Análisis Matematico II

1. 13. ƒ(x,y) = (x – y + 1)²
Ƒx = 2(x – y +1) = 0
Ƒy = -2(x – y +1) = 0
X – y = -1
Ƒxx = 2
Ƒxy = -2
Ƒyy = 2
Usamos Hessiano
Hessiano D = ƒxx. Ƒyy – (ƒxy)²
D = 2x2 – (-2) ² = 0
Entonces el pto critico no es ni pto silla ni mínimo ni máximo.
14. ƒ(x,y) = 2x²- xy -3x – 3y² +7yxx
ƒx = 4x – y -3 = 0
ƒy = -x – 6y + 7 = 0
(4 x – y= 3). 6 + x + 6y -7/ 25x = 25 ͢ x= 1, y= 1
El pto critico es (1,1)
Ƒxx = 4
Ƒxy = -1
Ƒyy = -6
Hessiano D = ƒxx. Ƒyy – (ƒxy)²
D = (4).(-6) – (-1)² = - 25 < 0
Entonces el pto (1,1) es un pto de silla
Vemos la segunda derivada: ƒxx = 2 > 0
El pto (1,0) es un pto mínimo.

2. 15. ƒ(x,y) = x² -xy + y² -2x + y
Ƒx = 2x –y -2 = 0
Ƒy = -x + 2y + 1 = 0
(2x – y = 2).2͢ x-2y = 1/ 3x = 3 ͢ x= 1, Y= 0
El pto critico es (1,0)
Ƒxx = 2
Ƒxy = -1
Ƒyy = 2
Hessiano D = ƒxx. Ƒyy – (ƒxy)²
D = (1,0) = 2. (2) – (-1)² = 3 > 0
Es un pto máximo o mínimo
Vemos la segunda derivada: ƒxx = 2 >0
El punto (1,0) es un punto minimo
16. ƒ(x,y) = x³ -3xy² + y³
Ƒx = 3x² -3y² = 0 ͢ 3(x+y)(x-y) = 0
Ƒy = -6xy + 3y² = 0 ͢ 6xy = 3y² = 2x= y
(x +2x) (x -2x) = 0 ͢ x = 0; y = 0
El punto crítico es (0,0)
Ƒxx = 6x
Ƒxy = -6y
Ƒyy = -6x + y
Hessiano D = ƒxx. Ƒyy – (ƒxy)²
D = (6x) (-6y) – (6y - 6x)²
D (0,0) = 0 ͢ como el hessiano da cero, el punto (0,0) no es max, ni min, ni
pto de silla

3. 17. Ƒ(X,Y) = x²y³(6-x-y)
Ƒ(X,Y) = 6 x²y³- x³y³-x²𝑦4
Ƒx = 12x y³-3 x²y³-2x 𝑦4 = 0
Ƒy = 18x y³- 3x³𝑦2-4x²𝑦3 = 0
Ƒxx = 12𝑦3- 6x𝑦3 - 2𝑦4
Ƒxy = 36x²y + 9x²y² - 8xy³
Ƒyy = 36x²y – 6x³y – 12x²y²
En (0,0) D = 0 no es ni Max ni min, ni pto silla
18. Ƒ(X,Y) = x³+y³-3xy
Ƒx= 3x²-3y=0
Ƒy= 3y²-3x=0
Ƒxx= 6x
Ƒxy= -3
Ƒyy= 6y
Hessiano (0,0)
D= (6x)6y-(-3)²= -9<0
(0,0) es punto de silla
Hessiano (1,1)
D= (36xy) -(-3) ²=36-9=27>0
Es un máx o mín
Como Ƒxx = 6x=6(1)>0
(1,1) es un mínimo