio completo, ordenado
y tiene  
2n 8
 términos, entonces el valor de: "a n"
 , es:
a) 8 b) 13 c) 12
d) 9 e) 10

5. 5
CEPRU-PRIMER EXAMEN- CEPRU ORDINARIO-2019- II
17. Hallar el numero e términos del polinomio:
       
n 12 n 11 n 10
P x n 5 x n 6 x n 7 x ...
  
      
a) 2 b) 4 c) 7
d) 9 e) 11
SIMULACRO DE EXAMEN ORDINARIO- 2019- II
18. La suma de los polinomios:     
P x a x b cx ax 4
     y
    
Q x x b x 2 x
    , origina un polinomio de grado cero, el valor de:
2
K 4cb
 .
a) 9 b) 8
 c) 6

d) 9
 e) 6
01. El grado del polinomio homogéneo   3 a 2 b 6 c
P x,y,z ax y z bx y z cxyz
   es 10
entonces la suma de sus coeficientes será:
a) 0 b) -1 c) -3 d) 5 e) 4
02. Calcular  
a b c d
   , si el polinomio  
P x es homogéneo y la suma de sus
coeficientes es –8.   c c 1 a a b 2c 3
P x,y ax bx y cx y dy
 
   
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16
03. ¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo:
m m 2 2 m 4 4
P(x;y) x x y x y ...
 
    siendo 40 el grado relativo a “y”?
a) 19 b) 20 c) 21 d) 22 e) 23
04. Hallar el grado de homogeneidad del siguiente polinomio:
 
   n
n 1 n
n
n n 1 n 1
P x,y xy x y

 
  
a) 8 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11
05. Hallar la suma de coeficientes del siguiente polinomio homogéneo:
a 5 3 a 1
2 a 4 a 2 b
P(x;y;z) a x b y ab z
 

  
a) 48 b) 50 c) 64 d) 56 e) 58
06. Determinar cuál es la suma de los coeficientes “m” y “n”, de modo que para
cualquier valor de “x”, se cumple:    
7 x m x 1 n x 2
    
a) 1
 b) 1 c) 2
 d) 0 e) 2

6. 6
07. Calcular el valor de: “a+b” si: 1
x
11
)
1
x
(
b
)
2
x
(
a 




a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
08. Hallar “n” si:
P(x) 1 (n x)(n x 1)(n x 2)(n x 3)
         , 2
2
)
19
x
9
x
(
)
x
(
Q 

 ,
son idénticos
a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 2
09. Hallar: “AB” en:    
3 2 2
x 2x 1 x 1 Ax B x 1
 
     
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
10. En la identidad, las variables son x e y
   
3 3 3 3
n n 3
x y y x y 62y
n 1 m 2 4
   
  , Determinar: E 64m n
 
a) 3 b)3 c) 30 d) 20 e) 10
11. Si el polinomio:        
2
P x a b 6abc x a c 3abc x b c 7abc
         se anula para más
de 2 valores de x. Halle el valor numérico de:
3
abc
a b c

 
 
 
 
a) 1 b) 8 c) 64
d) 128 e) 512
12. Hallar “a+b”, en:      
b a
a 2b a 2b
a 1 b a 1 b b
P x,y,z 5x 6y 5z

   
  
se cumple:      
GR x GR y GR z
  ; b 1
 
a) 5 b) 4 c) 7
d) 6 e) 8
13. Si:    
P x P x 1 2x
   ; además  
P x es de segundo grado y no tiene término
independiente. Halle  
P x .
a) 2
x x
 b) 2
x x
  c) 2
x x
 
d) 2
x x
 e) 2
x x

14. Hallar el grado de:
       
3 10 29 1002
P x x 1 x 1 x 1 ... x 1
    
a) 3045 b) 3046 c) 3047
d) 3060 e) 4000
15. Si el polinomio siguiente es idéntico nulo
         
          
2 2 3 2 2 2 2 2
P x a ab b x b 3bc c x a 5ac c x abc 2

7. 7
Halle:      
4 4 4
2 2 2
M a b c b c a c a b
     
a) 321 b) 330 c) 332
d) 323 e) 400
16. En el polinomio homogéneo:   4n 1 4n 2 4n 2 4n 1
R x;y x y y ... xy y
   
    
que también es completo y ordenado, se verifica que la suma de los grados absolutos
de sus términos es 240, hallar su grado de homogeneidad.
a) 5 b) 10 c) 15
d) 20 e) 25
17. Si el polinomio:
         

        
n 1 n n
P x ab ac x ab bc x mx 2x 3 ac bc 4
es idénticamente nulo; halle “m”
a) 2 b) 4 c) 2
d) 4 e) 24
18. Dado el polinomio completo y ordenado:
  2a b c a 3b 2c a 4b 8c 2a b 4c
P x x x x x ...
       
     Determine el número de términos del
polinomio.
a) 79 b) 78 c) 77
d) 76 e) 75
19. Dado el polinomio completo y ordenado, halle su T.I. = ?
 
b a a 5
b a a a 2a 2a 26 c 1
P x cx ax bx 3x ... abc
    
     
a) 4 b) 8 c) 12
d) 16 e) 26
20. Si los polinomios:        
2 2 3 2 2 2 2 2
P x a b x b c x c a x 2abc
      
  3 2
H x abx bcx cax 1
    ; son idénticos. Halle:
           
2 2 2
3 3 3 3 3 3
ab b c bc c a ca a b
P
a b c
    

 
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
21. Si el siguiente polinomio:  
2 2 2
b c a
3 3 3
a b c
a a a
2 a 2 a 2 a
P x,y,z a x b y c z
     
     
  
     
     
Es homogéneo. Halle usted:
3 3 3 3 3 3
a b b c c a
S a b c
c b a c b a
     
  
  
     
     
  
     

8. 8
a) 4 b) 3 c) 2
d) 1 e) 0
22. Calcular: E m n p
   en la siguiente identidad:
       
2 2
10x 5mx 5 m x 1 n x 2 x 1 p x 2 x 1
         
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 14
23. Si se cumple:  
d 1 b c a 4 a 1 a
7x dx bx 1 ax 2a 1 x 5x c
  
       
Hallar el valor de:  
a b c d
  
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
24. Dados:
        
        
4 4 4 4 4 4
P(x) E x 2 x 3 N x 4 x 3 A x 4 x 2
8 4
Q(x) 18x 7x 12
   , si P(x) Q(x)
 ,Proporcione: V 3E 6N 4A
  
a) 6
 b) 9 c) 6
d) 9
 e) 12
25. En cuánto difieren los coeficientes “n” y “k” para que con cualquier valor de “x”
se verifique que:    
27 8x n x 4 k 2x 3
    
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
26. Halle el término independiente del polinomio:
3n m 2n 3m b m n b a 5
P(x) x 2x 3x 4x ... qx
    
      si es completo y ordenado en forma
decreciente.
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e) 10
27. Indicar la suma de los coeficientes del siguiente polinomio:
   
2 2n 6 2 2n 5 2 2n 4
P(x) n x n 1 x n 2 x ....
  
      si es completo y ordenado.
a) 10 b) 15 c) 25
d) 45 e) 35
28. Si los polinomios:
a 2 4a 3
P(x,y) a x cxy b y
   ,   b 3 b 2
Q(x,y) 9 2c xy a y b x
   
Son idénticos, calcular:
c
E
ab

a) 24 b) 12 c) 6
d) 3 e) 1