Este documento presenta diferentes métodos para encontrar extremos de funciones sujetos a restricciones, incluyendo el método de Lagrange, la matriz jacobiana y las condiciones de Kuhn-Tucker. Incluye un ejemplo de encontrar el valor máximo y mínimo de una función sobre el borde de una pantalla usando el método de Lagrange.

1. Ejercicios Resueltos
Métodos
Extremos no restrictos con dos variables
Método de Lagrange
Matriz Jacobiana
Condiciones de Kuhn Tucker
Realizado Por:
Angel Moquete
C.I. 19585770
Sección: SAIA 3GPorlamar 16 de Enero del 2016Prof. Alejandra Torres

2. Extremos no restrictos con dos variables
Hallar extremos restringidos significa determinar los extremos de una función f(x; y) sujetos a una restricción g(x; y) = 0.
Para ello debe plantearse la ecuación vectorial:
∇f = λ∇g El valor λ se conoce como multiplicador de Lagrange y es un auxiliar para determinar los valores de las
variables del dominio que satisfacen la ecuación vectorial y la restricción. Si existen varias restricciones, se plantean
varios multiplicadores.
La ecuación representa el borde de la pantalla de un monitor. Si el campo eléctrico viene dado
por la función:
1
𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2
Hallar el valor máximo y mínimo de este sobre el borde de la pantalla
2𝑥4
+ 3𝑦4
= 32

3. Solución
Sea g(x;y)= 2𝑥4
+ 3𝑦4
. 𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠:
∇f = λ∇g=>
−
𝑥
(𝑥
2
+ 𝑦2)
3
2
= ∇8𝑥3
−
𝑥
(𝑥
2
+ 𝑦2)
3
2
= ∇12𝑥3 𝑠𝑖(𝑥, 𝑦) ≠(0;0)
=>
𝑥
𝑦
=2
3
𝑥3
𝑦3=> y = ±
2
3
x v x= 0

4. Extremos no restrictos con dos variables
Continuación
Para obtener el resultado anterior dividimos ambas ecuaciones abarcadas por
las llave, por lo cual debemos considerar aparte el caso en que Y =0, para cual
ambas división no seria posible.
Analizando todos los casos posibles tenemos:
Y=±
2
3
x=>2𝑥4 + 3𝑦4 + 2𝑥4 +
4
3
𝑥4= 32=> X=±
4 96
10
=> y =±
4 192
45
Con estos valores tenemos f(x;y)= 0,44.

5. Extremos no restrictos con dos variables
Continuación
Los Otros dos casos son:
X=0 =>3𝑦4 = 32 ⇒ 𝑦 = ±
4 32
3
⇒ 𝑓 0; ±
4 32
3
= 0,55
X=0 =>3𝑦4 = 32 ⇒ 𝑦 = ±
4 32
3
=± 2 ⇒ 𝑓 ±2; 0 = 0,5
Comparando los tres valores obtenidos, el mínimo valor será 0,44 y el máximo
valor será 0,55.

6. Método de Lagrange
Condición necesaria:
(*)
(*)Observemos que la condición equivale a pedir que se satisfaga la restricción.

7. Método de Lagrange
Continuación
Resolvemos:
Obtenemos:
Condición suficiente: definida positiva
es un mínimo condicionado o restringidoResultado

8. Matriz Jacobiana
La matriz jacobiana de la función F : R3 → R3 definida como:
F(x_1,x_2,x_3)=(x_1,5x_3,4x_2^2 – 2x_3)
Es:

9. Condiciones de Kuhn Tucker archivo
Considere el problema
máximo x 1, x 2 [- (x 1 - 4) 2 - (x 2 - 4) 2] con sujeción a x 1 + x 2 ≤ 4 y x 1 + 3 x 2 ≤
9,
se observa en la siguiente figura.

10. Condiciones de Kuhn Tucker archivo
Continuación
Solución
L (x 1, x 2) = - (x 1 - 4) 2 - (x 2 - 4) 2 - λ 1 (x 1 + x 2 - 4) - λ 2 (x 1 + 3 x 2 - 9) .
Las condiciones de Kuhn-Tucker son
2 (x 1 - 4) - λ 1 - λ 2 = 0
-2 (X 2 - 4) - λ 1 - 2 3λ = 0
x 1 + x 2 ≤ 4, λ 1 ≥ 0 y λ 1 (x 1 + x 2 - 4) = 0
x 1 + 3 x 2 ≤ 9, λ 2 ≥ 0, y λ 2 (x 1 + 3 x 2 - 9) = 0.