EJERCICIO DE DINAMICA ESTRUCTURAL

1. 3. Ecuación de Movimiento
Para el sistema mostradoenla figura 3 el posiblemovimientodel sistema esta generadopor la
fuerza p ̄(t) = carga/longitud (Carga distribuida) que generaría una deformación Z(t), la masa de
la barra rígida es m = ̄m · 3L, la masa total del disco circular es m, la barra que rodea a la polea
no tiene fricción y noes capazde extenderse. Determinar la ecuación de movimientocon
coeficientes generalizados m∗, c∗, k∗ y p∗ (t), ademásde la frecuencia naturalde vibración ωn
Hint: Puededividir el sistema en 02, cortandodel cable de la polea.
SOLUCIÓN
CUERPO1

2. CCUERPO2
Calculo de magnitud de carga
P(t) = 2L* p¯(t)
Calculo de deformaciones en los puntos A, B y C.
 AA′=0
 BB′=
𝑍(𝑡)
2
 CC′=𝑧(𝑡)
Cálculo de magnitud de fuerzas
 𝑝 =2L* p(𝑡)
 𝑓𝑠 = 𝐾∆
𝑓𝑠 = 𝐾*Z(t)
 𝑓𝐷 = C𝜟
̇
 𝑓𝐼 = m𝑖
𝑧̈(𝑡)
2
 Mji= δjiӪ

3. a) Fuerza inercial
𝑓𝐼 = m𝑖
𝑧̈(𝑡)
2
=
3𝐿𝑚
̅
2
𝑧̈(𝑡) =
3
2
𝑚
̅𝐿𝑧̈(𝑡)
b) Momento de inercia
El momento de inercia para la barra en el centro es
Mji=δjiӪ=
𝑚𝑖(𝐿𝑡)2Ӫ
12
=
𝑚𝑖(𝐿𝑡)2
12
∗
𝑧̈(𝑡)
3𝐿
= 3𝐿𝑚
̅(3𝐿)2 𝑧̈(𝑡)
36𝐿
Mji =
3
4
𝑚
̅(𝐿)2𝑧̈(𝑡)
c) Fuerza amortiguamiento
𝑓𝐷 = C𝜟
̇ = 𝒄𝒛̇(𝒕)
d) Fuerza elástica
𝑓𝑠 = 𝐾Z(t)
Como ya tenemos las fuerzas hacemos la suma de trabajos virtuales.
∑𝛿𝜀 = 0
−
3
2
𝑚
̅𝐿𝑧̈(𝑡)
𝛿𝑧
2
−
3
4
𝑚
̅(𝐿)2𝑧̈(𝑡)
𝛿𝑧
3𝐿
− 𝑐𝑧̇(𝑡)𝛿𝑧 − KZ(t)𝛿𝑧 + 2𝐿𝑃
̅(t)
𝛿𝑧
3
= 0
Reducimos la expresión y tenemos lo siguiente
5
4
𝑚
̅𝐿𝑧̈(𝑡) + cż(t)+ Kz(t) =
3
2
𝐿𝑃
̅(t)
Finalmente tenemos la ecuación de movimiento
5
4
𝑚
̅𝐿𝑧̈(𝑡) + cż(t)+ Kz(t) =
3
2
𝐿𝑃
̅(t)
𝑚∗𝑧̈(𝑡) + c∗ż(t) + k∗z(t) = 𝑃∗
Frecuencia natural de angular de vibración
𝑤 = √
k∗
𝑚∗

4. 𝑤 = √
K
5
4
𝑚
̅𝐿
= √
4K
5𝑚
̅𝐿
𝑟𝑎𝑑/𝑠
4. Deducir la expresión
De acuerdo con la metodologíadescrita en clases, deducirlos pasoshastallegar a la fórmula de
la respuesta en el tiempode deformación u(t) para vibración libre de unsistema
sobreamortiguado.
𝑢(𝑡) = 𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡 [𝑢(0)𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜔
̂𝑛𝑡) +
𝑢 ̇(0) + 𝜁𝜔𝑛 𝑢(0)
𝜔
̂𝑛
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝜔
̂𝑛𝑡) ]
𝜔
̂𝑛 = 𝜔𝑛√𝜁2 − 1
Para u(t) para vibracionlibre de un sistemasobreamoritiguado, seiniciará con las siguientes
ecuaciones
 𝑚ü + 𝑐𝑢̇ + 𝑘𝑢 = 𝑚ü𝑔(𝑡) …… ...(1)
 ü + ɀ𝑤𝑛𝑢̇ + 𝑤𝑛𝑢 = 0… …… ……(2)
𝑢 = 𝑒𝜆𝑡 reemplazamosen la ecuación (2) 𝑒𝜆𝑡 (𝜆2 + 2ɀ𝑤𝑛𝜆 + 𝑤𝑛
2) = 0 (ecuacion
caracteristica)
Luego igualamosa cero (𝜆2 + 2ɀ𝑤𝑛𝜆 + 𝑤𝑛
2) = 0 esta expresiony buscamoslas raíces de λ,
tenemos:
(𝜆12 = 𝑤𝑛 − 𝜁 ± √𝜁2 − 1),(𝜁 > 1) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑤𝑛 = 𝑤𝑛√𝜁2 − 1 reemplazandoeste valor
tenemoslo siguiente: 𝜆12 = 𝑤𝑛(−𝜁 ±
ῶ𝑛
𝑤𝑛
)
u(t) = 𝑎1𝑒𝜆1𝑡 + 𝑎2𝑒𝜆2𝑡 ……………….soluciongeneral
Reemplazamos 𝜆12 en la solucióngeneral:
𝑢(𝑡) = 𝑎1𝑒𝜔𝑛(−𝜁−√𝜁2−1)𝑡 + 𝑎2𝑒𝜔𝑛(−𝜁+√𝜁2−1)𝑡,𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑐𝑜𝑚ú𝑛
𝑢(𝑡) = 𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡[𝑎1𝑒−𝜔
̂ 𝑛𝑡 + 𝑎2𝑒𝜔
̂𝑛𝑡 ]
𝐸𝑢𝑙𝑒𝑟: 𝑒𝑥 = 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 + 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 𝑦 𝑒−𝑥 = 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥
Reemplazamosen la ecuación anterior el siguiente valor
𝑒−𝜔
̂ 𝑛𝑡 = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜔
̂𝑛𝑡) + 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝜔
̂𝑛𝑡) 𝑦 𝑒−𝜔
̂ 𝑛𝑡 = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜔
̂𝑛𝑡)− 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝜔
̂𝑛𝑡)

5. 𝑢(𝑡) = 𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡[𝑎1(cosh(𝜔ˆ𝑛𝑡) − 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝜔ˆ𝑛𝑡)) + 𝑎2(cosh(𝜔ˆ𝑛𝑡) + 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝜔ˆ𝑛𝑡))]
𝑢(𝑡) = 𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡[cosh(𝜔ˆ𝑛𝑡)(𝑎1 + 𝑎2) + 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝜔ˆ𝑛𝑡)(𝑎1 − 𝑎2)]….. ….. (3)
Aplicamos la condición de borde: 𝑢 (0) 𝑦 𝑢 ̇(0) quevalores nosresulta
𝑢(0) = 1[1(𝑎1 + 𝑎2)+ 0(𝑎1 − 𝑎2)]… (I)
𝑢 ̇(0) = −𝜁𝜔𝑛1[1(𝑎1 + 𝑎2)+ 0(𝑎2 − 𝑎1)] + 1[0(𝑎1 + 𝑎2)𝜔
̂𝑛 + 1(𝑎2 − 𝑎1)𝜔
̂𝑛]
𝑢 ̇(0) = −𝜁𝜔𝑛(𝑎1 + 𝑎2) + (𝑎2 − 𝑎1)𝜔𝑛 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 (𝑎1 + 𝑎2) = 𝑢(0)
𝑢 ̇(0) = −𝜁𝜔𝑛𝑢(0) + (𝑎2 − 𝑎1)𝜔
̂𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 (𝑎2 − 𝑎1)
(𝑎2 − 𝑎1) =
𝑢 ̇(0) + 𝜁𝜔𝑛𝑢(0)
𝜔
̂𝑛
𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 (𝑎1 + 𝑎2) 𝑦 (𝑎2 − 𝑎1) 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (3) 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎
𝑢(𝑡) = 𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡 [𝑢(0)𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜔
̂𝑛𝑡) +
𝑢 ̇(0) + 𝜁𝜔𝑛 𝑢(0)
𝜔
̂𝑛
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝜔
̂𝑛𝑡) ]
𝑢 ̇(0) = −𝜁𝜔𝑛1[1(𝑎1 + 𝑎2)+ 0(𝑎2 − 𝑎1)] + 1[0(𝑎1 + 𝑎2)𝜔
̂𝑛 + 1(𝑎2 − 𝑎1)𝜔
̂𝑛]
𝑢 ̇(0) = −𝜁𝜔𝑛(𝑎1 + 𝑎2) + (𝑎2 − 𝑎1)𝜔𝑛 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 (𝑎1 + 𝑎2) = 𝑢(0)
𝑢 ̇(0) = −𝜁𝜔𝑛𝑢(0) + (𝑎2 − 𝑎1)𝜔
̂𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 (𝑎2 − 𝑎1)
(𝑎2 − 𝑎1) =
𝑢 ̇(0) + 𝜁𝜔𝑛𝑢(0)
𝜔
̂𝑛
Finalmente
𝑢(𝑡) = 𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑡 [𝑢(0)𝑐𝑜𝑠ℎ(𝜔
̂𝑛𝑡) +
𝑢 ̇(0) + 𝜁𝜔𝑛 𝑢(0)
𝜔
̂𝑛
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝜔
̂𝑛𝑡) ]