Guía de Pensamiento lógico N° 06 Razones y proporciones de la Universidad César Vallejo. Estudiante de I Ciclo. Formación General

1. - 1 -

2. - 2 -
Día Mundial de la Población
Como todos los años, el 11 de julio se conmemora el Día Mundial de la Población1. Al 30 de junio del
año 2015, en el Perú éramos 31 millones 151 mil
643 personas. Hacia el 2021, año del
bicentenario de nuestra independencia nacional
superaremos los 33 millones y para el año 2050
se estima que llegará a 40 millones de
habitantes. Aunque el ritmo de crecimiento se ha
desacelerado, la población ha seguido en
aumento y seguirá creciendo por muchos años
más. Entre el 2015 y 2021, cada año se
sumarán 333 mil nuevas personas.
Población y Territorio
¿Cuál es la superficie donde vivimos?
Somos el decimonoveno (19) país más extenso
del mundo con: 1 millón 285 mil 216 Km2.
¿Dónde se concentra la población?
A nivel nacional, la densidad poblacional es de
24,2 hab./km²; siendo mayor en los
departamentos ubicados en la costa: Provincia
Constitucional del Callao (6 949,0 hab./km²),
seguido del departamento de Lima (282,4
hab./km²), Lambayeque, (87,1 hab./km²), La
Libertad, (72,9 hab./km²), Piura (51,7
hab./km²), y Tumbes (50,9 hab./km²).
Por el contrario, son los departamentos de la
selva los que presentan la menor densidad
poblacional: Madre de Dios, (1,6 hab. /km²),
Loreto (2,8 hab./km²), Ucayali (4,8 hab./km²) y
Amazonas, (10,8 hab./km²).
Recuperado de:
https://www.inei.gob.pe/media/MenuRecursivo/publicaciones_digitales/Est/Lib1251/Libro.pdf
Es importante considerar que la densidad poblacional no refleja fielmente la realidad, ya que dentro
de un mismo territorio existen normalmente grandes diferencias.
En el desarrollo de la presente sesión aplicaremos razón y proporción para determinar cómo se
calcula la densidad poblacional, así mismo podremos determinar cuánto más grande es la superficie
de un país respecto a otro.
Introducción

3. - 3 -
La siguiente tabla muestra los ingresos obtenidos por Juan en el primer trimestre del año por
concepto de comisión en la venta de productos orgánicos.
Mes Ingreso (S/)
Enero 1 200
Febrero 2 100
Marzo 3 600
Observamos que:
• El ingreso de febrero excede al de enero en S/ 900.
• El ingreso de enero es excedido por el de marzo en S/ 2 400.
• El ingreso de marzo es mayor en S/ 1 500 al ingreso de febrero.
• Los ingresos de los meses de marzo y enero se diferencian en S/ 2 400.
También:
• El ingreso de enero es la tercera parte del ingreso del mes de marzo.
• El ingreso que obtuvo Juan en marzo es el triple de su ingreso de enero.
• El ingreso de marzo es dos veces más que el ingreso de enero.
• Los ingresos de marzo y enero son proporcionales a 3 y 1.
• Por cada 3 soles de ingreso de marzo, en enero obtuvo 1 sol.
• Por cada 4 soles obtenido enero, en febrero obtuvo de 7 soles de ingreso.
• Los ingresos de enero y febrero están en la relación de 4 a 7, respectivamente.
• El ingreso de marzo es como 12 y el ingreso de febrero es como 7.
• El ingreso de enero, febrero y marzo se encuentran en la relación a los números 4; 7 y 12,
respectivamente.
“Es la comparación de dos cantidades mediante una operación aritmética (sustracción -división)”
(Asociación Fondo de Investigadores y Editores, 2006, p. 434).
1.1 Razón aritmética
La razón aritmética (r) de las cantidades a y b se calcula mediante la sustracción.
a – b = r ; siendo r el valor de razón aritmética
1.2 Razón geométrica
La razón geométrica (k) de las cantidades a y b se calcula mediante la división.
k
b
a

, donde k es el valor de la razón geométrica.
RAZONES Y PROPORCIONES
1. Razón

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Ejemplo 1:
En una conferencia donde asisten 1200 personas. La relación entre hombres y mujeres,
asistentes, es como 7 es a 8 respectivamente. Determina el número de hombres que
asistieron
DATOS PLANTEAMIENTO RESOLUCIÓN
N° de personas: 1200
H: hombres
M: ________
H+M=
𝐻
𝑀
=
8
=k
7𝐾
8𝐾
7K+8K= 1200
15K=1200
K=
Número de hombres
7(80) =
RESPUESTA El número de hombres que asistieron fue ……….
Ejemplo 2:
Los ingresos semanales de un evaluador de programas de educación en salud y un psicólogo
organizacional en empresas privadas están en la relación de 5 a 3 respectivamente. Si el
psicólogo organizacional gana S/ 350 menos que el evaluador de programas. Determinar,
¿cuánto gana al mes cada uno de ellos?
Resolución
e: ingreso semanal del evaluador de programas de educación en salud
p: ingreso semanal del psicólogo organizacional en empresas privadas
 Ingresos en la relación de 5 a 3






k3p
k5e
k
3
p
5
e
3
5
p
e
 El psicólogo organizacional gana S/ 350 menos que el evaluador de programas.
e – p =350  Reemplazando: 5k – 3k = 350
2k = 350
k = 175
 Ahora, calculamos los ingresos semanales:
e =5(175) = 875
p =3(175) = 525
 Luego, determinamos sus ingresos mensuales:
e =875(4) = 3 500
p =525(4) = 2 100
Respuesta: El evaluador de programas de educación y el psicólogo organizacional en
empresas privadas ganan mensualmente S/ 3 500 y S/ 2 100, respectivamente.
Analicemos la siguiente situación:
Antonio es un pensionista de la administración pública que recibe mensualmente S/450, de
los cuales ahorra S/ 120; por su parte Beatriz pertenece al Decreto Ley 19990 y recibe S/
60 más que Antonio, y mensualmente ahorra S/ 180; mientras que Carlos trabaja en el
Consejo Nacional de la Magistratura y su remuneración mensual es S/ 1 800, de los cuales
ahorra S/ 480.
Notamos que:
 Antonio gasta mensualmente S/330.
 Los gastos de Beatriz, también, ascienden a S/330.
2. Proporción

5. - 5 -
Es decir:
Gastos mensuales (S/)
Antonio 450 – 120 = 330
Ambos gastan la misma
cantidad de dinero:
450 – 120 = 510 – 180Beatriz 510 – 180 = 330
Así mismo:
 Antonio ahorró 120 soles de los S/ 450 que recibió.
15
4
450
120
muneraciónRe
Ahorra
 ;
Antonio ahorra S/ 4 por cada 15 soles que recibe.
 Carlos ahorra 120 soles de los S/ 450 que recibió.
15
4
8001
480
muneraciónRe
Ahorra
 ;
Carlos ahorra S/ 4 por cada 15 soles que recibe.
 Tanto Antonio como Carlos ahorran S/ 4 por cada S/ 15 de sus remuneraciones
mensuales.
 Antonio y Carlos ahorran en la misma proporción:
15
4
8001
480
450
120

2.1 Proporción aritmética
Es la igualdad de dos razones aritméticas. a – b = c – d
2.2 Proporción geométrica
Es la igualdad de dos razones geométricas.
d
c
b
a

Ejemplo:
Si Julio, diseñador y gestor de proyectos urbano-arquitectónicos sostenibles, recibe una
comisión de S/750 por dos plano, ¿cuántos planos tendrá que elaborar para recibir S/ 3
750?
Resolución
En 2 planos recibe una comisión de S/ 750; como en x planos se recibe S/ 3 750.
3750
x
750
2
:
/)S(Comisión
planosºN
  x=10
Respuesta: Julio tendrá que elaborar 10 planos.
3.1 Magnitud
Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser percibido por algún medio.
Además, posee la característica de variar, ya sea aumentando o disminuyendo (Rubiños,
2011,p. 147).
Ejemplo:
 La longitud de una carretera
 La duración del recorrido de un atleta
 La rapidez de un vehículo
 El número de estudiantes en el aula
MAGNITUDES PROPORCIONALES

6. - 6 -
3.2 Cantidad
Es el resultado de medir una determinada magnitud en ciertas uni dades.
MAGNITUD CANTIDAD
Longitud 5 km
Área 6 m2
Tiempo 2 horas
N° de obreros 18 obreros
3.3 Relaciones entre dos magnitudes
Dos magnitudes son proporcionales cuando al variar el valor de una de ellas, el valor
correspondiente de la otra magnitud también varía. Se pueden relacionar de dos maneras:
3.3.1 Magnitudes directamente proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales si al aumentar o disminuir los
valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra magnitud también
aumentan o disminuyen en la misma proporción.
Así mismo, la Asociación Fondo de Investigadores y Editores. (2006) precisa que dos
magnitudes A y B son directamente proporcionales (D.P), si varían en proporción directa. Es
decir, si al multiplicar el valor de una de ellas por un número, el valor de la otra magnitud
también queda multiplicado por el mismo número racional. (p. 442).
Así, cuando duplicamos el valor de una de ellas, entonces, también se duplica el
correspondiente valor de la otra magnitud; o cuando triplicamos una de ellas, entonces,
también se triplica el correspondiente valor de la otra magnitud, etc.
Ejemplo:
Si compro libros cada uno a S/50, al analizar cómo varía el valor del costo total, cuando
varía el número de libros, se tendrá:
Costo total 50 150 200 450
N° de libros 1 3 4 9
Se observa:
Costo total
50
9
450
4
200
3
150
1
50
N° de libros
El cociente de cada par de valores correspondientes es el mismo.
En general:
A DP B  k
)Bdevalor(
)Adevalor(
 (constante de proporcionalidad)

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Es decir: k
b
a
...
b
a
b
a
b
a
n
n
3
3
2
2
1
1

Representación gráfica de dos magnitudes directamente proporcionales
Interpretación gráfica
 La gráfica de dos magnitudes DP es una recta que pasa por el origen de las coordenadas.
 En cualquier punto de la gráfica (excepto el origen de coordenadas) el cociente de cada
par de valores correspondientes resulta una constante.
3.3.2 Magnitudes inversamente proporcionales (IP)
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si al aumentar o disminuir los
valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra magnitud disminuyen
o aumentan en la misma proporción. Es decir: “Dos magnitudes son inversamente
proporcionales si al multiplicar el valor de una de ellas por un número, el valor de la
otra magnitud queda dividido por dicho número.” (Asociación Fondo de
Investigadores y Editores, 2006, p. 444).
Así, cuando duplicamos el valor de uno de ellos, el otro se reduce a la mitad, o
cuando triplicamos el valor de uno de ellos, el otro se reduce a su tercera parte.
Ejemplo:
Para pintar las 60 habitaciones idénticas de un edificio se desea contratar obreros que
pinten una habitación. Al analizar cómo varía el tiempo según el número de pintores
contratados, se tendrá:
N° de pintores 1 2 6 30 12
N° de días 60 30 10 2 5
Se observa:
(N° de pintores)(N° de días)  60512230106302601 

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El producto de cada par de valores correspondientes es el mismo.
En general:
A IP B kBdevalorAdevalor ))((  (constante de proporcionalidad)
Representación gráfica de dos magnitudes inversamente proporcionales
Interpretación gráfica
 La gráfica de 2 magnitudes IP es una rama de hipérbola equilátera.
 En cualquier punto de la gráfica el producto de cada par de valores correspondientes
resulta una constante.
3.4 Análisis comparativo de magnitudes:
MAGNITUD RELACIÓN MAGNITUD
Obra Número de horas diarias
Obra Rendimiento
Obra Dificultad
Número de días Obrero
Número de días Número de horas diarias
Número de días Rendimiento
Número de obreros Número de horas diarias
Número de obreros Rendimiento
Número de obreros Dificultad
Número de horas diarias Rendimiento
Número de horas diarias Dificultad
Gastos Número de artículos
Precio Demanda
Remuneración Número de días de trabajo
Área de un terreno Precio
Acciones Utilidades

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3.5 Proporcionalidad compuesta
La proporcionalidad compuesta nos permite resolver problemas en los que intervienen más
de dos magnitudes que mantienen entre sí relaciones de proporcionalidad (Céspedes,
Farfán, García, Gutiérrez y Medina, , et al. 2005, p. 83).
Cuando en un problema se presentan más de dos magnitudes, es recomendable expresarlas
a través de una sola fórmula proporcional.
Así tenemos que:
 Si en un problema se presentan las magnitudes: A, B, C, D y E, estas se deben analizar
dos a dos, tomando a una de ellas como referencia, para el análisis y manteniendo a las
otras en su valor constante.
 Si se presentan las magnitudes A,B,C,D y E; además se relacionan de la siguiente
manera:
A DP B
A IP C k
EDB
CA



A DP D
A DP E
Esto es: k
edb
ca
edb
ca
222
22
111
11






Ejemplo:
18 ingenieros han desarrollado 90 planos para un conjunto habitacional en 3 días
trabajando a razón de 6 h/d. ¿En qué tiempo 12 ingenieros que son el triple de eficientes
que los anteriores desarrollarán 120 planos que son 3 veces más complejos que los otros, si
trabajan a razón de 12h/d?
N°
ingenieros
N°
planos
N° días N° de h/d Eficiencia Complejidad
I 18 90 3 6 1 1
II 12 120 n 12 3 4
De las relaciones entre las magnitudes:
(N°ingenieros)(N° de días)(N° de h/d)(Eficiencia) = k
(N° de planos) (Complejidad)
Con los valores numéricos, tenemos:
4120
312n12
190
16318





n = 4
Respuesta: 4 días

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3.6 Caso especial: RUEDAS ENGRANADAS
Recuperado de: https://lh4.googleusercontent.com/-
FalZlOQ3QMM/T7aFes7jVeI/AAAAAAAAA8U/VzOO1aiabbs/s320/trenengranajes.jpg
A mayor número de dientes, menor número de vueltas.
A menor número de dientes, mayor número de vueltas.
Por lo tanto: (N° vueltas) IP ( N° dientes) (N° vueltas)( N° dientes)=k
Ejemplo:
Se tienen 2 ruedas engranadas, la más grande tiene 66 dientes y engrana con otra rueda que
tiene 30 dientes. Si la más grande da 10 vueltas por minuto, ¿cuántas vueltas dará la más
pequeña en 4 minutos?
(66)(10) = (30)(x)
x= 22 vueltas
Rpta. Por lo tanto, en 4 minutos dará 88 vueltas.

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1. En la ciudad de Lima, el número de lectores
de los periódicos Libero y el de Ojo están
en razón de 3 a 5. Si se certifica que hay
162 840 lectores de Libero, ¿cuántos hay de
Ojo?
2. Por un reportaje fotográfico tres fotógrafos
cobraron 6720 dólares. Del reportaje, 14
fotos eran del primer fotógrafo, 18 del
segundo y 24 del tercero. ¿Qué cantidad de
dólares le corresponde a cada uno?
3. The City Barber shop desea repartir entre el
personal que labora un estímulo económico
de S/ 2 035 en forma inversamente
proporcional a sus tardanzas , según el
cuadro siguiente:
Empleados Minutos de tardanza
María 5
Sara 10
Laura 4
¿Cuánto le corresponde a María?
4. La empresa textil “ALPACA SAC” desea
premiar a sus trabajadoras con un bono
extra de S/ 19 220 en forma directamente
proporcional a las horas extras trabajadas
de acuerdo al siguiente cuadro de datos:
¿Cuánto le corresponde a Bertha?
Trabajadoras
Horas
extras
Rosa 120
Juan 216
Bertha 240
Miguel 168

12. - 2 -
5. Tomas, Elías y Dante, Practicantes de la
Escuela de Enfermería, deben adquirir un
tensiómetro digital. La cantidad de dinero
que tienen para la compra, son entre sí
como 2; 3 y 7, respectivamente. Si la suma
del dinero que tienen Tomas y Elías es S/
90, ¿cuánto cuesta el tensiómetro digital?
6. El contador de la empresa “ALEZYA”
desea otorgar a sus trabajadores un
aguinaldo por fiestas patrias de S/ 34300
en forma inversamente proporcional al
número de tardanzas, de acuerdo al
siguiente cuadro de datos. ¿Cuánto le
corresponde a cada trabajador?
7. En el estudio de abogados Chirinos el
número de abogados asignados es D.P a los
casos legales resueltos e inversamente
proporcionales al tiempo que tienen para
realizarlos. Si 20 abogados resuelven 90
casos en 3 días, ¿cuántos abogados se
necesitan para resolver 120 casos en 8 días?
8. Un contador desea comprar una laptop cuyo
precio varía proporcionalmente a su tamaño
en pulgadas e inversamente proporcional a
los años de antigüedad. Si una laptop cuesta
S/2140 y su tamaño es de 16 pulgadas y
tiene 2 años de antigüedad, ¿Cuánto costará
otra laptop que tiene 3 años de antigüedad y
que mide 18 pulgadas?
EMPLEADO
N° de Tardanzas
Ana 5
Bertha 4
Carmen 5
Diana 6

13. - 3 -
9. En una fábrica de elementos de sujeción se
determina que el peso de una caja de
tornillos autorroscante es DP al número de
tornillos que contiene. Si una caja de 245
tornillos autorroscante pesa 735 kg,
¿Cuánto pesará otra caja que contiene 340
tornillos?
10. El costo por el pintado de un mural es DP
a su área e IP al tiempo en que se realiza.
Si se cobró por un mural de 6 metros de
largo por 2 metros de alto S/ 1 500 soles,
el cual se pintó en 2 días, ¿cuánto costará
otro mural cuya área es tres veces más que
el área anterior, en un periodo de 5 días?
11. El costo de una casa en La Molina es IP a
la distancia que hay de dicho inmueble a
la playa y DP al número de pisos que
posee dicha casa. Si se observa que una
casa cuesta $ 80 000, ¿cuánto costará otra
que tiene el doble de número de pisos
situado a una distancia cuádruple que la
anterior?
12. En la tienda HIRAOKA El precio de una
lavadora varia en forma proporcional a su
tamaño e inversamente proporcional con
los años de antigüedad de su motor. Si una
lavadora que mide 120 cm3, cuya
antigüedad del motor es de 4 años, tiene
un precio de S/ 1 800, ¿Cuánto costará
una lavadora de 160 cm3 sabiendo que su
motor tiene 8 años de antigüedad?

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13. Luis y Carlos son estudiantes de
Ingeniería de Sistemas que invierten en un
proyecto de software, pero nos informan
que lo que tiene Luis es a lo que tiene
Carlos como 13 es a 18. Así mismo, si
uno de ellos le da al otro S/. 80, entonces
ambos tendrán la misma cantidad.
¿Cuántos nuevos soles tienen entre los
dos?
14. La Oficina de Recursos Humanos de la
empresa “Importaciones Medina ”, decide
que el bono de navidad para sus gerentes
será DP a los contratos realizados e IP a
las inasistencias, Si un gerente realiza 120
contratos y falta dos días, tiene un bono de
s/.2 610, ¿cuánto recibirá otro gerente que
realiza 200 contratos y tiene 6 días de
inasistencia?
15. Una donación de 10 500 tarros de leche
fueron entregados en Puente Piedra, que
deben ser distribuidos entre los comedores
populares ‘Emprendedores’, ‘Fortaleza’ y
‘Buen Ánimo’ de manera proporcional al
número de niños inscritos, que son 400,
200 y 600, respectivamente, e
inversamente proporcional a las faltas en
las reuniones de coordinación general, que
son respectivamente 1; 2 y 3. ¿Cuántos
tarros de leche fueron entregados a cada
comedor?
16. El administrador de la empresa de
Computadoras”Centro Computroni” debe
repartir una gratificación de S/. 5 325 en
forma directamente proporcional a las
horas extras trabajadas e inversamente
proporcional al número de faltas, de
acuerdo al siguiente cuadro de datos:
EMPLEADO
HORAS
EXTRAS
FALTAS
Patricio 14 5
Zoe 21 12
Yory 7 6
Cielo 3 15

15. - 5 -
17. Dos jubilados de la PNP reciben
mensualmente una pensión, que es DP a
las raíces cuadradas del número de años
que laboraron en PNP. Si el primero
laboró 11 años más que el segundo y sus
pensiones están en la razón de 30 a 25,
¿Cuántos años laboró el segundo?
18. El jefe de servicios de enfermería
concluyó que la dosis de medicamento
para los pacientes del pabellón “C” es
proporcional a la masa de cada persona.
Además, se sabe que una persona recibió
20 mg de medicamento y otra persona que
pesaba 7 Kg menos recibió 18 mg.
Determina la masa de ambos pacientes.
19. El rendimiento de una máquina
embazadora es DP al número de latas de
leche e IP al tiempo de embazado. Si una
máquina embaza en 5 días 50 000 tarros
de leche, ¿Cuántas latas de leche quedarán
listos con otra máquina cuyo rendimiento
es el triple de la anterior en 4 días?
20. El costo de un departamento en Lima es
IP al distrito que se ubica dicho inmueble
y DP al número de pisos que posee dicho
departamento. Si se observa que un
departamento cuesta $ 120 000, ¿Cuánto
costará otra que tiene el doble de número
de pisos ubicado en un distrito a una
distancia tres veces mayor que la anterior?

16. - 6 -
21. Los ingresos de un obrero durante tres
meses consecutivos son directamente
proporcionales a 3, 6 y 5. Si la suma de
los ingresos asciende a S/ 7 980.
Determine los ingresos del primer mes.
22. El ministerio de educación reparte 1950
ejemplares de libros de lectura a 4
colegios del asentamiento humano mi
Perú. Pero el reparto se hará tomando en
cuenta la cantidad de estudiantes que
asistan a las clases durante los primeros
meses. ¿Cuántos libros recibe cada
colegio si sus asistencias han sido de 1; 2;
4 y 5 estudiantes, respectivamente?
23. La empresa “Derco S.A.” desea premiar a
sus cuatro trabajadores más eficientes con
un bono extra de S/. 10 020 en forma
directamente proporcional a las horas
extras trabajadas e inversamente
proporcionales al número de tardanzas, de
acuerdo al siguiente cuadro de datos:
24. Un prestigioso empresario decide repartir
su herencia de S/ 176 000 entre sus tres
hermanos José, Marco y Adriano, de
manera DP al número de sus hijos e IP al
monto de sus deudas. De acuerdo al
siguiente cuadro de datos. ¿Cuánto le
corresponde a cada hermano?
N°
hijos
Monto de deudas (S/)
José 4 2 000
Marco 3 6 000
Adriano 5 8 000

17. - 7 -
25. El gerente de la empresa de calzados
“Calimod” desea premiar a sus
trabajadoras con un premio extra de S/. 4
175 en forma directamente proporcional a
las horas extras trabajadas e inversamente
proporcionales al número de faltas, de
acuerdo al siguiente cuadro de datos:
EMPLEADO
HORAS
EXTRAS
MINUTOS DE
TARDANZAS
Corina 120 4
Delia 216 6
Fernanda 240 3
Sandra 168 8
¿Cuánto le corresponde a Sandra?
Código de
biblioteca
LIBROS, REVISTAS, ARTÍCULOS, TESIS, PÁGINAS WEB.
519 U72 Valladares, C.(2006).Matemática aplicada a las ciencias empresariales.
Lima: Universidad César Vallejo-Trujillo.
519 H13 Haeussler, E., Paul, R., Wood R. (2008). Matemática para administracióny economía.
(12.ª ed). México: Pearson Educación
510.24658 C97 2013 Martinez, C.(2013). Matemática básica para administradores. (2ª. ed)
Lima.
510 F47 EJ. 3 Figueroa, R. (2014). Matemática básica. Lima: Ediciones Rfg. .
Bibliografía